Devoir surveillé 1. (Programme de terminale)

Mathématique
ECS 1
10 Septembre 2011
Devoir surveillé 1.
(Programme de terminale)
La qualité de la rédaction entrera pour une part importante dans l’appréciation de
la copie. Veillez à bien justifier vos réponses : un exercice bien traité rapporte des
points, un exercice traité de façon non rigoureuse ne rapporte pas de points. Malus de
2 points pour les copies mal rédigées. La durée de l’épreuve est de 4 heures. Aucune
sortie définitive avant la fin de l’épreuve. Les calculatrices ne sont pas autorisées. Les
téléphones portables doivent être rangés.
√
√
Exercice 1. On pose f (x) = x cos 23 ln x − π6 .
(1) Quel est le domaine de définition de f ? Quel est le domaine de dérivabilité de f ?
1
0
(2) Montrer que sur le domaine de dérivabilité de f , on a f (x) = f
.
x
Exercice 2. On veut calculer l’intégrale
Z π4
1
dt
I=
cos5 t
0
Pour cela, pour tout n ∈ N, on pose
Z
In =
0
π
4
1
cos2n+1
t
dt
(1) Soit f la fonction définie sur [0, π4 ] par f (x) = cos1 x . Montrer qu’il existe deux réels a, b tels
que, pour tout x ∈ [0, π4 ],
a cos x
b cos x
1
=
+
cos x
1 − sin x 1 + sin x
(2) En déduire une primitive de la fonction f et le calcul de I0 .
(3) A l’aide d’une intégration par parties, établir que, pour tout n ∈ N∗ ,
2n
2nIn = (2n − 1)In−1 + √
2
(4) En déduire le calcul de I.
Exercice 2. On définit une suite de nombres complexes z1 , z2 , . . . , zn de la manière suivante : on
pose z1 = 1 − i et pour tout entier k ∈ N, k ≥ 2,
zk = jzk−1
où j est le nombre complexe e
2iπ
3
et i le nombre complexe tel que i2 = −1.
(1) Calculer z2 , z3 , z4 (sous forme trigonométrique) et représenter avec soin leurs images dans le
plan complexe. Vérifier que z1 + z2 + z3 = 0.
(2) Montrer que pour tout entier k ≥ 4, zk = zk−3 . On pourra raisonner par récurrence sur k.
(3) On s’intéresse à la somme
Sn = z1 + z2 + . . . + zn
suivant les valeurs de l’entier n. Déduire à l’aide des questions (1) et (2) que :
(a) si n est un entier multiple de 3 alors Sn = 0,
1
(b) si n est un entier de la forme 3p + 1 où p ∈ N alors Sn = z1 ,
(c) si n est un entier de la forme 3p + 2 où p ∈ N alors Sn = z1 + z2 .
Problème.
Première partie : une formule de Taylor.
Dans toute cette partie, x désigne un nombre réel.
(1) En utilisant la formule d’intégration par parties, montrer que :
Z x
Z x
et dt
tet dt = xex −
0
0
x
Z
(x − t)et dt, que
(2) En déduire, par un calcul de l’intégrale
0
ex = 1 + x +
Z
x
(x − t)et dt
0
(3) Démontrer que pour tout n ∈ N∗
Z x
Z x
(x − t)n t
xn+1
(x − t)n+1 t
e dt =
+
e dt
n!
(n + 1)!
(n + 1)!
0
0
(4) Démontrer par récurrence sur n la formule
x2
xn
e =1+x+
+ ... +
+
2!
n!
x
Z
0
x
(x − t)n t
e dt
n!
Seconde partie : à propos du nombre e
Dans cette partie, on veut montrer que le nombre e n’est solution d’aucune équation du second
degré à coefficients dans Q, c’est-à-dire qu’il n’est pas possible de trouver des nombres rationnels
a, b, c avec a 6= 0 tels que ae2 + be + c = 0.
x2
xn
On note Pn la fonction polynômiale définie sur R par Pn (x) = 1 + x + + . . . +
et on considère
2!
n!
les intégrales
Z
Z
1
0
(1 − t)n et dt et Jn =
In =
(1 − t)n et dt
−1
0
(1) Pour a, b, c entiers relatifs, on note H = ae + b + ce−1 . On suppose que a 6= 0 ou c 6= 0.
(a) Démontrer que
n!H = n![aPn (1) + b + cPn (−1)] + aIn + (−1)n+1 cJn .
(b) Montrer que pour tout n ∈ N∗
0 ≤ In ≤
(2)
(3)
(4)
(5)
1
e
et 0 ≤ Jn ≤
n+1
n+1
(c) En déduire la limite de un = aIn + (−1)n+1 cJn lorsque n tend vers +∞.
(d) Démontrer que Qn = n![aPn (1) + b + cPn (−1)] est un entier relatif.
Démontrer que pour n > 1, le nombre Qn − [a + (−1)n c] est un entier multiple de n.
On suppose que |a| =
6 |c|. Montrer que l’on peut trouver un entier n0 tel que pour tout n > n0 ,
le nombre Qn n’est pas nul. Il existe donc une infinité d’entiers n pour lesquels Qn 6= 0.
(a) Démontrer, en utilisant (1b), que H ne peut être nul que si a = b = c = 0.
(b) Démontrer que e n’est solution d’aucune équation du second degré à coefficients dans
Q.
Le nombre e est-il rationnel ?
2
Mathématique
ECS 1
15 octobre 2011
Devoir surveillé 2.
La qualité de la rédaction entrera pour une part importante dans l’appréciation de
la copie. Veillez à bien justifier vos réponses : un exercice bien traité rapporte des
points, un exercice traité de façon non rigoureuse ne rapporte pas de points. Malus
de 2 points pour les copies mal rédigées. La durée de l’épreuve est de 4 heures.
Aucune sortie avant la fin de l’épreuve. Les calculatrices ne sont pas autorisées. Les
téléphones portables doivent être rangés.
Si, au cours de l’épreuve, vous repérez ce qui vous semble être une erreur d’énoncé, signalez le sur
votre copie et poursuivez votre composition en expliquant les raisons des initiatives que vous êtes
amenés à prendre.
Exercice 1. On rappelle la formule du binôme : si n est un entier supérieur ou égal à 1 alors
n n X
n k n−k X n k n−k
n
∀a ∈ C, ∀b ∈ C, (a + b) =
a b
=
b a
k
k
k=0
k=0
(1) Soit t ∈ R. Exprimer 1 + eit en fonction de cos 2t et e
i 2t
(2) Soit m ∈ N tel que m ≥ 2. Rappeler la définition et les propriétés des racines me de l’unité.
(3) Soit n un entier supérieur ou égal à 2. On pose ω = e
2iπ
m
et S =
m−1
X
(1 + ω j )n . Montrer que
j=0
n
S=2
m−1
X
e
injπ
m
cos
n
j=0
(4) Soit k ∈ J0, nK. Simplifier
m−1
X
jπ
m
ω jk (on distinguera les cas « k multiple de m » et « k non
j=0
multiple de m »). En déduire que
X
S=m
0≤k≤n
k multiple de m
n
k
(6) Soit p le plus grand entier tel que mp ≤ n. Déduire de (3) et (4) que
p m−1
X
n
2n X
jπ
njπ
n
=
cos
cos
jm
m j=0
m
m
j=0
Exercice 2. Dans cet exercice, on admettra que toute fonction continue et injective sur un intervalle
I est strictement monotone sur cet intervalle.
