Correction : 36 p. 83

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Correction : 36 p. 83
p est un nombre premier, p ≥ 3.
On considère l’équation : (E) ci-dessous dans laquelle les inconnues x et y sont des nombres
entiers naturels non nuls.
(E) : x2 + y2 = p2
a) p est un nombre premier tel que p ≥ 3. Donc, p est impair, soit p2 est impair.
De plus, p2 est la somme de deux entiers x2 et y2. Ils sont donc de parité différente.
Or, x et x2 sont de même parité.
On peut donc conclure que x et y sont de parité différente.
b) Supposons par l’absurde que x est divisible par p, soit x ≡ 0 [p].
Donc : x2 ≡ 0 [p].
D’où : y2
= p2 - x2
≡ 0 - 0 [p]
≡ 0 [p]
2
p divise donc y . D’après l’exercice 32, on conclut que : p | y.
Il existe un entier naturel k non nul tel que : y = kp.
De plus, il existe un entier naturel k’ non nul tel que : x = k’p (puisque p | x).
D’où :
x2 + y2 = p2
k’2p2 + k2p2 = p2
: ce qui est impossible
k’2 + k2 = 1
Donc, p ne divise pas x. On montre de même que p ne divise pas y.
c) On considère d un diviseur commun positif de x et y.
Par combinaison linéaire, d divise x2 + y2, soit d divise p2.
Les diviseurs positifs de p2 sont 1, p et p2.
d est donc différent de p et p2, sinon p diviserait x et y.
Donc : d = 1.
Ainsi : PGCD (x ; y) = 1. x et y sont bien premiers entre eux.
Correction : 36 p.83
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