La loi normale

Chapitre 5 :
La loi normale
TSTMG
- Utiliser une calculatrice ou un tableur pour calculer une probabilité dans le cadre d’une loi normale
d’espérance μ et d’écart-type σ.
- Connaître et interpréter graphiquement une valeur approchée de la probabilité de l’évènement
 X     2 ;   2  lorsque X suit la loi normale d’espérance μ et d’écart-type σ.
I.
La loi normale
La loi normale tire son nom du fait qu’elle est bien adaptée pour modéliser des
phénomènes naturels issus de plusieurs évènements aléatoires. On l’appelle aussi loi de
Gauss-Laplace, du nom de 2 grands mathématiciens l’ayant étudiée. Par exemple, la
répartition des tailles d’individus dans une population peut être modélisée par une loi
normale.
Nous allons présenter un autre exemple : celui des élections russes. Ces dernières
peuvent-elles être qualifiées de « normales » ?
Ce graphique présente l’effectif des bureaux de vote en fonction du taux de
participation. On voit ainsi qu’un grand nombre de bureau de vote a eu une participation
de 55% environ, mais on peut aussi voir le « pic » à 100% de participation qui signifie
qu’un nombre important de bureaux de vote ont eu 100% de participation… Le doute sur
la validité de ces élections est alors permis ! Quelque chose n’est pas normal dans ce
« pic ».
Notation : La loi normale d’espérance μ (mu) et d’écart-type σ (sigma) est notée N(μ;σ) .
Exemple :
La taille X des hommes en France est modélisée par la loi N(172;14)
Méthode : On choisit au hasard un homme dans la
a) Quelle est la probabilité qu’il mesure entre 1,60m et 1,80m ?
b) Quelle est la probabilité qu’il mesure plus de 2m ?
a) On souhaite calculer P(1,6<X<1,8).
Casio
MENU→STAT→DIST→NORM→Ncd :
population
française.
TI
(2 ) DISTR→Normalcdf (ou normalFRép) :
nd
Data : Variable
Lower : 160
normalFRép( 160 , 180 , 172 , 14)
Upper : 180
σ
: 14
μ
: 172
A la calculatrice, on obtient :
P(160<X<180) ≈ 0,5205 à 10-4 près soit 52,05%
b) On souhaite calculer P(200<X).
Casio
MENU→STAT→DIST→NORM→Ncd :
Data : Variable
Lower : 200
Upper : 10^99
σ
: 14
μ
: 172
A la calculatrice, on obtient :
P(200<X) ≈ 0,0228 à 10-4 près soit 2,28%
TI
(2nd) DISTR→Normalcdf (ou normalFRép) :
normalFRép( 200 , 10^99 , 172 , 14)
Remarques :
- L’espérance est l’abscisse de l’axe de symétrie de la courbe Gaussienne (« en cloche »).
N(-2;1)
N(0;1)
N(2;1)
- L’écart-type mesure la dispersion des valeurs autour de l’espérance. Plus l’écart-type
est grand et plus les valeurs sont dispersées autour de l’espérance.
N(2;0,5)
N(2;1)
N(2;2)
II.
Résolution de problème sans calculatrice
Propriété : Si X est une variable aléatoire suivant une loi normale d’espérance μ et
P    2  X    2   0,954 soit 95,4%
d’écart type σ alors :
Exemple : En France, la taille des femmes suit une loi normale d’espérance 163cm et
d’écart-type 6cm. On choisit une femme au hasard.
a) Quelle est la probabilité que cette femme mesure entre 151 et 175cm ?
a) On remarque que :
Donc :
  2  163  2  6  151
et que :
  2  163  2  6  175
P 151  X  175   P    2  X    2   0,954
95,4% des femmes mesurent entre 151cm et 175cm