(1) Soit E, F, G des ensembles (non vides), et des applications f : E −→ F et g : F −→ G
Montrer que si g ◦ f est injective alors f est injective.
(2) On s’intéresse au problème suivant :
Existe-t-il des fonctions f continues vérifiant f ◦ f ◦ f = IR , c’est à dire
∀x ∈ R,
f ◦ f ◦ f (x) = x ?
1
(a) Montrer que si f est une telle fonction alors elle est injective.
(b) Montrer que f est strictement croissante sur R.
(c) Soit x ∈ R. Montrer que les cas f (x) > x et f (x) < x sont impossibles.
(d) En déduire les fonctions f continues vérifiant f ◦ f ◦ f = IR
(3) On s’intéresse au problème suivant :
Existe-t-il des fonctions f et g définies sur R et vérifiant
∀x ∈ R, f ◦ g(x) = x3 , et g ◦ f (x) = x2 ?
On suppose qu’il existe deux telles fonctions f et g.
(a) Montrer que g est injective.
(b) Monter que pour tout x ∈ R
f (x2 ) = f (x)3 et g(x3 ) = g(x)2
(c) En déduire que g(0), g(−1) et g(1) sont égaux à 0 ou 1.
(d) Conclure.
Exercice 3. Les deux parties sont indépendantes.
Première partie.
Soit f la fonction définie sur R par
f (x) =
e2x − 1
e2x + 1
(1) Montrer que f est impaire. Etudier les variations de f .
(2) Montrer que f réalise une bijection de R sur ] − 1, 1[ et donner son application réciproque.
(3) Vérifier que pour tous réels a et b,
f (a + b) =
f (a) + f (b)
1 + f (a)f (b)
(4) En déduire que si x et y appartiennent à ] − 1, 1[ alors
x+y
appartient à ] − 1, 1[.
1 + xy
Deuxième partie.
On note D le sous-ensemble de C défini par
D = {z ∈ C| |z| < 1}
et α un nombre complexe appartenant à D.
(1) Montrer que pour tout z ∈ C,
z−α
z ∈ D alors
∈ D.
1 − αz
|1 − αz|2 − |z − α|2 = (1 − |z|2 )(1 − |α|2 ). En déduire que si
(2) Montrer que l’application ϕ : D −→ D définie par ϕ(z) =
l’application réciproque ϕ−1 .
2
z−α
est une bijection et donner
1 − αz
Mathématique
ECS 1
19 novembre 2011
Devoir surveillé 3.
La qualité de la rédaction entrera pour une part importante dans l’appréciation de
la copie. Veillez à bien justifier vos réponses : un exercice bien traité rapporte des
points, un exercice traité de façon non rigoureuse ne rapporte pas de points. Malus
de 2 points pour les copies mal rédigées. La durée de l’épreuve est de 4 heures.
Aucune sortie avant la fin de l’épreuve. Les calculatrices ne sont pas autorisées. Les
téléphones portables doivent être rangés.
Si, au cours de l’épreuve, vous repérez ce qui vous semble être une erreur d’énoncé, signalez le sur
votre copie et poursuivez votre composition en expliquant les raisons des initiatives que vous êtes
amenés à prendre.
Exercice 1. Connaissance du cours.
√
(1) Quel est le reste dans la division euclidienne de X 8 par X 2 − 3 ?
(2) Soit P ∈ C[X] tel que pour tout z ∈ C, P (z) ∈ R. Que peut on dire de P ? Justifier.
(3) Soit n ∈ N. Quelle est la multiplicité de la racine 1 du polynôme P = X n+2 − 2X n+1 + X n +
nX 2 − 2nX + n ?
(4) Ecrire un programme Pascal demandant à l’utilisateur d’entrer un réel x, qui lit le réel tapé
et qui affiche à l’écran |x|.
Exercice 2.
(a) Déterminer quatre nombres réels a, b, c, d tels que
∀t ∈ [0, 1],
t
a
b
ct + d
=
+
+
(1 + t2 )(1 + t)2
1 + t (1 + t)2
1 + t2
(b) Pour x ∈]0, π2 [, exprimer sin x en fonction de t = tan x2 .
Z π2
sin x
dx (poser t = tan x2 ).
(c) Calculer l’intégrale I =
1 + sin x
0
Exercice 3. On considère la fonction numérique u définie sur R par la relation :
u(x) = exp −x2 .
La fonction u est indéfiniment dérivable sur R. Pour tout nombre entier naturel non nul n, on
désigne par u(n) la dérivée neme de u. C’est la fonction obtenue en dérivant n fois la fonction u.
En particulier, pour tout n ∈ N∗ , u(n) = (u0 )(n−1) = (u(n−1) )0 .
On note Hn la fonction numérique définie sur R par la relation :
u(n) (x) = (−1)n Hn (x)u(x)
1
(1)
(1) (a) Pour x ∈ R, exprimer u0 (x) en fonction de x et u(x) puis exprimer u00 (x) en fonction de
x, u(x) et u0 (x).
En raisonnant par récurrence, montrer que pour tout nombre entier n ≥ 2 et tout réel
x:
u(n) (x) = 2xu(n−1) (x) − 2(n − 1)u(n−2) (x)
(2)
(b) Calculer H0 et H1 , puis déduire des relations précédentes l’expression de Hn (x) en
fonction de Hn−1 (x), Hn−2 (x) et x.
(c) Prouver que Hn est un polynôme dont on précisera, en fonction de n, le degré, la parité
et le signe sur [0, +∞[.
(2) En dérivant la relation (1) et en utilisant la relation entre Hn+1 (x), Hn (x), Hn−1 (x) et x,
établir la relation suivante, pour tout nombre entier naturel non nul n :
Hn0 (x) = 2nHn−1 (x)
(3)
(3) Etablir que, pour tout nombre entier naturel n :
Hn00 (x) − 2xHn0 (x) + 2nHn (x) = 0
(on pourra dériver deux fois la formule (1).
Exercice 4. Dans cet exercice, on se propose de résoudre dans R l’équation
Arctan(x − 3) + Arctan x + Arctan(x + 3) =
π
.
4
(1) On pose A = Arctan 2 + Arctan 5 + Arctan 8. Calculer tan A. En déduire la valeur de A.
(2) Soit f la fonction définie sur R par
f (x) = Arctan(x − 3) + Arctan x + Arctan(x + 3).
3π
(a) Montrer que f réalise une bijection de R sur − 3π
2 , 2 .
π
(b) En déduire que l’équation f (x) = admet une unique solution x0 sur R.
4
(3) Montrer que x0 ∈]0, 1[.
(4) Pour tout x ∈]0, 1[, montrer que
tan ( Arctan(x − 3) + Arctan(x + 3)) =
2x
10 − x2
puis que
tan(f (x)) =
12x − x3
10 − 3x2
(5) En déduire que x0 est solution de l’équation x3 − 3x2 − 12x + 10 = 0.
(6) (a) En remarquant que le réel A de la question (1) est f (5), trouver une racine au polynôme
X 3 − 3X 2 − 12X + 10 et vérifier le.
