Nombres complexes et trigonométrie (fin)

Programme colle math
Semaine 2 du 26/09/16 au 02/10/16
MPSI B Hoche
Nombres complexes et trigonométrie (fin)
c) Nombres complexes de module 1 et trigonométrie
Cercle trigonométrique. Paramétrisation par les fonctions circulaires.
Notation U.
Les étudiants doivent savoir retrouver les formules
du type cos(π − x) = − cos x et résoudre des équations et inéquations trigonométriques en s’aidant
du cercle trigonométrique.
Les étudiants doivent savoir factoriser des expressions du type cos p + cos q.
Définition de eit pour t ∈ R. Exponentielle d’une
somme. Formules de trigonométrie exigibles : cos(a±
b), sin(a±b), cos(2a), sin(2a), cos a cos b, sin a cos b,
sin a sin b.
Fonction tangente.
La fonction tangente n’a pas été introduite au lycée.
Notation tan.
Formule exigible : tan(a ± b).
Formules d’Euler.
Linéarisation,
Pn
Pn
calcul de k=0 cos(kt), de k=0 sin(kt).
Les étudiants doivent savoir retrouver les expressions de cos(nt) et de sin(nt) en fonction de cos t
et sin t.
Formule de Moivre.
d) Formes trigonométriques
Forme trigonométrique reiθ avec r > 0 d’un nombre
complexe non nul. Arguments. Arguments d’un produit, d’un quotient.
Factorisation de 1 ± eit .
Transformation de a cos t + b sin t en A cos(t − ϕ).
Relation de congruence modulo 2π sur R.
PC et SI : amplitude et phase.
f) Racines n-ièmes
Description des racines n-ièmes de l’unité, d’un nombre
complexe non nul donné sous forme trigonométrique.
Notation Un . Représentation géométrique.
g) Exponentielle complexe
Définition de ez pour z complexe : ez = eRe(z) ei Im(z) .
Notation exp(z), ez .
PC et SI : définition d’une impédance complexe
en régime sinusoïdal.
Exponentielle d’une somme.
Pour tous z et z 0 dans C, exp(z) = exp(z 0 ) si et
seulement si z − z 0 ∈ 2iπZ.
Résolution de l’équation exp(z) = a.
h) Interprétation géométrique des nombres complexes
Interprétation géométrique du module et d’un arc−b
.
gument de c−a
Cette création est mise à disposition selon le Contrat
Paternité-Partage des Conditions Initiales à l’Identique 2.0 France
disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/
Traduction de l’alignement, de l’orthogonalité.
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Rémy Nicolai S2
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Interprétation géométrique des applications z 7→
az + b.
Interprétation géométrique de la conjugaison.
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Similitudes directes. Cas particuliers : translation,
homothéties, rotations.
L’étude générale des similitudes indirectes est hors
programme.
Calculs algébriques (fin)
Ce chapitre a pour but de présenter quelques notations et techniques fondamentales de calcul algébrique.
b) Coefficients binomiaux et formule du binôme
Factorielle. Coefficients binomiaux.
n
Relation np = n−p
Formule et triangle de Pascal.
Notation
n
p
.
Lien avec la méthode d’obtention des coefficients binomiaux utilisée en Première (dénombrement de chemins).
Formule du binôme dans C.
c) Systèmes linéaires
Système linéaire de n équations à p inconnues à coefficients dans R ou C.
PC et SI dans le cas n = p = 2.
Interprétation géométrique : intersection de droites dans
R2 , de plans dans R3 .
Système homogène associé. Structure de l’ensemble des
solutions.
Opérations élémentaires.
Algorithme du pivot.
Notations Li ↔ Lj , Li ← λLi (λ 6= 0), Li ← Li + λLj .
I : pour des systèmes de taille n > 3 ou p > 3, on
utilise l’outil informatique.
Prochain programme
Raisonnements et vocabulaire ensembliste. Inégalités dans R.
Cette création est mise à disposition selon le Contrat
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disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/
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