α π+α π−α α

TRIGONOMÉTRIE DE 1S
1. Le radian
Définition et propriétés : Soit (C) un cercle de centre O et de rayon R ; on a le tableau suivant
Mesure en degrés
360
B
180
90
π
Mesure en radians
α
2π
π
2
π
Longueur de l’arc
αR
R
2πR
πR
2
π 2 π 2 α 2
Aire du secteur angulaire πR2
R
R
R
2
4
2
180
180
degré et 1 degré =
rad
Conséquence : On a 1 rad =
π
π
A
O
y
J
M
2. Mesure d’un arc orienté
(

→ 
→
)
Th 1 : Si α est une mesure de OI , OM , alors toutes les autres mesures sont du
type α+k2π, où k est un entier relatif (k ∈ ).
(

→ 
→
On note OI , OM
) = α+k2π
(

→ 
→
(k ∈ ) ou OI , OM
) =α
o
I x
[2π].
Th 2 (relation de Chasles pour les angles orientés) : Soient u , v , w trois vecteurs
non nuls du plan. On a (u , v ) + (v , w) = (u , w) [2π].
Csq 1 : ( −u , v ) = (u , v ) + π
[2π] ; (u , − v ) = (u , v ) + π
(
) (
[2π] et ( −u , −v ) = (u , v ) [2π].
) (
)
Csq 2 : Pour tout triangle ABC, on a AB, AC + CA, CB + BC , BA = π [2π].
3. Cosinus et sinus d’un réel
(

→ 
→
)
Déf 1 : Soit M un point du cercle trigonométrique (C), α une mesure de OI , OM . Le
cosinus et le sinus du réel α sont les coordonnées du point M :
on a M(cosα ; sinα) dans (O, I, J)
2
2
Th 1 : Pour tout réel α, on a cos α+sin α = 1 (relation de Pythagore)
Th 2 : Valeurs remarquables :
α
0
cos α
1
sin α
0
π
6
3
2
1
2
π
4
2
2
2
2
π
3
1
2
π
2
3
2
1
0
Th 3 : Angles associés :
cos(−α) = cosα et sin(−α) = −sinα
cos(π−α) = −cosα et sin(π−α) = sinα
cos(π+α) = −cosα et sin(π+α) = −sinα
π
π
cos( − α ) = sin α et sin( − α ) = cosα
2
2
y
k
π−α
H'
π+ α
α
K
o
Ci-contre : configuration de base (angles associés)
π
−α
2
J
H
h
K'
I
−α
x
4. Equations trigonométriques
Th 1 : Soient x et α deux réels :
Th 2 : Soient x et α deux réels :
y
R|x = α + k 2π
cos x = cosα ⇔ Sou
( k ∈)
|Tx = −α + k 2π
R|x = α + k 2π
sin x = sin α ⇔ Sou
( k ∈)
|Tx = π − α + k 2π
J
π−α
α
sin x
o
cos x I
−α
5. Inéquations trigonométriques
Méthode : résoudre l’équation associée sur ]−π , π], (ou [0 , 2π[), puis conclure
•
soit à partir du cercle trigonométrique en se replaçant dans l'intervalle de définition de l''inéquation,
•
soit à partir du tableau de variation de la fonction associée.
6. Coordonnées polaires
On se place dans un repère (O, i , j ) orthonormé de sens direct. Tout point
M distinct de O peut être repéré par la distance OM = r > 0 et une mesure α
de l'angle i , OM . Réciproquement, à tout réel strictement positif r et tout
(
)
réel θ, on associe l'unique point du plan situé à l'intersection du cercle (C) de
centre O et de rayon r et de la demi-droite [OA) où A est le point du cercle
trigonométrique d'abscisse curviligne α.
Def : (r ; α) est appelé couple de coordonnées polaires du point M.
On note M(r ; α).
Rq : le couple (r ; α) n'est pas unique, car α n'est pas unique.
Par contre, au couple (r ; α) correspond un unique point M.
Th : Soit (O, i , j ) un repère orthonormé de sens direct, M un point du plan distinct de O, dont les
coordonnées polaires sont (r ; θ) et les coordonnées cartésiennes (x ; y). On a les relations suivantes :
r=
x2 + y 2
(1);
x = r cos α ;
(2)
y = r sin α
(3)
Csq 1 : les formules (2) et (3) permettent d'obtenir (x , y) connaissant (r , θ).
Csq 2 : Connaissant (x , y), on obtient r par (1), puis α en utilisant (2) et (3) sous la forme
cos α =
y
y
et sin α = .
r
r
7. Formules d'addition et de duplication
Th 1 : Formules d’addition :
cos(a+
+b) = cos a.cos b−
−sin a.sin b
cos(a−
−b) = cos a.cos b+
+sin a.sin b
sin(a+
+b) = sin a.cos b+
+sin b.cos a
sin(a−
−b) = sin a.cos b−
−sin b.cos a
Th 2 : Formules de duplication :
cos 2a = cos2a−
−sin2a = 2cos2a−
−1 = 1−
−2 sin2a
sin 2a = 2 sin a.cos a
Csq : on en déduit les formules du demi-angle : sin a =
2
1
2
(1 − cos 2 a ) et cos a =
2
1
2
(1 + cos 2 a )
x