(b) En déduire les autres racines et conclure.
2
Mathématique
ECS 1
12 décembre 2011
Concours blanc : Première épreuve
La qualité de la rédaction entrera pour une part importante dans l’appréciation de
la copie. Veillez à bien justifier vos réponses : un exercice bien traité rapporte des
points, un exercice traité de façon non rigoureuse ne rapporte pas de points. Malus
de 2 points pour les copies mal rédigées. La durée de l’épreuve est de 4 heures.
Aucune sortie avant la fin de l’épreuve. Les calculatrices ne sont pas autorisées. Les
téléphones portables doivent être rangés.
Si, au cours de l’épreuve, vous repérez ce qui vous semble être une erreur d’énoncé, signalez le sur
votre copie et poursuivez votre composition en expliquant les raisons des initiatives que vous êtes
amenés à prendre.
Conseils de rédaction.
Tout d’abord, il est inutile de recopier l’énoncé. Il faut éviter tout recours abusif aux symboles
logiques : les formules doivent être intégrées à des phrases en français correctement rédigées. On
ne mélange jamais les symboles ∀, ∃, ⇒, . . . avec des phrases en français : on écrira « quel que soit,
il existe, implique,. . . »en toutes lettres ! Rappelez vous que la flèche ⇒ n’a pas la signification de
« donc ». N’oubliez pas aussi qu’il faut
– respecter les notations de l’énoncé
– définir avec précision toute notation utilisée ne figurant pas dans l’énoncé,
– utiliser les mots mathématiques avec leur sens précis : le correcteur n’est pas là pour deviner
ce que vous avez voulu écrire. On ne peut juger que ce qui figure sur la copie.
– éviter les ratures, écrire lisiblement, soigner les graphiques (pensez à travailler au brouillon
pour esquisser un raisonnement ou faire un calcul afin de ne pas raturer votre copie.)
Au cours de la rédaction, ne perdez pas de vue que vous cherchez à convaincre votre lecteur que
vous savez résoudre le problème posé, en lui expliquant le plus clairement possible la solution que
vous avez trouvée. On évitera de donner une simple liste de résultats et on justifiera soigneusement
toute affirmation. On détaillera les articulations du raisonnement ainsi que les calculs. L’évidence
est une notion relative ! Il faut expliquer clairement votre démarche en invoquant le cours et en
citant les théorèmes. Retenez que
Toute affirmation non justifiée n’a aucune valeur.
Un conseil : ne bluffez jamais parce que le correcteur connait votre jeu ! Rien ne le met plus hors
de lui que la présence d’une malhonnêteté dans une copie. . . Dans les rapports d’HEC, on peut
lire : « Toute tentative de dissimulation indispose les correcteurs et peut être très pénalisante. »
1
Exercice 1. On considère, pour n ∈ N, n ≥ 3, le polynôme P ∈ R[X] donné par
X(X − 1) X(X − 1)(X − 2)
X(X − 1)(X − 2) . . . (X − n + 1)
−
+ . . . + (−1)n
2!
3!
n!
p
X
p
(1) Montrer que pour tout p ∈ N∗ ,
(−1)j
= 0.
j
j=0
P =1−X +
(2) En déduire la factorisation de P en produit de facteurs du premier degré.
Exercice 2. Soit E un ensemble fini à n éléments.
(1) Soit k un entier de J1, nK. Quel est le nombre de parties de E de cardinal k ?
(2) Soit A une partie de E de cardinal k. Quel est le nombre de sous-ensembles B de A ?
(3) En déduire sous forme d’une somme le nombre de couples (A, B) de parties de E vérifiant
B ⊂ A. Montrer que cette somme est égale à 3n .
(4) En déduire le nombre de triplets (A, B, C) de parties de E vérifiant C ⊂ B ⊂ A.
(5) Soit A une partie de E de cardinal k. Quel est le nombre de parties B de E disjointes de A,
c’est à dire tels que A ∩ B = ∅ ?
(6) En déduire le nombre de couples (A, B) de parties de E vérifiant A ∩ B = ∅.
Problème. Ce problème a pour objectif d’établir l’équivalent de n! suivant :
n n
√
n! ∼ 2πn
e
C’est la formule de Stirling.
Les trois parties de ce problème sont indépendantes.
Première partie.
(0) Par intégration par parties, trouver une primitive sur ]0, +∞[ de t 7→ ln t.
(1) Soit k un entier tel que k ≥ 2.
(a) Montrer que pour tout k ∈ N, k ≥ 2 :
Z k
Z
ln tdt ≤ ln k ≤
k−1
k+1
ln tdt.
k
(a) En déduire un encadrement de ln n!, puis un équivalent de ln n!.
(2) On pose désormais, pour tout n ≥ 1,
vn =
en n!
1
nn+ 2
, et dn = ln vn .
Montrer que, pour tout n ≥ 1,
dn − dn+1
2n + 1
=
ln
2
2
1+
1−
1
2n+1
1
2n+1
!
(3) Montrer que, pour tout n ≥ 1,
1
1
1
−
≤
12n + 1 12(n + 1) + 1
3(2n + 1)2
et
1
1
1
−
≤
12n 12(n + 1)
3((2n + 1)2 − 1)
1
1+t
t2
(4) Soit f la fonction définie sur ]0, 1[ par f (t) =
ln
−1− .
2t
1−t
3
(a) Etudier les variations de la fonction g définie sur ]0, 1[ par g(t) = 2tf (t).
(b) En déduire que f est positive.
t2
1
1+t
(5) Soit h la fonction définie sur ]0, 1[ par h(t) =
− ln
+ 1.
3(1 − t2 ) 2t
1−t
(a) Etudier les variations de la fonction k définie sur ]0, 1[ par k(t) = 2th(t).
(b) En déduire le signe de h.
(6) En déduire, pour tout n ≥ 1, l’encadrement
1
1
1
1
−
≤ dn − dn+1 ≤
−
12n + 1 12(n + 1) + 1
12n 12(n + 1)
(7) Montrer que les suites (dn −
commune.
1
∗
12n )n∈N
et (dn −
1
∗
12n+1 )n∈N
sont adjacentes. Soit ` leur limite
(8) En déduire l’existence d’un réel C tel que pour tout n ≥ 1,
1
1
1
1
Cnn+ 2 e−n e 12n+1 ≤ n! ≤ Cnn+ 2 e−n e 12n
et donner un équivalent de n!.
Deuxième partie.
Dans cette partie, on détermine la constante C de l’équivalent de n! trouvé plus haut. Pour tout
Z π2
n ∈ N, on pose In =
cosn xdx
0
(1) Calculer I0 et I1 .
(2) A l’aide d’une intégration par parties, montrer que pour n ≥ 1,
In+1 =
n
In−1 .
n+1
En déduire les valeurs de I2p et I2p+1 en fonction de p.
I2n
(3) Montrer que la suite (In )n∈N est décroissante et en déduire la limite de la suite
.
I2n+1
√
(4) Montrer alors que C = 2π.
Troisième partie.
Soit n un entier strictement positif.
(1) Combien y a-t-il d’applications injectives de J1, nK dans J1, n2 K ?
