TS1-TS3 spécialité CORRIGE DS1 Exercice 1 : Les nombres cherchés sont les nombres n tels que n = 5×3r + r avec r entier tel que : 0 r < 5 (car le quotient est q = 3r) Il en résulte que n = 16r avec r = 0 ou r = 1 ou r = 2 ou r = 3 ou r = 4 . Les solutions sont donc 0 ; 16 ; 32 ; 48 ; 64 . Exercice 2 : Posons a = n(n+1)(2n + 1) Il s’agit de prouver que a = 3k avec k ZZ Or tout entier naturel n s’écrit n = 3q ou n = 3q +1 ou n = 3q + 2 avec q ZZ (car le reste de la division euclidienne de n par 3 est soit 0 , soit 1 , soit 2) Si n = 3q alors a = 3q(3q+1)(6q +1) et q(3q+1)(6q +1) ZZ donc 3 divise a Si n = 3q + 1 alors a = (3q+1)(3q + 2)(6q +3) = 3(3q+1)(3q + 2)(q + 1) et (3q+1)(3q + 2)(q + 1) ZZ donc 3 divise a Si n = 3q + 2 alors a = (3q + 2 )(3q + 3)(6q + 7) = 3(3q + 2 )(q + 1)(6q + 7) et (3q + 2 )(q + 1)(6q + 7) ZZ donc 3 divise a . Exercice 3 : n+8 est entier 2n – 5 divise n + 8 2n –5 Or , 2n – 5 / 2n – 5 donc, si 2n – 5 / n + 8 , alors, d’après la propriété fondamentale 2n – 5 / u (2n – 5) + v (n + 8) pour tout uZZ et vZZ En prenant u = –1 et v = 2 , on obtient : 2n – 5 / – (2n – 5)+ 2 (n + 8) = 21 donc 2n – 5 / 21 Réciproquement, (pour éviter l’étape de vérification, à la fin) 2n – 5 / 2n – 5 et si 2n – 5 / 21 , d’ après la propriété fondamentale avec u = 1 et v = 1on obtient : 2n – 5 / (2n – 5)+ 21= n + 8 donc On a donc l’équivalence : 2n – 5 / n+ 8 2n – 5 divise n + 8 2n – 5 / 21 Or , D(21) = { – 21 ; – 7 ; – 3 ; – 1 ; 1 ; 3 ; 7 ; 21} 2n – 5 = –21 n = –8 Ou 2n – 5 = – 7 n = – 1 Ou 2n – 5 = –3 n = 1 Ou 2n – 5 = – 1 n = 2 Ou 2n – 5 = 3 n = 4 Ou 2n – 5 = 7 n = 6 Ou On a : 2n – 5 = 1 n = 3 Ou 2n – 5 = 21 n = 13 Ainsi S = { – 8 ; 1 ; 3 ; 6 ; –1 ; 2 ; 4 ; 13 } Exercice 4 : 1)(n+1)3 = n3 + 3×n² ×1 + 3×1²×n + 13 = n3 + 3n² + 3n + 1 n2(n+3) + 3n + 1 = n3 + 3n² +3n + 1 donc (n+1) 3 = n2(n+3) + 3n + 1 2) (n+1)3 = n2(n+3) + 3n + 1 le reste de la division euclidienne de (n + 1)3 par n² est 3n + 1 seulement si 0 3n + 1 < n² Or 0 3n + 1 < n² 3n + 1 < n² (car n IN* donc 3n + 1 est positif ) n² – 3n – 1 > 0 Soit P(x) = x² – 3x – 1 Δ =9 + 4 = 13 x1 = 3 + 13 3,3 2 x2 = 3 – 13 –0,3 2 On a donc x2 – 3x – 1 > 0 si et seulement si x ] – ; x 1 [ ] x 2 ; + [ . Or n IN . Donc n 2 – 3n + 1 > 0 n 4 . Pour tout n 4 , le reste est 3n + 1. Pour les autres valeurs de l’entier n: Pour n = On a : a = (n + 1)3 = Et b = n² 1 2 3 8 27 64 1 4 9 Le reste de a par b est : 0 3 1 Exercice 5 : 9x2 = y2 + 20 (3x – y)( 3x + y) = 20 Les entiers 3x – y et 3x + y sont des diviseurs associés positifs de 20(car x IN et y IN donc 3x + y IN) ; de plus on peut remarquer que 3x – y < 3x + y. Or D(20) = {1 ; 2 ; 4 ; 5 ; 10 ; 20} 3x – y = 1 3x + y = 20 Les systèmes possibles sont les suivants : 6x = 21 3x + y = 20 x= y= Donc S = {(2 ; 4)} 2 4 3x 3x ou 6x 3x ou –y=2 + y = 10 ou 3x 3x –y=4 +y=5 = 12 6x = 9 ou + y =10 3x + y = 10 (le 1er et le 3ième sont impossibles dans IN×IN)