Variables aléatoires – Lois fondamentales

Variables aléatoires – Lois fondamentales
1. Variables aléatoires (V.A.). Conventions d’écriture
Soit Ω = (ω1 , ω2 ,...ωN ) un univers probabilisé fini à N éventualités.
On appelle variable aléatoire définie sur Ω toute application X de Ω dans ℝ .
Chaque éventualité admet pour image le réel
X ( Ω ) = ( x1 , x2 ,....xn ) Est l’ensemble des n images.
( X = xi ) Est l’évènement de Ω formé de toutes les éventualités ayant pour image xi . Il a
pour probabilité ( P ( X ) = xi ) = pi .
L’ensemble des éventualités ( X = xi ) i = 1, 2,...n. constitue une partition de Ω et l’on a :
p1 + p2 + ... + pn = 1 .
2. Loi de probabilité et fonction de répartition
On appelle loi de probabilité de X l’application f de X ( Ω ) dans ℝ , f : x → P ( X = x )
.
On appelle fonction de répartition de X l’application F
de ℝ
dans
[0, 1] :
F : x → P (X ≤ x) .
On les présente sous forme de tableau.
Valeurs xi
x1
x2
x3
….
xn
P(X = x)
p1
p2
p3
….
pn
P(X ≤ x)
p1
p1 + p2
p1 + p1 + p2
….
1
La fonction de répartition est une fonction en escalier croissante de 0 à 1.
Elle est nulle pour x < x1 et égale à 1 pour x ≥ x1.
3. Valeurs caractéristiques de X
a) Espérance mathématique de X
n
m = E(X) = ∑ pi xi = p1 x1 + p2 x2 + ... + pn xn
i =1
C’est la moyenne m des x, pondérés par les coefficients pI .
Propriétés : E ( k ) = k ; E ( X + k ) = E ( X ) + k ; E ( kX ) = kE ( X )
X − m est une variable centrée et vérifie E ( X − m ) = 0 :
b) Variance et écart-type de X
2
2
2
V ( X ) = E ( X − m ) = p ( x1 − m ) + p ( x2 − m ) + ... p ( xn − m )
2
n
2
2
On a : V(X) = ∑ pi xi − m
et
σ (X) = V(X)
i =1
Propriétés : V ( k ) = 0;V ( X + k ) = V ( X ) ;V ( kX ) = k V ( X ) ;
2
σ ( kX ) = kσ ( X ) ;
4. Loi binomiale
Une variable aléatoire X à valeurs entières 0 ; 1 ; 2 ; … ; n suit une loi binomiale notée
B(n; p) de paramètres n et p si, et seulement si, pour toute valeur entière k ∈ [ 0; n ] on
a:
P ( X = k ) = C kn p k q n −k
( avec q = 1 − p )
Elle s’applique à toute expérience aléatoire répétée à deux éventualités dont l’une (favorable)
a toujours la probabilité p.
E ( X ) = np;
V ( X ) = npq;
σ ( X ) = npq
5. Loi de Poisson
C’est une loi à nombre infini de valeurs.
Une variable aléatoire X prenant ses valeurs dans N suit une loi de Poisson de paramètres m(m
> 0) si, et seulement si :
mk
k!
V ( X ) ≃ m;
P ( X = k ) = ( e− m )
E ( X ) = m;
σ (X) ≃ m
6. Loi de Laplace-Gauss ou loi normale
a) C’est une loi de probabilité à valeurs dans ℝ . On caractérise une telle loi par sa fonction
de répartition F ou par sa dérivée f = F′ appelée densité de probabilité de X . On a par
définition :
P(X < x ) = ∫
x
−∞
f (t )dt ;
∫
+∞
−∞
f ( x )dx = F( +∞) = 1
b
P(a < X < b) = ∫ f (t )dt = F(b) − F( a )
a
F est croissante de 0 à 1 et f est positive.
b) Loi normale ou loi de Gauss – loi normale réduite
On appelle loi normale N (m, σ ) , la loi d’une variable continue X de moyenne
d’écart-type σ et de densité de probabilité :
m,
 x−m 2
σ 
−
1
f ( x) =
e
σ 2π
En posant t =
x−m
σ
on obtient la loi normale réduite N (0, 1) de la variable T , de
moyenne 0, d’écart-type 1 et de densité ϕ avec :
2
1 − t2
e
2π
ϕ (t ) =
7. Fiabilité : Loi exponentielle
La durée de vie d’un dispositif E est une variable aléatoire continue T . La fiabilité de E est
définie par R ( t ) = e
La constante
λ
− λt
.
représente le taux d’avarie (ou de défaillance) de E .
R ( t ) = P ( T > t ) = P ( E fonctionne à l'instant t )
F ( t ) =1 − R ( t ) = P ( T ≤ t ) = P ( E soit en panne à l'instant t )
L’espérance mathématique de la durée de vie (M.T.B.F. = moyenne des temps de bon
fonctionnement) est E ( T ) =
1
λ
.
Ex
On considère la loi binomiale B(150; 0, 2)
30
1) Calculer P ( X = 30 ) . On donne C150 = 3, 2199 × 10
31
38
2) On donne
∑p
k
= 0,715
k=27
Comparer à la valeur donnée pour ( 26,5 < X < 38,5 ) par la loi normale N (30,
1) P ( X = 30 ) =C150 × 0, 2 × 0,8
Soit
30
30
120
P ( X = 30 ) = 3, 219 9 × 1031 × (1,073 7 × 10−21 ) × ( 2,348 5 × 10−12 ) = 0, 0812
2) La loi normale donne :
38,5 − 30
26,5 − 30
= 1,74; t1 =
= −0,71
24
24
P ( −0,71<T<1,74 ) = Φ (1,74 ) − Φ ( −0,71) = 0,720
t2 =
24)