(2) On note pn la proportion des applications injectives de J1, nK dans J1, n2 K (c’est le rapport entre
le nombre applications injectives et le nombre total d’applications). La suite est consacrée à
l’étude de la limite de la suite (pn )n∈N∗ .
3
(a) Exprimer pn en fonction de n.
(b) En utilisant la formule de Stirling, montrer que
pn ∼
n
n−1
n2 −n
e−n
(3) On pose, pour tout n ≥ 2,
un =
n
n−1
n2 −n
e−n .
Soit f la fonction définie sur ]0, 1[ par f (x) = x + (1 − x) ln(1 − x).
Montrer que pour tout n ≥ 2, ln(un ) = −n2 f n1
(4) A présent, on étudie la fonction f .
(a) Montrer que pour tout t ∈]0, 1[,
1
t2
=1+t+
1−t
1−t
(b) En déduire que pour tout x ∈]0, 1[, ln(1 − x) = −x −
f (x) =
1 2 1 3
x + x − (1 − x)
2
2
x2
−
2
Z
x
0
x
Z
x
0
t2
dt
1−t
t2
1
dt ≤ x3 .
3
0 1−t
(d) Déduire de ce qui précède, que pour tout x ∈]0, 1[,
Z
(c) Montrer que pour tout x ∈]0, 1[, 0 ≤ (1 − x)
1 2
1
1
x ≤ f (x) ≤ x2 + x3
2
2
2
(e) En déduire un équivalent simple de f ( n1 ).
(5) Quelle est la limite de pn quand n tend vers +∞.
4
t2
dt puis que
1−t
Mathématique
ECS 1
14 décembre 2011
Concours blanc : Deuxième épreuve
La qualité de la rédaction entrera pour une part importante dans l’appréciation de
la copie. Veillez à bien justifier vos réponses : un exercice bien traité rapporte des
points, un exercice traité de façon non rigoureuse ne rapporte pas de points. Malus
de 2 points pour les copies mal rédigées. La durée de l’épreuve est de 4 heures.
Aucune sortie avant la fin de l’épreuve. Les calculatrices ne sont pas autorisées. Les
téléphones portables doivent être rangés.
Si, au cours de l’épreuve, vous repérez ce qui vous semble être une erreur d’énoncé, signalez le sur
votre copie et poursuivez votre composition en expliquant les raisons des initiatives que vous êtes
amenés à prendre.
Exercice 1. Soient a < b deux nombres réels et f : [a, b] −→ R une fonction continue. On suppose
que pour tout x ∈ [a, b], f (a + b − x) = f (x).
Z
Z b
a+b b
f (x)dx.
(a) Montrer que
xf (x)dx =
2
a
a
Z π
Z π
x sin x
x
(b) Calculer
dx
et
dx
2
0 1 + cos x
0 1 + sin x
Exercice 2. On pourra utiliser la propriété suivante : si (un )n∈N une suite de nombres réels alors
n
X
(u2k + u2k+1 ) =
k=0
2n+1
X
uk .
k=0
(1) (a) Montrer que pour tout x ∈ [0, 1[ et tout n ∈ N,
n
X
1
xn+1
=
(−1)k xk + (−1)n+1
.
1+x
1+x
k=0
L’égalité est elle vraie pour x = 1 ?
(b) En déduire que pour tout x ∈ [0, 1] et tout n ∈ N,
ln(1 + x) =
n
X
xk+1
(−1)
+ (−1)n+1
k+1
k
k=0
Z
0
x
tn+1
dt
1+t
Montrer alors que
n
X
(−1)k 1
ln 2 −
≤
k+1
n+2
k=0
et conclure quant à la nature et à la somme de la série
X (−1)n
.
n+1
n≥0
(2) (a) Déterminer deux nombres réels a et b tels que pour tout réel x ∈
/ {−1, 0},
1
a
b
= +
.
x(x + 1)
x x+1
(b) Montrer que la série
X
n≥1
1
converge et calculer sa somme.
n(n + 1)
1
X
(c) Montrer que la série
n≥0
(3) (a) On admet que
somme.
1
converge et calculer sa somme.
(2n + 1)(2n + 2)
+∞
X
X
π2
1
1
=
converge et calculer sa
. Montrer que la série
2
p
6
(2n + 1)2
p=1
n≥0
(b) Déterminer deux nombres réels a et b tels que pour tout réel x ∈
/ {−1, − 12 , 0},
1
a
b
=
.
+
2
x(x + 1)(2x + 1)
x(x + 1) (2x + 1)2
X
(c) Montrer que la série
n≥1
1
converge et calculer sa somme.
n(n + 1)(2n + 1)2
(4) Pour tout réel positif x et tout entier naturel n, on note Un (x), Vn (x), Sn (x) les sommes
partielles d’indice n suivantes
Un (x) =
n
n
n
X
X
X
xk
xk
xk
, Vn (x) =
, Sn (x) =
.
(2k)!
(2k + 1)!
k!
k=0
k=0
k=0
(a) Rappeler la limite de la suite (Sn (x))n∈N .
(b) Montrer que pour tout n ∈ N,
√
xVn (x) = S2n+1 ( x)
√
√
Un (x) − xVn (x) = S2n+1 (− x)
Un (x) +
(c) En déduire que les séries
somme.
√
X xk
X
xk
et
sont convergentes et calculer leur
(2k)!
(2k + 1)!
k≥0
k≥0
(5) Pour tout n ∈ N, on note an le nombre de triplets (x1 , x2 , x3 ) d’entiers naturels solutions de
l’équation
x1 + x2 + x3 = n.
(a) Déterminer an .
(b) Soit x un nombre réel. Etudier la nature de la série
X
an xn et calculer sa somme
n≥0
lorsqu’elle converge.
1
.
cos x π
On admet que la fonction f est indéfiniment dérivable sur [0, 4 ].
On note f (0) = f et pour tout n ∈ N∗ , f (n) est la dérivée ne de la fonction f .
Ainsi, f (1) = f 0 , f (2) = f 00 , etc.
Exercice 3. Soit f la fonction définie sur [0, π4 ] par f (x) =
(1) Calculer, pour x ∈ [0, π4 ], les dérivées f 0 (x) et f 00 (x) et montrer qu’elles s’écrivent sous la
forme
P1 (sin x)
P2 (sin x)
f 0 (x) =
et f 00 (x) =
cos2 (x)
cos3 (x)
où P1 et P2 sont deux polynômes à déterminer.
(2) Montrer que pour tout entier naturel n non nul, il existe un polynôme Pn tel que pour tout
x ∈ [0, π4 ],
Pn (sin x)
f (n) (x) =
cosn+1 (x)
2
(3) Montrer que pour tout n ∈ N∗ ,
Pn+1 = (1 − X 2 )Pn0 + (n + 1)XPn
En déduire le polynôme P3 .
(4) Déterminer, pour tout entier naturel n non nul, le degré et le coefficient dominant du polynôme
Pn .
3
Mathématique
ECS 1
28 janvier 2012
Devoir surveillé 6.
La qualité de la rédaction entrera pour une part importante dans l’appréciation de
la copie. Veillez à bien justifier vos réponses : un exercice bien traité rapporte des
points, un exercice traité de façon non rigoureuse ne rapporte pas de points. Malus
de 2 points pour les copies mal rédigées. La durée de l’épreuve est de 4 heures.
