Feuille d`exercices 5 Topologie générale et Compacts

Feuille d’exercices 5
Topologie g´en´erale et Compacts
Cours de Licence 3
Ann´ee 10/11
1 Espaces topologiques g´en´eraux
Exercice 1.1. D´eterminer toutes les topologies sur un ensemble `a 2 ´el´ements (resp. `a 3
´el´ements) et dire si elles sont s´epar´ees ou non.
Exercice 1.2. Soit Eun ensemble et Aun ensemble de parties de Equi contient Eet
∅.
Soit Bl’ensemble des intersections finies d’´el´ements de A.
1) Montrer que Best stable par intersection finie.
2) Montrer que Best la base d’une topologie sur Ec’est `a dire qu’il existe une topologie
Osur Etelle que tout ´el´ement de Oest r´eunion d’´el´ements de B.
On dit Oest engendr´ee par A.
3) Montrer que si O1est une topologie sur Equi contient A, alors O ⊂ O1.
4) Soit E=Ret A={]− ∞, x[; x∈R} ∪ {∅,R}. D´ecrire la toplogie engendr´ee par A.
Est-elle s´epar´ee ?
5) Soit E=Ret A={]x, y[; (x, y)∈R2, x < y} ∪ {∅,R}. D´ecrire la toplogie engendr´ee
par A.
Exercice 1.3. Exemple d’espace topologique non m´etrisable
Soit El’espace vectoriel des applications de [0,1] dans R.
Si f∈E,N∈N∗, (x1, . . . , xN)∈[0,1]Net (1, . . . , N)∈(R∗
+)N, on d´efinit
Vf,x1,...,xN,1,...,N={g∈E/∀i= 1 · · · N, |f(xi)−g(xi)|< i}
On d´efinit l’ensemble Ocomme l’ensemble des r´eunions d’ensembles pr´ec´edents.
1. Montrer que Od´efinit une topologie sur E.
2. Montrer qu’une suite de fonctions de Eest convergente pour cette topologie si et
seulement si elle converge simplement.
3. Soit Dl’ensemble des fonctions de Enulles sauf en un nombre fini de points.
Montrer que Dest dense dans E.
4. En utilisant une fonction de Enon nulle sur un ensemble non d´enombrable, montrer
que la topologie pr´ec´edente n’est pas m´etrisable.
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2 Pr`es du cours
Exercice 2.1. Soit (K, d) est un espace m´etrique compact. Montrer que son diam`etre
est bien d´efini et est atteint.
Exercice 2.2. Q∩[0,1] est-elle une partie compacte de R, de Q?
Exercice 2.3. Soit (E, d) un espace m´etrique compact. Montrer que Eposs`ede une
partie d´enombrable dense. (On dit que Eest s´eparable).
Exercice 2.4. Soit (E, d) un espace m´etrique compact. Soit (Uλ)λ∈Lun recouvrement
ouvert de E.
Soit ϕ:E−→ R
x7−→ sup
λ∈L
d(x, Uc
λ).
a) Montrer que ϕest continue.
b) Montrer qu’il existe α > 0 tel que toute boule ouverte de rayon αsoit contenue dans
au moins un Uλ.
c) Soit (Ui)i∈Iun recouverment ouvert de [0,1]. Trouver net une subdivision 0 = x0<
x1<··· < xn= 1, tel que pour tout k, il existe i∈I, tel que [xk, xk+1]⊂Ui. Montrer
qu’on peut choisir xk=k
n, pour nassez grand.
Exercice 2.5. Soit (E, d) un espace m´etrique compact. Soit (Fn)n∈Nune suite d´ecroissante
de parties ferm´ees non vides de (E, d). Montrer que ∩n∈NFnest non vide et que tout
ouvert contenant ∩n∈NFncontient l’un des ferm´es Fn.
3 Compacit´e et distance entre parties
Exercice 3.1. Soit (E, d) un espace m´etrique et Aune partie compacte de E
a) Montrer que pour tout x∈E,d(x, A) est atteinte.
b) Soit Bun ferm´e tel que A∩B=∅, montrer que d(A, B)>0 o`u d(A, B) =
inf
(a,b)∈A×Bd(a, b).
Montrer qu’il existe deux ouverts disjoints Uet Vtels que A⊂Uet B⊂V. (On pourra
considerer {x∈E|d(x, A)< })
Donner un contre-exemple lorsque Aest seulement suppos´e ferm´e.
c) Soit Bun compact, montrer qu’il existe (a, b)∈A×Btel que d(A, B) = d(a, b).
Exercice 3.2. Soit Aune partie ferm´ee et non born´ee de Rnmuni de la distance usuelle.
Soit f:A−→ Rcontinue. On suppose que f(x)−→ +∞quand kxk −→ +∞, (x∈A).
a) Montrer que pour tout k∈R+,{x|x∈Aet f(x)≤k}est compact.
b) Montrer que f(A) est minor´ee et qu’il existe a∈Atel que inf f(A) = f(a).
c) Utiliser ce r´esultat pour montrer que les questions a) et c) de l’exercice pr´ec´edent
restent vraies si Aet Bsont deux parties de Rntelles que Asoit ferm´ee et Bcompacte.
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4 Exemples d’espaces compacts
Exercice 4.1. Les espaces suivants sont-ils compacts. Pour chaque exemple, on pr´ecisera
la distance.
1. le disque D={(x, y)∈R2|x2+y2<1}, distance usuelle.
2. la sph`ere Sn={x∈Rn+1 | kxk2= 1}, distance usuelle.
