α π+α π−α α

TRIGONOMÉTRIE DE 1S
1. Le radian
Définition et propriétés :Soit (C) un cercle de centre O et de rayon R ; on a le tableau suivant
Mesure en degrés 360 180 90
Mesure en radians 2
π π
π
2
α
Longueur de l’arc 2
π R π R
π
2
R
α R
Aire du secteur angulaire
π R2
π
2
R2
π
4
R2
α
2
R2
Conséquence : On a
1
180
rad
degré
=
π
et
1
180
degré rad=
π
2. Mesure d’un arc orienté
Th 1 : Si α est une mesure de
(
)
,OI OM
→
→
, alors toutes les autres mesures sont du
type α
αα
α +
++
+k2 π
ππ
π , où k est un entier relatif (k ∈  ).
On note
(
)
,OI OM
→
→
= α +k2 π
(k ∈  ) ou
(
)
,OI OM
→
→
= α [2 π ].
Th 2 (relation de Chasles pour les angles orientés) : Soient
u
,
v
,
w
trois vecteurs
non nuls du plan. On a
( , ) ( , ) ( , )u v v w u w
+ =
[2 π ].
Csq 1 : ( , ) ( , )u v u v
π
− = +
[2 π ] ; ( , ) ( , )u v u v
π
− = +
[2 π ] et
( , ) ( , )u v u v
− − = [2 π ].
Csq 2 :Pour tout triangle ABC, on a
(
)
(
)
(
)
, , ,
AB AC CA CB BC BA
+ + = π [2 π ].
3. Cosinus et sinus d’un réel
Déf 1 : Soit M un point du cercle trigonométrique (C), α une mesure de
(
)
,OI OM
→
→
. Le
cosinus et le sinus du réel α
αα
α sont les coordonnées du point M :
on a M(cos α
αα
α ; sin α
αα
α ) dans (O, I, J)
Th 1 : Pour tout réel
α , on a cos2 α +sin2 α = 1 (relation de Pythagore)
Th 2 : Valeurs remarquables :
α
0
π
6
π
4
π
3
π
2
cos α
13
2
2
2
1
2
0
sin α
0
1
2
2
2
3
2
1
Th 3 : Angles associés :
cos(− α ) = cos α et sin(− α ) = −sin α
cos( π − α ) = −cos α et sin( π − α ) = sin α
cos( π + α ) = −cos α et sin( π + α ) = −sin α
cos( )sin
π
α α
2
− = et sin( )cos
π
α α
2
− =
Ci-contre : configuration de base (angles associés)
A
B
O
x
y
oI
JM
x
y
oI
J
−α
π + α
π−α
α
H
K
K'
H'
π
α
2
−
h
k

4. Equations trigonométriques
Th 1 : Soient x et α deux réels : cos cos ( )x
x k
k
x k
=⇔= + ∈
= − +
R
S
|
T
|
α
α
π
απ
2
2
ou 
Th 2 : Soient x et α deux réels : sin sin ( )x
x k
k
x k
=⇔= + ∈
= − +
R
S
|
T
|
α
α
π
παπ
2
2
ou 
5. Inéquations trigonométriques
Méthode : résoudre l’équation associée sur ]− π , π ], (ou [0 , 2 π [), puis conclure
• soit à partir du cercle trigonométrique en se replaçant dans l'intervalle de définition de l''inéquation,
• soit à partir du tableau de variation de la fonction associée.
6. Coordonnées polaires
On se place dans un repère
( , , )O i j
orthonormé de sens direct. Tout point
M distinct de O peut être repéré par la distance OM = r > 0 et une mesure
α
de l'angle
(
)
,
i OM
. Réciproquement, à tout réel strictement positif r et tout
réel θ , on associe l'unique point du plan situé à l'intersection du cercle (C) de
centre O et de rayon r et de la demi-droite [OA) où A est le point du cercle
trigonométrique d'abscisse curviligne α .
Def : (r ; α ) est appelé couple de coordonnées polaires du point M.
On note M(r ; α ).
Rq : le couple (r ;
α ) n'est pas unique, car α n'est pas unique.
Par contre, au couple (r ; α ) correspond un unique point M.
Th : Soit
( , , )O i j
un repère orthonormé de sens direct, M un point du plan distinct de O, dont les
coordonnées polaires sont (r ; θ ) et les coordonnées cartésiennes (x ; y). On a les relations suivantes :
r =
2 2
x y
+(1); x = r cos α ; (2) y = r sin α (3)
Csq 1 : les formules (2) et (3) permettent d'obtenir (x , y) connaissant (r , θ ).
Csq 2 : Connaissant (x , y), on obtient r par (1), puis α en utilisant (2) et (3) sous la forme cos
y
r
α
=
et sin
y
r
α
=
.
7. Formules d'addition et de duplication
Th 1 : Formules d’addition :
cos(a+
++
+b) = cos a.cos b−
−−
−sin a.sin b
cos(a−
−−
−b) = cos a.cos b+
++
+sin a.sin b
sin(a+
++
+b) = sin a.cos b+
++
+sin b.cos a
sin(a−
−−
−b) = sin a.cos b−
−−
−sin b.cos a
Th 2 : Formules de duplication :
cos 2a = cos2a−
−−
−sin2a = 2cos2a−
−−
−1 = 1−
−−
−2 sin2a
sin 2a = 2 sin a.cos a
Csq : on en déduit les formules du demi-angle : 21
sin (1 cos 2 )
2
a a
= − et 21
cos (1 cos 2 )
2
a a
= +
x
y
oI
J
−α
π−α
α
sin x
cos x