Aucune sortie avant la fin de l’épreuve. Les calculatrices ne sont pas autorisées. Les
téléphones portables doivent être rangés.
Si, au cours de l’épreuve, vous repérez ce qui vous semble être une erreur d’énoncé, signalez le sur
votre copie et poursuivez votre composition en expliquant les raisons des initiatives que vous êtes
amenés à prendre.
Exercice 1. Connaissance du cours.
(1) Définition d’une loi de probabilité.
(2) Formule de Taylor avec reste intégral.
1 + x2
x
Arctan
x
−
.
x3
1 + x2
(a) Déterminer le développement limité de f au voisinage de 0 à l’ordre 2 et montrer que f
se prolonge par continuité en 0.
(3) Soit f la fonction définie sur R \ {0} par f (x) =
(b) Ce prolongement est il dérivable en 0 ?
Exercice 2. Un joueur joue au « craps »comme suit : il lance deux dés réguliers.
— Si la somme des faces obtenues est 2, 3, ou 12, il perd.
— Si la somme des faces est 7 ou 11, il gagne.
— Dans les autres cas, il continue à lancer les dés jusqu’à ce que la somme des faces soit égale
au premier résultat qu’il a obtenu ou qu’ elle soit égale à 7.
— Si c’est 7, il perd.
— Si c’est son résultat initial, il gagne.
On cherche la probabilité de gagner à ce jeu.
On note E l’événement : « le joueur gagne »et pour i ∈ J2, 12K, l’événement Ei est :« la somme
obtenue initialement est i et le joueur finit par gagner. »
(1) Exprimer l’événement E en fonction des événements Ei , 2 ≤ i ≤ 12 et en déduire P (E) en
fonction des P (Ei ), 2 ≤ i ≤ 12.
(2) Donner les probabilités P (E2 ), P (E3 ), P (E12 ).
(3) Calculer les probabilités P (E7 ) et P (E11 ).
(4) On cherche maintenant la probabilité P (E4 ).
(a) Pour n ∈ N tel que n ≥ 2, on note Fn l’événement : « la somme obtenue initialement
est 4 et le joueur gagne au n-ème coup. »
Exprimer E4 en fonction des événements Fn , n ∈ N, n ≥ 2.
(b) Pour tout n ∈ N∗ , calculer P (Fn ). En déduire P (E4 ).
(5) Par un raisonnement analogue, calculer les probabilités P (E5 ), P (E6 ), P (E8 ), P (E9 ), et P (E10 ).
(6) Conclure.
1
Problème.
Une serrure de sécurité possède n boutons numérotés de 1 à n (n≥1). Un code consiste à
pousser dans un certain ordre tous les boutons. Chaque bouton n’est poussé qu’une seule fois mais
il est possible de pousser simultanément plusieurs boutons.
La modélisation est effectuée de la manière suivante : pour une valeur donnée de l’entier n,
soit An l’ensemble des entiers de 1 à n :
An = {1, 2, . . ., n}.
Par définition un n-code est une suite ordonnée (P1 , P2 , . . ., Pj ) de j parties P1 , P2 , . . ., Pj de
l’ensemble An , (1≤j≤n) ; ces parties Pi , 1≤i≤n, de An sont deux à deux disjointes et différentes
de la partie vide ; leur réunion est égale à An .
Soit an le réel égal au nombre de n-codes.
Exemples :
Pour n = 1 : un seul 1-code : ({1}) ; a1 = 1.
Pour n = 2 : il y a trois 2-codes :
({1}, {2}) ; ({2}, {1}) ; ({1, 2}) .
Le premier 2-code consiste à appuyer d’abord sur le bouton 1 puis sur le bouton 2, le deuxième
à appuyer d’abord sur le 2 puis sur le 1, le troisième à appuyer simultanément sur les boutons 1
et 2 donc a2 = 3.
Partie 1 : Premiers exemples.
(1) Pour une valeur de l’entier n donné, quel est le nombre de n-codes telles que les boutons soient
poussés l’un après l’autre ? (les parties Pi , 1≤i≤n, sont toutes des singletons).
(2) Déterminer, lorsque l’entier n est égal à 3, en explicitant chacune des suites possibles, le
nombre a3 des 3-codes. Les singletons {1}, {2} et {3} peuvent être désignés brièvement
par 1, 2 et 3. Par exemple : (1, 3, 2) désigne le 3-code dans lequel les boutons sont poussés
successivement dans l’ordre 1, 3, 2 ; ({1, 3}, 2) est le 3-code dans lequel les deux boutons 1
et 3 sont poussés simultanément avant que le bouton 2 ne soit enfoncé.
Partie 2 : Relations de récurrence
L’entier n est supérieur ou égal à 1. Soit S un n-code quelconque ; S est une suite ordonnée
(P1 , P2 , . . ., Pj ) de j parties P1 , P2 , . . ., Pj de l’ensemble An , deux à deux disjointes, non vides,
dont la réunion est égale à An (1≤j≤n).
(1) Combien y a-t-il de choix possibles pour la partie P1 lorsque le nombre d’éléments de P1 est
k (cardP1 = k) ?
(2) Soit k un entier strictement inférieur à n (k < n) ; pour une partie P1 fixée possédant k
éléments (cardP1 = k), combien y a-t-il de n-codes S ? Exprimer le résultat à l’aide du réel
ap , pour une valeur convenable de l’entier p.
(3) Le but de cette question est d’établir une relation de récurrence vérifiée par les termes de la
suite (ap )p≥1 . Exprimer d’abord le réel an , en fonction des réels ap , 1≤p≤n − 1. Puis avec
la convention a0 = 1, exprimer le réel an pour n≥1, en fonction des réels ap , 0≤p≤n − 1.
Retrouver les valeurs obtenues ci-dessus pour a2 et a3 .
an
(4) Soit (bp )p≥0 la suite des réels définis par la relation : pour tout entier naturel n, bn =
.
n!
Démontrer que ces réels bp , p≥0, vérifient la relation de récurrence :
bn =
n
X
bn−k
k=1
2
k!
Partie 3 : Encadrement des réels bn , n≥1
L’objet de cette partie est l’étude de la série entière de terme général bn xn , n≥0. Cette série
est appelée série génératrice de la suite (an )n≥0 .
1
.
(ln 2)n
(2) (a) Soit y un réel positif et un entier n ≥ 1. Montrer que pour tout réel t ∈ [0, y], et ≤ ey
puis que
n−1
yn
y X yk e −
≤ ey
k!
n!
(1) Démontrer, pour tout entier naturel n, la relation suivante : bn ≤
k=0
(b) Établir la relation ci-dessous, vraie pour tout entier n, n≥1 :
eln 2 ≤1 +
n−1
X
k=1
(ln 2)n
(ln 2)k
+2
.
k!
n!
1
(on pourra utiliser la
2(ln 2)n
majoration obtenue en (1) et la formule de la question (4) de la partie précédente).
X
(4) A l’aide de l’encadrement obtenu pour bn , montrer que la série
bn xn converge si et seule(3) En déduire pour tout entier n tel que n≥1, la minoration : bn ≥
n≥1
ment si |x| < ln 2.