3. l’ensemble {(x, y)∈R2|x≥0,1
x+1 ≥y≥0}, distance usuelle.
4. l’ensemble {(x, y)∈R2|x≥0,1
x+1 ≥y > 0}, distance usuelle.
5. l’ensemble {(x, sin(1/x)); x∈]0,1]}∪{(0, x); x∈[−1,1]}, distance usuelle.
6. GLn(R), distance usuelle.
7. On(R) le groupe des matrices orthogonales en dimension n, distance usuelle.
8. l’ensemble des matrices sym´etriques d’ordre ndont toutes les valeurs propres sont
dans [−1,1], distance usuelle.
Exercice 4.2. Soit (E, d) un espace m´etrique, et (un)n∈Nune suite d’´el´ements de E
convergente. On note lsa limite. Montrer que {un∈E|n∈N} ∪ {l}est une partie
compacte de E.
Exercice 4.3. Soit l1(R) = {(un)∈RN;Pn≥0|un|<∞}, muni de la norme ||u|| =
Pn≥0|un|.
a) Soit
A=Y
n≥0
[0,2−n].
Montrer que Aest une partie compacte de l1(R).
b) Soit B={(un)∈l1(N); ||u|| = 1}. Montrer que Bn’est pas compact. (On pourra
consid´erer la suite de l1(N),(en) o`u en(k) = 1 si k=n
0 sinon )
5 Compacit´e et applications
Exercice 5.1. Un th´eor`eme de point fixe
Soit (K, d) un espace m´etrique compact, et f:K→Ktelle que d(f(x), f (y)) < d(x, y)
pour tous x, y ∈K,x6=y. Montrer que fa un unique point fixe. (indication : consid´erer
x7→ d(x, f(x))).
Exercice 5.2. Dilatations et isom´etries
Soit (K, d) un espace m´etrique compact, et T:K→Ktelle que : ∀x, y ∈K, d(T x, T y)≥
d(x, y).
a) Montrer qu’il existe une extraction σtelle que (Tσ(n)x)net (Tσ(n)y)nconvergent.
b) Quelle est la limite de (Tσ(n+1)−σ(n)x)n?
c) Montrer que ∀(x, y)∈K, d(T(x), T (y)) = d(x, y) (Indication :σ(n+ 1) −σ(n)≥1).
d) Montrer que Test surjective (indication :σ(n+ 1) −σ(n)≥1 et question 2. ).
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Exercice 5.3. Soit (K, d) un espace m´etrique compact, et (fn)n∈Nune suite d’applica-
tions continues de Kdans R. On suppose que pour tout x∈K, la suite fn(x) d´ecroit et
converge vers 0. Montrer que fnconverge uniform´ement vers 0. (Indication : pour tout
ε > 0, on pourra consid´erer la suite de ferm´es Fn={x∈K|fn(x)≥ε}).
Exercice 5.4. Utilisation de l’uniforme continuit´e
Soit El’ensemble des fonctions continues de [0,1] dans R, muni de la norme uniforme.
Montrer que le sous-ensemble de Edes fonctions affines par morceaux est dense dans E.
6 Ensemble triadique de Cantor
Si Aest une partie de R, on note x+A
3l’image de Apar l’homoth´etie de centre xet de
rapport 1
3.
L’ensemble triadique de Cantor K⊂[0,1] est d´efini par r´ecurrence de la fa¸con suivante :
K0= [0,1], Kn+1 =Kn
3∪2+Kn 3et K=∩n≥0Kn.
Ainsi, on d´ecoupe [0,1] en trois intervalles ´egaux et on retire celui du milieu en gardant
les bornes.
Donc K1= [0,1
3]∪[2 3,1].
On r´eit`ere le proc´ed´e pr´ec´edent sur chaque segment, chaque segment est coup´e en 3
parties ´egales et la partie centrale est retir´ee en gardant les bornes.
K2= [0,1
9]∪[2 9,1 3]∪[2 3,7 9]∪[8 9,1].
1) Soit n≥1, montrer que Knest la r´eunion de 2nsegments disjoints de la forme
[xn, xn+1
3n] o`u les xnd´ecrivent l’ensemble {
n
X
i=1
ai
3i;ai∈ {0,2}}.
2) Montrer que Kest compact non vide, d’int´erieur vide.
2) Montrer que tout ´el´ement xde Ks’´ecrit de mani`ere unique x=
+∞
X
i=1
ai
3iavec les ai
´egaux `a 0 o`u 2.
R´eciproquement, montrer que si x=
+∞
X
i=1
ai
3iavec les ai´egaux `a 0 o`u 2, alors x∈K.
3) Montrer que Kest sans point isol´e , c’est `a dire que pour tout x∈K, pour tout
 > 0, ]x−, x +[∩Kr{x} 6=∅. (On dit que Kest parfait).
Montrer que si x∈Ket y∈Ket x6=y, alors il existe un ouvert de Kcontenant
xet un ouvert de Kcontenant ydisjoints. (On verra plus tard que ceci signifie que
les composantes connexes de Ksont les singletons, on dit que Kest compl`etement
discontinu).
4) Montrer que Kn’est pas d´enombrable.
5) L’ensemble {0,1}Nest muni de la topologie suivante : Si x= (xn)n≥0est un ´el´ement de
{0,1}N, une base de voisinnages ouverts de xest donn´ee par Vk(x) = {y∈ {0,1}N/pour tout i≤
k, yi=xi}o`u kparcourt N.
Montrer que cet espace topologique est hom´eomorphe `a K.
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