Variables aléatoires – Lois fondamentales

Variables aléatoires – Lois fondamentales
1. Variables aléatoires (V.A.). Conventions d’écriture
Soit
(
)
1 2
, ,...
N
ω ω ω
Ω =
un univers probabilisé fini à
N
éventualités.
On appelle variable aléatoire définie sur
Ω
toute application
X
de
Ω
dans
ℝ
.
Chaque éventualité admet pour image le réel
(
)
(
)
1 2
X , ,....
n
x x x
Ω =
Est l’ensemble des n images.
(
)
X
i
x
=
Est l’évènement de
Ω
formé de toutes les éventualités ayant pour image
i
x
. Il a
pour probabilité
(
)
(
)
P X
i i
x p
= =
.
L’ensemble des éventualités
(
)
X 1,2,... .
i
x i n
= =
constitue une partition de
Ω
et l’on a :
1 2
... 1
n
p p p
+ + + =
.
2. Loi de probabilité et fonction de répartition
On appelle loi de probabilité de
X
l’application
f
de
(
)
X
Ω
dans
ℝ
,
(
)
: P X
f x x
→ =
.
On appelle fonction de répartition de
X
l’application
F
de
ℝ
dans
[
]
0, 1
:
(
)
F : P X
x x
→ ≤
.
On les présente sous forme de tableau.
Valeurs x
i
x
1
x
2
x
3
…. x
n
P(X = x) p
1
p
2
p
3
…. p
n
P(X ≤ x) p
1
p
1
+ p
2
p
1
+ p
1
+ p
2
…. 1
La fonction de répartition est une fonction en escalier croissante de 0 à 1.
Elle est nulle pour x < x
1
et égale à 1 pour x ≥ x
1
.
3. Valeurs caractéristiques de
X
a) Espérance mathématique de X
1 1 2 2
1
E(X) ...
n
i i n n
i
m p x p x p x p x
=
= = = + + +
∑
C’est la moyenne m des x, pondérés par les coefficients p
I
.
Propriétés :
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
E ; E X E X ; E X E X
k k k k k k
= + = + =
X
m
−
est une variable centrée et vérifie
(
)
E X 0
m
− =
:
b) Variance et écart-type de
X
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2 2 2 2
1 2
V X E X ...
n
m p x m p x m p x m
= − = − + − + −

On a :
2 2
1
V(X) et (X) V(X)
n
i i
i
p x m σ
=
= − =
∑
Propriétés :
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2
V 0;V X V X ;V X V X ;
k k k k= + = =
(
)
(
)
X X ;
k k
σ σ
=
4. Loi binomiale
Une variable aléatoire
X
à valeurs entières 0 ; 1 ; 2 ; … ; n suit une loi binomiale notée
( ; )
B n p
de paramètres n et p si, et seulement si, pour toute valeur entière
[
]
0;
k n
∈
on
a :
(
)
(
)
P X C 1
k k n k
n
k p q avec q p
−
= = = −
Elle s’applique à toute expérience aléatoire répétée à deux éventualités dont l’une (favorable)
a toujours la probabilité p.
(
)
(
)
(
)
E X ; V X ; X
np npq npq
σ = = =
5. Loi de Poisson
C’est une loi à nombre infini de valeurs.
Une variable aléatoire X prenant ses valeurs dans N suit une loi de Poisson de paramètres m(m
> 0) si, et seulement si :
( )
( )
P X
!
k
m
m
k e
k
−
= =
(
)
(
)
(
)
E X ; V X ; X
m m m
σ =≃ ≃
6. Loi de Laplace-Gauss ou loi normale
a) C’est une loi de probabilité à valeurs dans
ℝ
. On caractérise une telle loi par sa fonction
de répartition
F
ou par sa dérivée
F
f
′
=
appelée densité de probabilité de
X
. On a par
définition :
P(X ) ( )d ; ( )d F( ) 1
x
x f t t f x x
+∞
−∞ −∞
< = = +∞ =
∫ ∫
P( X ) ( )d F( ) F( )
b
a
a b f t t b a
< < = = −
∫
F
est croissante de 0 à 1 et
f
est positive.
b) Loi normale ou loi de Gauss – loi normale réduite
On appelle loi normale
( , )
N m
σ
, la loi d’une variable continue
X
de moyenne
m
,
d’écart-type
σ
et de densité de probabilité :
( )
2
1
2
x m
f x e
σ
σ π
−
−
=
En posant
t
x m
σ
−
=
on obtient la loi normale réduite
(0, 1)
N
de la variable
T
, de
moyenne 0, d’écart-type 1 et de densité
ϕ
avec :

( )
2
2
1
2
t
t e
ϕπ
−
=
7. Fiabilité : Loi exponentielle
La durée de vie d’un dispositif
E
est une variable aléatoire continue
T
. La fiabilité de
E
est
définie par
(
)
R
t
t e
λ
−
=
.
La constante
λ
représente le taux d’avarie (ou de défaillance) de
E
.
(
)
(
)
(
)
R P T P E fonctionne à l'instant t
t t
= > =
(
)
(
)
(
)
(
)
F =1 R P T P E soit en panne à l'instant t
t t t
− = ≤ =
L’espérance mathématique de la durée de vie (M.T.B.F. = moyenne des temps de bon
fonctionnement) est
( )
1
E T
λ
=
.
Ex
On considère la loi binomiale
(150; 0, 2)
B
1) Calculer
(
)
P X 30
=
. On donne
30 31
150
C 3,2199 10
= ×
2) On donne
38
k=27
0,715
k
p=
∑
Comparer à la valeur donnée pour
(
)
26,5 X 38,5
< <
par la loi normale
(30, 24)
N
1)
(
)
30 30 120
150
P X 30 =C 0,2 0,8
= × ×
Soit
(
)
(
)
(
)
31 21 12
P X 30 3, 219 9 10 1,073 7 10 2,348 5 10 0,0812
− −
= = × × × × × =
2) La loi normale donne :
2 1
38,5 30 26,5 30
1,74; 0,71
24 24
t t
− −
= = = = −
(
)
(
)
(
)
P 0,71<T<1,74 1,74 0,71 0,720
− = Φ − Φ − =