Arithmétique I

IUT de Rodez Ann´ee universitaire 2008/2009
Informatique 1◦ann´ee TD de math´ematiques n◦6.
TD n◦6. Arithm´etique.
Exercice 1 1. Montrer que
– la somme de deux entiers pair est paire.
– la somme de deux entiers impairs est paire.
– La somme d’un entier pair et d’un entier impair est impair.
2. Montrer que la somme de deux entiers impairs cons´ecutifs est toujours divisible par 4.
3. Montrer que si aest un multiple de 4, alors 4 divise tout entier de la forme (a+ 4)n.
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Exercice 2 Soient aet bdeux entiers positifs tels que a > b. On effectue la division euclidienne
de aet bpar a−b. Il exsite donc q1, q2, r1, r2∈Ntels que
a= (a−b)q1+r1et b= (a−b)q2+r2,06r1, r2<(a−b).
1. Montrer que (b−a)<(r1−r2)<(a−b).
2. Montrer que (a−b) divise (r1−r2).
3. En d´eduire que r1=r2, puis que q1=q2+ 1.
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Exercice 3 1. ´ Ecrire 38 en base 7, 5 et 3.
2. ´ Ecrire les nombres 13, 14 et 16 en base 2.
3. Soit nun entier. Montrer que si son ´ecriture en base 6 finie par 0, alors c’est un multiple
de 6.
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Exercice 4 1. Montrer que pour tout p∈N, 10n−1 est un multiple de 9. (Autrement dit,
pour tout p∈N, il existe un entier kptel que 10n= 1 + 9kp).
2. En d´eduire que pour un entier donn´e, si la somme de ses chiffres, lorsqu’il est ´ecrit en
base 10, est divisible par 9, alors cet entier est un multiple de 9.Rappelons que si un entier
s’´ecrit n= (npnp−1. . . n1n0)10, on a
n=np.10p+np−1.10p−1+...+n1.10 + n0.
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Exercice 5 Soient aet bdeux entiers.
1. Montrer que si dest un entier qui divise aet b, alors ddivise aussi tout entier de la forme
ak1+bk2pour tous k1et k2dans Z.
1

2. Montrer que a|bsi et seulement si bZ⊂aZ. (Rappel : aZ={a.n, n ∈Z}).
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Exercice 6 Soient a, b ∈Z.
1. Montrer que l’ensemble aZ+bZest un id´eal de Z. (Rappel : un id´eal de Zest un sous
ensemble de Znon vide, stable par addition et par multiplication).
2. Montrer que si aZ+bZ=dZ, alors dest le pgcd de aet b.
3. Montrer que aZ∩bZest un id´eal de Z.
4. Montrer que si aZ∩bZ=dZ, alors d= ppcm(a, b).
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