Cours et exercices

Probabilités et statistiques
Denis Vekemans ∗
Table des matières
1 Combinatoire 5
1.1 Analyse combinatoire sans répétition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.1 Cardinal de l’ensemble des applications de Edans F........................ 5
1.1.2 Cardinal de l’ensemble des injections de Edans F......................... 5
1.1.3 Cardinal de l’ensemble des bijections de Edans F......................... 5
1.1.4 Cardinal de l’ensemble des parties de E............................... 5
1.2 Analyse combinatoire avec répétition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2 Statistique descriptive 8
2.1 Sériestatistique................................................. 8
2.2 Sériestatistiqueclassée ............................................ 8
2.3 Caractéristiques des séries statistiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.4 Sériestatistiquedouble ............................................ 9
3 Espaces probabilisés 15
3.1 Expériencealéatoire .............................................. 15
3.2 Evénements, événements élémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.3 Ensemble fondamental, référentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.4 Algèbredesévénements ............................................ 15
3.4.1 Définitions ............................................... 15
3.4.2 Propriétésdiverses........................................... 16
3.5 Probabilité ................................................... 17
3.5.1 Leschémad’urne............................................ 17
3.5.2 La loi des grands nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.5.3 Calcul de la probabilité d’un événement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.6 Les axiomes du calcul de probabilités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.6.1 Enoncé ................................................. 22
3.6.2 Conséquences et propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.6.3 Lien entre la probabilité de l’union et celle de l’intersection de deux événements . . . . . . . . . 23
3.6.4 Formule du crible ou formule de Poincaré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.7 Probabilité conditionnelle, indépendance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.7.1 Probabilité conditionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
∗Laboratoire de mathématiques pures et appliquées Joseph Liouville ; 50, rue Ferdinand Buisson BP 699 ; 62 228 Calais cedex ; France
1

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3.7.2 Propriété ................................................ 25
3.7.3 Indépendance en probabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.7.4 LethéorèmedeBayes ......................................... 27
3.7.5 Indépendance mutuelle d’un nombre fini d’événements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.7.6 Indépendance deux à deux d’un nombre fini d’événements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.7.7 Pas d’implication entre les notions d’indépendance mutuelle et deux à deux d’un nombre fini
d’événements .............................................. 28
3.7.8 Indépendance totale d’un nombre fini d’événements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.8 Epreuvesrépétées................................................ 28
3.8.1 Epreuves répétées non exhaustives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.8.2 Epreuves répétées exhaustives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4 Variables aléatoires réelles 30
4.1 Notion de variable aléatoire réelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4.2 Définition .................................................... 31
4.3 Exemple..................................................... 31
4.4 Remarques ................................................... 31
4.5 Convergence en probabilité d’une variable aléatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
5 Variables aléatoires réelles discrètes 31
5.1 Définition .................................................... 31
5.1.1 Remarque................................................ 31
5.1.2 Cas particulier d’un vecteur de variables aléatoires réelles discrètes . . . . . . . . . . . . . . . . 31
5.2 Loisdeprobabilités............................................... 32
5.2.1 Exemple................................................. 32
5.2.2 Loi d’un vecteur de variables aléatoires réelles discrètes et loi marginale . . . . . . . . . . . . . 32
5.2.3 Loi conditionnelle, indépendance de deux variables aléatoires réelles discrètes et indépendance
de nvariables aléatoires réelles discrètes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
5.3 Fonction de répartition ou cumulative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
5.3.1 Exemple -suite du 5.2.1.- . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
5.4 Les moments d’ordre n............................................. 34
5.5 L’espérancemathématique........................................... 34
5.5.1 Exemple -suite du 5.2.1.- . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
5.5.2 Propriétés de l’espérance mathématique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
5.5.3 Variablecentrée ............................................ 36
5.5.4 Espérance conditionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
5.6 Varianceetécart-type ............................................. 37
5.6.1 Exemple -suite du 5.2.1.- . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
5.6.2 Propriétés de la variance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
5.6.3 Variableréduite ............................................ 38
5.6.4 Variance conditionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
5.7 Covariance, régression et corrélation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
5.7.1 Covariance ............................................... 39
5.7.2 Droite de régression et corrélation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
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5.7.3 Covariance conditionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
5.8 Les fonctions génératrices de moments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
5.9 InégalitédeMarkov .............................................. 49
5.10 Inégalité de Bienaymé-Tchebychev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
5.11 Enonçé de la loi faible des grands nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
6 Lois discrètes usuelles 50
6.1 Laloiconstante................................................. 50
6.1.1 Définition................................................ 50
6.1.2 Caractéristiques ............................................ 50
6.2 La variable de Bernoulli (ou loi de Bernoulli) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