(5) Pour tout entier naturel N et tout réel x tel que |x| < ln 2, on pose
FN (x) =
N
X
bk xk et EN (x) =
k=0
N
X
1 k
x
k!
k=0
(a) On considère le polynôme EN FN et pour 0 ≤ n ≤ 2N , on note cn le coefficient d’indice
n de EN FN . Montrer que
c0 = b0 et pour n ≥ 1, cn = 2bn
(b) En déduire que pour tout x ∈ R et tout N ∈ N
EN (x)FN (x) = 2F2N (x) − 1.
(c) Montrer alors que pour tout réel x tel que |x| < ln 2
+∞
X
bk x k =
k=0
3
1
2 − ex
Mathématique
ECS 1
28 janvier 2012
Devoir surveillé 6.
La qualité de la rédaction entrera pour une part importante dans l’appréciation de
la copie. Veillez à bien justifier vos réponses : un exercice bien traité rapporte des
points, un exercice traité de façon non rigoureuse ne rapporte pas de points. Malus
de 2 points pour les copies mal rédigées. La durée de l’épreuve est de 4 heures.
Aucune sortie avant la fin de l’épreuve. Les calculatrices ne sont pas autorisées. Les
téléphones portables doivent être rangés.
Si, au cours de l’épreuve, vous repérez ce qui vous semble être une erreur d’énoncé, signalez le sur
votre copie et poursuivez votre composition en expliquant les raisons des initiatives que vous êtes
amenés à prendre.
Exercice 1. Connaissance du cours.
(1) Définition d’une loi de probabilité.
(2) Formule de Taylor avec reste intégral.
1 + x2
x
Arctan
x
−
.
x3
1 + x2
(a) Déterminer le développement limité de f au voisinage de 0 à l’ordre 2 et montrer que f
se prolonge par continuité en 0.
(3) Soit f la fonction définie sur R \ {0} par f (x) =
(b) Ce prolongement est il dérivable en 0 ?
Exercice 2. Un joueur joue au « craps »comme suit : il lance deux dés réguliers.
— Si la somme des faces obtenues est 2, 3, ou 12, il perd.
— Si la somme des faces est 7 ou 11, il gagne.
— Dans les autres cas, il continue à lancer les dés jusqu’à ce que la somme des faces soit égale
au premier résultat qu’il a obtenu ou qu’ elle soit égale à 7.
— Si c’est 7, il perd.
— Si c’est son résultat initial, il gagne.
On cherche la probabilité de gagner à ce jeu.
On note E l’événement : « le joueur gagne »et pour i ∈ J2, 12K, l’événement Ei est :« la somme
obtenue initialement est i et le joueur finit par gagner. »
(1) Exprimer l’événement E en fonction des événements Ei , 2 ≤ i ≤ 12 et en déduire P (E) en
fonction des P (Ei ), 2 ≤ i ≤ 12.
(2) Donner les probabilités P (E2 ), P (E3 ), P (E12 ).
(3) Calculer les probabilités P (E7 ) et P (E11 ).
(4) On cherche maintenant la probabilité P (E4 ).
(a) Pour n ∈ N tel que n ≥ 2, on note Fn l’événement : « la somme obtenue initialement
est 4 et le joueur gagne au n-ème coup. »
Exprimer E4 en fonction des événements Fn , n ∈ N, n ≥ 2.
(b) Pour tout n ∈ N∗ , calculer P (Fn ). En déduire P (E4 ).
(5) Par un raisonnement analogue, calculer les probabilités P (E5 ), P (E6 ), P (E8 ), P (E9 ), et P (E10 ).
(6) Conclure.
1
Exercice 3. Soit f une fonction de classe C 2 sur l’intervalle [−1, 1]. On suppose que f (0) = 0 et
qu’il existe A > 0 tel que
∀x ∈ [−1, 1], |f 00 (x)| ≤ A.
On définit une suite (un ) par la formule
∀n ∈ N∗ ,
un =
n
X
k
f
n2
k=1
(1) A l’aide de l’inégalité de Taylor-Lagrange, montrer qu’il existe M > 0 tel que
|f (x) − f 0 (0)x| ≤ M x2 .
∀x ∈ [−1, 1],
(2) Pour tout n ∈ N∗ , on pose sn = un − f 0 (0)
n
X
k
. Montrer que
n2
k=1
n+1
2n
n X
k
k 0
−
f
(0)
|sn | ≤
.
f
n2
n2
sn = un − f 0 (0)
(3) (a) Montrer que pour tout n ∈ N∗ ,
k=1
(n + 1)(2n + 1)
6n3
(4) Montrer que la suite (un ) converge et déterminer sa limite.
(5) Donnez un exemple de fonction vérifiant les hypothèses de l’énoncé.
∗
(b) Montrer que pour tout n ∈ N ,
|sn | ≤ M
Exercice 4. Pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1, on pose : un =
1
n
X
. On se propose
k
2
k=1
de montrer que la série de terme général un converge et de calculer sa somme. On pose, pour tout
n
X
1
entier n supérieur ou égal à 1 : vn =
et wn = vn − ln(n). On rappelle que : vn ∼ ln(n).
k
k=1
(1) Etude de la suite (wn )n∈N
(a) Montrer que pour tout n ∈ N∗ , wn − wn+1 ≥ 0.
x
(b) Déterminer le développement limité à l’ordre 2, au voisinage de 0, de ln(1 + x) −
1+x
1
1
(c) En déduire que, au voisinage de +∞ : wn − wn+1 = 2 + o
.
2n
n2
(d) Montrer que la série de terme général wn − wn+1 est convergente.
(e) En déduire que la suite (wn ) converge. On note γ sa limite.
n
X
k 2 en fonction de n et en déduire que la série de terme général un converge.
(2) Exprimez
k=1
a
b
c
(3) Déterminer les réels a, b et c tels que pour tout n de N∗ , un = +
+
n
n
+
1
2n
+1
X
(4) Etude de la série
un
n≥1
(a) Montrer que pour tout n ∈ N∗ ,
n
X
k=1
(b) En déduire que : ∀n ∈ N∗ ,
n
X
1
1
= v2n+1 − vn − 1.
2k + 1
2
uk = 24(vn − v2n+1 ) + 24 −
k=1
(c) En utilisant la convergence de la suite (wn ), calculer
+∞
X
k=1
2
6n
n+1
uk en fonction de ln 2.
Mathématique
ECS 1
samedi 10 mars 2012
Devoir surveillé numéro 7.
La présentation, la lisibilité 1 , l’orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la
précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des
copies. Vous êtes invités à encadrer les résultats de vos calculs. Un malus de deux points
est prévu pour les copies mal rédigées.
Si, au cours de l’épreuve, vous repérez ce qui vous semble être une erreur d’énoncé,
signalez le sur votre copie et poursuivez votre composition en expliquant les raisons des
initiatives que vous êtes amenés à prendre.
Résultat admis.
On pourra utiliser, sans justification, le résultat suivant : Soit (un )n∈N une suite réelle
vérifiant
∀n ∈ N, un+2 = un+1 + un .
Alors il existe des réels λ et µ tels que
∀n ∈ N, un = λrn + µsn
où r et s sont les solutions de l’équation x2 − x − 1 = 0. De plus, les réels λ et µ sont les
solutions du système
λ + µ = u0
λr + µs = u1
Exercice 1.
