Loi normale

Loi normale
1
Rappels sur la loi binomiale :
1 1 Situation
On répète n fois, de façon indépendante, la même expérience, à deux issues possibles :
• Succès, de probabilité p ,
• Échec, de probabilité 1 − p .
Exemple. On peut représenter cette situation par un arbre. Si n = 3 et p = 0,3 , on a cet arbre :
0,3
Succès
0,3
0,7
0,3
Succès
0,7
Échec
0,3
Succès
0,7
Échec
0,3
Succès
0,7
Échec
0,3
Succès
0,7
Échec
Succès
Échec
•
0,3
0,7
Succès
Échec
0,7
Échec
1 2 Loi binomiale
Théorème 1
Définition 1
Dans la situation précédemment décrite, soit X la variable aléatoire associée au nombre k de succès parmi
les n expériences. X prend toutes les valeurs entières entre 0 et n.
X est la variable aléatoire associée au nombre k de succès parmi les n expériences
On dit que X suit la loi binomiale de paramètres n et p. On note X ,→ B(n ; p) .
Remarques.
• Les probabilités se calculent avec la calculatrice ou le tableur.
• P (X = k) est la probabilité d’obtenir exactement k succès parmi les n expériences.
• P (X 6 k) est la probabilité d’obtenir au plus k succès parmi les n expériences.
• P (X > k) = 1 − P (X 6 k) .
Si X suit la loi binomiale de paramètres n et p, alors son espérance est E(X) = np .
Exemple. On lance 15 fois de suite une pièce de monnaie truquée : la probabilité d’obtenir « Pile » sur un
lancé est 0,3.
On s’intéresse à X , variable aléatoire égale au nombre de « Piles » obtenus.
On a donc X ,→ B(15 ; 0,3) .
On construit un diagramme représentant cette loi : en abscisse, ce sont les valeurs k de la variable aléatoire
X (avec 0 6 k 6 15 ), et en ordonnée, les probabilités P (X = k) .
http://lycee.lagrave.free.fr/cahiers
1
TSTMG. Loi normale
avec X ,→ B(15 ; 0,3)
p(X = k)
0,22
0,2
0,18
0,16
0,14
0,12
0,1
0,08
0,06
0,04
0,02
k
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13 14 15
k
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
p(X = k)
0.00474756
0.03052003
0.09156010
0.17004020
0.21862313
0.20613039
0.14723600
0.08113004
0.03477002
0.01159001
0.00298029
0.00058058
0.00008294
0.00000820
0.00000050
0.00000001
On a donc E(X) = 15 × 0,3 = 4,5 .
2
Loi normale :
2 1 Approximation de la loi binomiale par une loi normale
Illustration : Soit X une variable aléatoire suivant une loi binomiale de paramètres n = 50 et p = 0,3 .
On construit un diagramme représentant cette loi : en abscisse, ce sont les valeurs k de la variable aléatoire
X (avec 0 6 k 6 50 ), et en ordonnée, les probabilités P (X = k) .
p(X = k)
0,12
0,1
0,08
0,06
0,04
0,02
k
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
On remarque que le diagramme ressemble à une courbe « en cloche » . Cette courbe est celle d’une
fonction, appelée densité de probabilité, qui définit une nouvelle loi de probabilité, appelée loi normale.
2 2 Courbe de la loi normale
La loi normale tire son nom du fait qu’elle est bien adaptée pour modéliser des phénomènes naturels
issus de plusieurs évènements aléatoires. On l’appelle aussi loi de Gauss-Laplace, du nom de 2 grands mathématiciens l’ayant étudiée. Par exemple, la répartition des tailles d’individus dans une population peut
être modélisée par une loi normale. Nous allons présenter un autre exemple : celui des élections russes. Ces
dernières peuvent-elles être qualifiées de « normales » ? Ce graphique présente l’effectif des bureaux de vote
en fonction du taux de participation. On voit ainsi qu’un grand nombre de bureau de vote a eu une participation de 55% environ, mais on peut aussi voir le « pic » à 100% de participation qui signifie qu’un nombre
important de bureaux de vote ont eu 100% de participation . . . Le doute sur la validité de ces élections est
alors permis ! Quelque chose n’est pas normal dans ce « pic ».
