Nombres complexes et trigonométrie (fin)

Programme colle math Semaine 2 du 26/09/16 au 02/10/16 MPSI B Hoche
Nombres complexes et trigonométrie (fin)
c) Nombres complexes de module 1 et trigonométrie
Cercle trigonométrique. Paramétrisation par les fonc- Notation U.
tions circulaires. Les étudiants doivent savoir retrouver les formules
du type cos(π−x) = −cos xet résoudre des équa-
tions et inéquations trigonométriques en s’aidant
du cercle trigonométrique.
Définition de eit pour t∈R. Exponentielle d’une Les étudiants doivent savoir factoriser des expres-
somme. Formules de trigonométrie exigibles : cos(a±sions du type cos p+ cos q.
b),sin(a±b),cos(2a),sin(2a),cos acos b,sin acos b,
sin asin b.
Fonction tangente. La fonction tangente n’a pas été introduite au lycée.
Notation tan.
Formule exigible : tan(a±b).
Formules d’Euler. Linéarisation,
calcul de Pn
k=0 cos(kt), de Pn k=0 sin(kt).
Formule de Moivre. Les étudiants doivent savoir retrouver les expres-
sions de cos(nt)et de sin(nt)en fonction de cos t
et sin t.
d) Formes trigonométriques
Forme trigonométrique reiθ avec r > 0d’un nombre Relation de congruence modulo 2πsur R.
complexe non nul. Arguments. Arguments d’un pro-
duit, d’un quotient.
Factorisation de 1±eit.
Transformation de acos t+bsin ten Acos(t−ϕ).PC et SI : amplitude et phase.
f) Racines n-ièmes
Description des racines n-ièmes de l’unité, d’un nombre Notation Un. Représentation géométrique.
complexe non nul donné sous forme trigonométrique.
g) Exponentielle complexe
Définition de ezpour zcomplexe : ez=eRe(z)eiIm(z). Notation exp(z),ez.
PC et SI : définition d’une impédance complexe
en régime sinusoïdal.
Exponentielle d’une somme.
Pour tous zet z0dans C,exp(z) = exp(z0)si et
seulement si z−z0∈2iπZ.
Résolution de l’équation exp(z) = a.
h) Interprétation géométrique des nombres complexes
Interprétation géométrique du module et d’un ar- Traduction de l’alignement, de l’orthogonalité.
gument de c−b
c−a.
Cette création est mise à disposition selon le Contrat
Paternité-Partage des Conditions Initiales à l’Identique 2.0 France
disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/
1Rémy Nicolai S2

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Interprétation géométrique des applications z7→ Similitudes directes. Cas particuliers : translation,
az +b. homothéties, rotations.
Interprétation géométrique de la conjugaison. L’étude générale des similitudes indirectes est hors
programme.
Calculs algébriques (fin)
Ce chapitre a pour but de présenter quelques notations et techniques fondamentales de calcul algébrique.
b) Coefficients binomiaux et formule du binôme
Factorielle. Coefficients binomiaux. Notation n
p.
Relation n
p=n n−p
Formule et triangle de Pascal. Lien avec la méthode d’obtention des coefficients bino-
miaux utilisée en Première (dénombrement de chemins).
Formule du binôme dans C.
c) Systèmes linéaires
Système linéaire de néquations à pinconnues à coeffi- PC et SI dans le cas n=p= 2.
cients dans Rou C. Interprétation géométrique : intersection de droites dans
R2, de plans dans R3.
Système homogène associé. Structure de l’ensemble des
solutions.
Opérations élémentaires. Notations Li↔Lj,Li←λLi(λ6= 0), Li←Li+λLj.
Algorithme du pivot. I : pour des systèmes de taille n > 3ou p > 3, on
utilise l’outil informatique.
Prochain programme
Raisonnements et vocabulaire ensembliste. Inégalités dans R.
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