On effectue une suite de lancers d’une pièce de monnaie. On suppose que les résultats des
lancers sont indépendants et qu’à chaque lancer, la pièce donne Face avec la probabilité p
(0 < p < 1) et Pile avec la probabilité q = 1 − p.
On s’intéresse au nombre de lancers nécessaires pour obtenir deux Face de suite (c’est-àdire lors de deux lancers consécutifs).
On suppose donné un espace probabilisé, muni d’une probabilité P , modélisant cette expérience.
Pour tout entier n ≥ 1, on note Un l’événement « on obtient deux Face de suite, pour la
première fois, aux lancers numéro n et n + 1 », et on pose un = P (Un ).
Pour tout entier n ≥ 2, on note
— An l’événement « les n premiers lancers ne donnent pas deux Face de suite et le ne
lancer donne Face »,
— Bn l’événement « les n premiers lancers ne donnent pas deux Face de suite et le ne
lancer donne Pile ».
Enfin, on pose xn = P (An ) et yn = P (Bn ).
1. Il est conseillé aux élèves utilisant des effaceurs, ou tout autre moyen de correction de leur copie, de ne
pas oublier, après le temps de séchage réglementaire, de procéder aux rectifications projetées.
1
(1) Relation de récurrence entre xn+1 , yn+1 , xn , yn
(a) Déterminer u1 , x2 , y2 , u2 , x3 , y3 , u3 .
(b) Trouver pour n ≥ 2, une relation simple entre xn et un .
(c) Pour tout n ≥ 2, déterminer les probabilités conditionnelles :
PAn (An+1 ), PBn (An+1 ), PAn (Bn+1 ), PBn (Bn+1 )
(d) En déduire, pour tout n≥ 2, les relations suivantes :
xn+1 = pyn
yn+1 = q(xn + yn )
(2) Probabilité d’obtenir deux Faces de suite.
(a) On suppose que p = 21 . Pour n ≥ 2, on pose vn = 2n yn . Déterminer une relation de
récurrence entre vn+2 , vn+1 et vn .
(b) En déduire, pour tout entier naturel n, vn en fonction de n. (On pourra poser
v0 = v1 = 1.)
(c) En déduire, pour tout n ≥ 2, une expression de xn puis de un , en fonction de n.
∞
X
un = 1 et en donner une interprétation.
(d) Vérifier que
n=1
Exercice 2.
Soit E un R-espace vectoriel. Pour un endomorphisme f de E,
— on dit qu’un vecteur v ∈ E est invariant par f si f (v) = v.
— on dit que f est un projecteur de E lorsque f ◦ f = f , c’est à dire lorsque
∀v ∈ E,
f ◦ f (v) = v.
.
Partie 1. Etude d’un projecteur.
On considère l’espace vectoriel R3 muni de sa base canonique (e~1 , e~2 , e~3 ) :
 
 
 
1
0
0
e~1 =  0  , e~2 =  1  , e~3 =  0  .
0
0
1
Soit f l’application de R3 dans R3 définie par
  

x
−y − z
f  y  =  x + 2y + z 
z
−x − y
(1) Montrer que f est un endomorphisme de R3 .
(2) Déterminer Ker f . On montrera que le noyau de f est une droite vectorielle dont on
donnera un vecteur directeur.
2
(3) Montrer que l’ensemble des vecteurs invariants par f est un plan vectoriel P dont on
donnera une base (τ~1 , τ~2 ).
(4) Montrer que f est un projecteur de R3 .
(5) Etablir que Im f = Ker (f − IR3 ).
Partie 2. Etude d’une symétrie.
On considère maintenant l’endomorphisme s de R3 défini par s = 2f − IR3 où f est
l’endomorphisme de la partie 1.
(1) Calculer s(e~1 ), s(e~2 ), s(e~3 ).
(2) On considère les trois vecteurs suivants de R3 :






−1
−2
−2
σ~1 =  2  , σ~2 =  3  , σ~3 =  2  .
−2
−2
−1
Montrer que la famille (σ~1 , σ~2 , σ~3 ) est une base de R3 .
(3) Montrer que s ◦ s = IR3 .
(4) Justifier que s est un automorphisme de R3 et donner s−1 .
(4) On veut montrer que R3 = Ker (s − IR3 ) ⊕ Ker (s + IR3 ).
(a) Montrer que Ker (s − IR3 ) ∩ Ker (s + IR3 ) = {~0}.
(b) Justifier l’inclusion Ker (s − IR3 ) + Ker (s + IR3 ) ⊂ R3 .
(c) Soit ~x ∈ R3 . Montrer que ~x + s(~x) ∈ Ker (s − IR3 ) et ~x − s(~x) ∈ Ker (s + IR3 ).
(d) Etablir alors l’inclusion R3 ⊂ Ker (s − IR3 ) + Ker (s + IR3 ) et conclure.
Partie 3. Etude de la somme de deux projecteurs.
Soit E un R-espace vectoriel et u un projecteur de E (u vérifie donc u ◦ u = u).
On note 0 l’endomorphisme nul de E.
(1) Soit λ un réel et x un vecteur non nul de E tel que u(x) = λx. Montrer que λ = 0 ou
λ = 1.
(2) Montrer que Im u = Ker (u − IE ).
(3) Montrer que E = Ker u ⊕ Im u.
(4) Montrer que si u est un projecteur injectif alors u = IE .
On considère maintenant deux projecteurs u, v de E et on pose f = u + v.
(5) On suppose que u ◦ v = v ◦ u = 0. Montrer que f est un projecteur.
(6) Réciproquement, on suppose que f est un projecteur. Montrer que u ◦ v = v ◦ u = 0.
(7) On suppose que f est un projecteur.
(a) Montrer que Ker f = Ker u ∩ Ker v.
(b) Montrer que Im f = Im u ⊕ Im v.
(8) On suppose seulement que u ◦ v = v ◦ u (donc f n’est plus nécessairemet un projecteur.)
Montrer que Ker f = Ker u ∩ Ker v.
3
Mathématique
ECS 1
samedi 05 mai 2012
Devoir surveillé numéro 8.
La présentation, la lisibilité 1 , l’orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la
précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des
copies. Vous êtes invités à encadrer les résultats de vos calculs. Un malus de deux points
est prévu pour les copies mal rédigées.
Si, au cours de l’épreuve, vous repérez ce qui vous semble être une erreur d’énoncé,
signalez le sur votre copie et poursuivez votre composition en expliquant les raisons des
initiatives que vous êtes amenés à prendre.
Exercice 1.
Dans tout le problème, l’espace vectoriel R4 est muni de sa base canonique notée C =
(e1 , e2 , e3 , e4 ).
On note L (R4 ) le R-espace vectoriel des endomorphismes de R4 , Id l’identité de R4 , M4 (R)
le R-espace vectoriel des matrices d’ordre 4 à coefficients réels et I4 la matrice identité.
On rappelle aussi que si f est un endomorphisme de R4 les notations f 2 , f 3 , etc. désignent
f ◦ f, f ◦ f ◦ f, etc.
Il est demandé de faire figurer tous les calculs sur lacopie.
3
2

0
1
Soit f l’endomorphisme de R4 de matrice A = 
 −1 −1
1
1
nique C .

