Correction : 36 p. 83

Correction : 36 p.83 1/2
Correction : 36 p. 83
p est un nombre premier, p ≥ 3.
On considère l’équation : (E) ci-dessous dans laquelle les inconnues x et y sont des nombres
entiers naturels non nuls.
(E) : x
2
+ y
2
= p
2
a) p est un nombre premier tel que p ≥ 3. Donc, p est impair, soit p
2
est impair.
De plus, p
2
est la somme de deux entiers x
2
et y
2
. Ils sont donc de parité différente.
Or, x et x
2
sont de même parité.
On peut donc conclure que x et y sont de parité différente.
b) Supposons par l’absurde que x est divisible par p, soit x ≡ 0 [p].
Donc : x
2
≡ 0 [p].
D’où : y
2
= p
2
- x
2
≡ 0 - 0 [p]
≡ 0 [p]
p divise donc y
2
. D’après l’exercice 32, on conclut que : p | y.
Il existe un entier naturel k non nul tel que : y = kp.
De plus, il existe un entier naturel k’ non nul tel que : x = k’p (puisque p | x).
D’où : x
2
+ y
2
= p
2
k’
2
p
2
+ k
2
p
2
= p
2
k’
2
+ k
2
= 1 : ce qui est impossible
Donc, p ne divise pas x. On montre de même que p ne divise pas y.
c) On considère d un diviseur commun positif de x et y.
Par combinaison linéaire, d divise x
2
+ y
2
, soit d divise p
2
.
Les diviseurs positifs de p
2
sont 1, p et p
2
.
d est donc différent de p et p
2
, sinon p diviserait x et y.
Donc : d = 1.
Ainsi : PGCD (x ; y) = 1. x et y sont bien premiers entre eux.