6.2.1 Définition................................................ 50
6.2.2 Caractéristiques ............................................ 51
6.2.3 Exemplestypiques ........................................... 51
6.3 Laloibinomiale................................................. 51
6.3.1 Définition................................................ 51
6.3.2 Caractéristiques ............................................ 51
6.3.3 Exemplestypiques ........................................... 52
6.3.4 La loi binomiale des fréquences relatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
6.3.5 Additivité de deux variables aléatoires binomiales indépendantes . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
6.4 Laloihypergéométrique............................................ 53
6.4.1 Définition................................................ 53
6.4.2 Caractéristiques ............................................ 53
6.4.3 Exemplestypiques ........................................... 55
6.4.4 Approximation de la loi hypergéométrique par la loi binomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
6.5 Laloigéométrique ............................................... 56
6.5.1 Définition................................................ 56
6.5.2 Caractéristiques ............................................ 56
6.5.3 Exemplestypiques ........................................... 57
6.6 LaloidePoisson ................................................ 57
6.6.1 Définition................................................ 57
6.6.2 Caractéristiques ............................................ 57
6.6.3 Approximation de la loi de Poisson par la loi binomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
6.6.4 Additivité de deux variables aléatoires de Poisson indépendantes . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
6.7 Laloibinomialenégative ........................................... 60
6.7.1 Définition................................................ 60
6.7.2 Caractéristiques ............................................ 60
6.7.3 Exemplestypiques ........................................... 60
7 Variables aléatoires réelles continues 61
7.1 Définition .................................................... 61
7.1.1 Remarque................................................ 61
7.2 Loisdeprobabilités............................................... 61
7.3 Fonctionderépartition............................................. 61
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7.4 Les moments d’ordre n............................................. 63
7.5 L’espérancemathématique........................................... 64
7.5.1 Propriétés de l’espérance mathématique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
7.5.2 Variablecentrée ............................................ 64
7.6 Varianceetécart-type ............................................. 64
7.6.1 Propriétés de la variance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
7.6.2 Variableréduite ............................................ 64
7.7 InégalitédeMarkov .............................................. 66
7.8 Inégalité de Bienaymé-Tchebychev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
7.9 Enonçé de la loi faible des grands nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
8 Lois continues usuelles 67
8.1 Laloiuniforme................................................. 67
8.1.1 Définition................................................ 67
8.1.2 Caractéristiques ............................................ 67
8.2 LaloideGamma................................................ 68
8.2.1 Définition................................................ 68
8.2.2 Caractéristiques ............................................ 68
8.3 La loi de Laplace-Gauss (ou loi normale) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
8.3.1 Définition................................................ 70
8.3.2 Caractéristiques ............................................ 70
8.3.3 La loi normale centrée réduite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
8.3.4 Valeurs remarquables pour N(m, σ)................................. 72
8.3.5 Additivité de deux lois normales indépendantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
8.3.6 Approximation de la loi binomiale par la loi normale ou théorème de De Moivre-Laplace . . . . 72
8.3.7 Le théorème central limit ....................................... 74
8.4 LaloideLaplace................................................ 74
8.4.1 Définition................................................ 74
8.4.2 Caractéristiques ............................................ 74
9 Statistiques inférentielles 75
9.1 Echantillonnage et estimation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
9.1.1 Echantillonnage............................................. 75
9.1.2 Estimation ............................................... 76
9.2 Tests de validité d’hypothèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
9.2.1 Comparaison à une norme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
9.2.2 Comparaison de deux échantillons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
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1 Combinatoire
1.1 Analyse combinatoire sans répétition
1.1.1 Cardinal de l’ensemble des applications de Edans F
Soit Eun ensemble de cardinal pet Fun ensemble de cardinal n. On note F(E, F )l’ensemble des applications de
Edans F. On a
#F(E, F ) = np.
1.1.2 Cardinal de l’ensemble des injections de Edans F
Soit Eun ensemble de cardinal pet Fun ensemble de cardinal n. On note I(E, F )l’ensemble des injections de E
dans F. On a
#I(E, F ) = Ap
n=n(n−1) ...(n−p+ 1) = n!
(n−p)!.
On appelle p-arrangement de F(ensemble de cardinal n), toute application injective fde [[1, p]] dans F. En
identifiant fau p-uplet {f(1), f(2), . . . , f(p)}, un p-arrangement apparaît comme une suite ordonnée de péléments
distincts de F. Le nombre des p-arrangements de Fest donc Ap
n.
1.1.3 Cardinal de l’ensemble des bijections de Edans F
Soit Eun ensemble de cardinal net Fun ensemble de cardinal n. On note B(E, F )l’ensemble des bijections de E
dans F. On a
#B(E, F ) = An
n=n!.
On appelle permutation de Etoute bijection de Edans E. Le nombre de permutations de Eest n!.
1.1.4 Cardinal de l’ensemble des parties de E
Soit Eun ensemble de cardinal net soit pun entier tel que 0≤p≤n.
Le nombre de parties de Ede cardinal pest
Cp
n= n
p!=n!
p!(n−p)!.
On appelle p-combinaison de E(ensemble de cardinal n), toute partie de Ede cardinal p. Le nombre des p-
combinaisons de Eest donc Cp
n.
Propriétés de Cp
n:
–Cp
n=Cn−p
n;
–Cp
n=Cp
n−1+Cp−1 n−1.
Formule du binôme de Newton : étant donnés deux réels aet bet un entier naturel n, on a
(a+b)n=
n
X
p=0
Cp
napbn−p.
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