2
http://lycee.lagrave.free.fr/cahiers
Propriété 1
TSTMG. Loi normale
Deux paramètres caractérisent une loi normale :
• Son espérance µ , égale à celle de la loi binomiale qu’elle approche, c’est-à-dire n × p .
• Son écart-type σ .
On dira alors qu’une variable aléatoire X suit une loi normale de paramètres µ et σ. X ,→ N (µ ; σ 2 )
La probabilité P (a 6 X 6 b) est égale à l’aire du domaine compris entre la courbe de la loi normale,
l’axe des abscisses et les droites d’équation x = a et x = b .
Exemple. La taille X des hommes en France est modélisée par la loi N (172 ; 142 )
0,030
0,025
0,020
0,015
0,010
0,005
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
220
240
260
Méthode : On choisit au hasard un homme dans la population française.
a. Quelle est la probabilité qu’il mesure entre 1,60 m et 1,80 m ? On souhaite calculer P (160 < X < 180).
Casio : Graph 35+ et modèles supérieurs
Menu STAT, puis DIST, et enfin NORM
• Calcul de P (a 6 X 6 b) → Ncd
avec pour valeurs : Lower
: 160
Upper
: 180
σ
: 14
µ
: 172
puis Calc (F1) . . .
http://lycee.lagrave.free.fr/cahiers
TI82 Stats et modèles supérieurs
2nd→DISTR (ou distrib)
• Calcul de P (a 6 X 6 b) → normalcdf (ou
normalFrep)
puis : normalcdf(160,180,172,14)
3
TSTMG. Loi normale
−4
À la calculatrice, on obtient : P (160 < X < 180) '
à 10 près soit 52,05%
Le domaine sous la courbe d’une loi normale a pour aire 1.
Hachurer sur la figure précédente, le domaine correspondant à P (160 < X < 180).
b. Quelle est la probabilité qu’il mesure plus de 2 m ? On souhaite calculer P (200 < X).
À la calculatrice, on obtient : P (200 < X) '
à 10−4 près soit 2,28%
on procède de même, en entrant la borne supérieure : 1E+99
is
no
rm
al
es
de
m
êm
e
éc
ar
t-
ty
p
e
Remarques. Pour P (X 6 b) : on peut procéder de même, en entrant la borne inférieure : −1E+99.
• Pour n’importe quel k , P (X = k) = 0 et par symétrie, on a P (X > µ) = P (X 6 µ) = 0,5.
• P (X > a) = 1 − P (X < a) et P (a 6 X 6 b) = P (X 6 b) − P (X < a)
- L’espérance µ, est l’abscisse de l’axe de symétrie de la courbe Gaussienne (« en cloche »).
3
lo
N (−2 ; 12 )
N (0 ; 12 )
N (2 ; 12 )
lo
i
s
no
rm
al
es
de
m
êm
e
es
pé
ra
nc
e
- L’écart-type σ, mesure la dispersion des valeurs autour de l’espérance. Plus l’écart-type est grand et
plus les valeurs sont dispersées autour de l’espérance.
3
N (2 ; 0,52 )
N (2 ; 12 )
N (2 ; 22 )
Propriété 2
2 3 Résolution de problème sans calculatrice
Si X est une variable aléatoire suivant une loi normale d’espérance µ et d’écart-type σ alors :
P (µ − 2σ 6 X 6 µ + 2σ) ' 0,954 soit 95,4%
' 95%
µ − 2σ µ − σ
µ
µ + σ µ + 2σ
Exemple. En France, la taille des femmes suit une loi normale d’espérance 163 cm et d’écart-type 6 cm.
On choisit une femme au hasard.
a. Quelle est la probabilité que cette femme mesure entre 151 et 175 cm ?
4
http://lycee.lagrave.free.fr/cahiers