1 −1
0
0 
 dans la base cano1
1 
1
1
(1) Soient e01 = e1 − e2 , e02 = e2 − e3 + e4 , e03 = e3 + e4 et e04 = e1 + e4 .
(a) Calculer les coordonnées, dans la base canonique de R4 , des vecteurs f (e01 ), f (e02 ), f (e03 ), f (e04 ).
Exprimer ces vecteurs simplement en fonction des vecteurs e01 , e02 , e03 , e04 .
(b) Montrer que (e01 , e02 , e03 , e04 ) est une base de R4 .
(c) Déterminer la matrice D de f dans la base B = (e01 , e02 , e03 , e04 ).
(d) En déduire que f est un automorphisme de R4 .
(2) La famille (I4 , A) est-elle libre dans M4 (R) ?
(3) (a) Montrer que A2 peut s’exprimer sous forme de combinaison linéaire de I4 et A.
(b) En déduire que pour tout n ∈ N, il existe un unique couple (an , bn ) de réels tel que
An = an I4 + bn A
(on convient que : ∀M ∈ M4 (R) M 0 = I4 ).
(c) Donner les valeurs de a0 , b0 , a1 , b1 , et exprimer, pour n ∈ N, an+1 et bn+1 en
fonction de an et bn .
1. Il est conseillé aux élèves utilisant des effaceurs, ou tout autre moyen de correction de leur copie, de ne
pas oublier, après le temps de séchage réglementaire, de procéder aux rectifications projetées.
1
(d) Former une relation de récurrence entre an+2 , an+1 et an . En déduire les expressions
de an et bn en fonction de n puis donner l’expression de An en fonction de I4 , A et
n.
(4) A l’aide de la question (3a), exprimer la matrice de f −1 dans la base canonique de R4 .
Problème.
Un mobile se déplace sur les points à coordonnées entières d’un axe d’origine O. Au départ,
le mobile est à l’origine (point d’abscisse 0). Le mobile se déplace selon la règle suivante : s’il
est sur le point d’abscisse k à l’instant n, alors, à l’instant (n + 1) il sera sur le point d’abscisse
k+1
1
(k + 1) avec la probabilité
ou sur le point d’abscisse 0 avec la probabilité
.
k+2
k+2
Pour tout entier n de N, on note Xn l’abscisse de ce point à l’instant n et on a donc X0 = 0. On
admet que, pour tout n de N, Xn est une variable aléatoire définie sur un espace probabilisé
(Ω, T , P ) et on pose un = P (Xn = 0).
1. Etude de la variable Xn .
(1) Vérifier que X1 (Ω) = {0, 1} puis donner la loi de X1 .
(2) Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, Xn (Ω) = {0, 1, . . . , n}.
k
P (Xn−1 = k − 1).
(3) (a) Montrer que : ∀n ∈ N∗ , ∀k ∈ {1, . . . , n} , P (Xn = k) =
k+1
1
(b) En déduire que : ∀n ∈ N, ∀k ∈ {0, 1, . . . , n} , P (Xn = k) =
un−k .
k+1
n
X
P (Xn = k) = 1, puis montrer que :
(c) Justifier la relation
k=0
∀n ∈ N,
n
X
j=0
uj
=1
n−j+1
(d) Retrouver ainsi les valeurs de u0 et u1 puis déterminer u2 et u3 .
(4) (a) En remarquant que la relation obtenue à la question 3.a peut s’écrire sous la forme
(k + 1)P (Xn = k) = kP (Xn = k − 1), montrer que :
∀n ∈ N∗ , E(Xn ) − E(Xn−1 ) = un .
(b) En déduire, pour tout entier naturel n non nul, E(Xn ) sous forme d’une somme
mettant en jeu certains termes de la suite (un ).
n−1
X uj
(c) Pour tout entier naturel n non nul, donner la valeur de
et vérifier que :
n−j
j=0
un +
n−1
X
j=0
uj
=1
n−j+1
Déduire de ces deux résultats que : un =
n−1
X
j=0
2
uj
.
(n − j)(n − j + 1)
(d) Montrer que, pour tout n de N∗ , un ≥
1
. Déterminer ensuite lim E(Xn ).
n→+∞
n+1
2. Etude du premier retour à l’origine.
On note T l’instant auquel le mobile se trouve pour la première fois à l’origine (sans
compter son positionnement au départ) et on admet que T est une variable aléatoire définie,
elle aussi, sur (Ω, T , P ). On convient que T prend la valeur 0 si le mobile ne revient jamais en
O. Par exemple, si les abscisses successives du mobile après son départ sont 0, 0, 1, 2, 0, 0, 1,
alors on a T = 1. Si les abscisses successives sont : 1, 2, 3, 0, 0, 1, alors on a T = 4.
(1) (a) Pour tout k de N∗ , exprimer l’événement (T = k) en fonction d’événements mettant
en jeu certaines des variables Xi .
1
(b) Montrer que : ∀k ∈ N∗ , P (T = k) =
.
k(k + 1)
1
a
b
(c) Déterminer les constantes a et b telles que : ∀k ∈ N∗ ,
= +
.
k(k + 1)
k k+1
En déduire que P (T = 0) = 0, puis interpréter ce dernier résultat.
(2) La variable T admet-t-elle une espérance ?
3. Informatique.
Compléter les deux instructions manquantes pour que le programme Pascal suivant, dans
lequel n est déclaré comme constante (ici n = 100), calcule et affiche u0 , u1 , . . . , un , ainsi que
l’espérance de Xn qui sera stockée dans la variable "e".
program devoirsurveille08;
const n = 100 ;
var i,k : integer ;
s,e : real;
u : array [0..n] of real ;
begin
u[0]:=1 ;
writeln(u[0]) ;
e:=0 ;
for k:= 1 to n do
begin
s:=0;
for i:=1 to k do
begin
s:=........
;
u[k]:=1-s ;
end ;
writeln(u[k]);
e:=........ ;
end ;
writeln(e) ;
end.
3
Mathématique
ECS 1
21 mai 2012
Concours blanc : Première épreuve
La qualité de la rédaction entrera pour une part importante dans l’appréciation de
la copie. Veillez à bien justifier vos réponses : un exercice bien traité rapporte des
points, un exercice traité de façon non rigoureuse ne rapporte pas de points. Malus
de 2 points pour les copies mal rédigées. La durée de l’épreuve est de 4 heures.
Aucune sortie avant la fin de l’épreuve. Les calculatrices ne sont pas autorisées. Les
téléphones portables doivent être rangés.
Si, au cours de l’épreuve, vous repérez ce qui vous semble être une erreur d’énoncé, signalez le sur
votre copie et poursuivez votre composition en expliquant les raisons des initiatives que vous êtes
amenés à prendre.
Conseils de rédaction.
Tout d’abord, il est inutile de recopier l’énoncé. Il faut éviter tout recours abusif aux symboles
logiques : les formules doivent être intégrées à des phrases en français correctement rédigées. On
ne mélange jamais les symboles ∀, ∃, ⇒, . . . avec des phrases en français : on écrira « quel que soit,
il existe, implique,. . . »en toutes lettres ! Rappelez vous que la flèche ⇒ n’a pas la signification de
« donc »et que le symbole ⇐⇒ traduit une équivalence entre deux propositions : dans un simple
calcul (simplification, transformation, etc.), son emploi est inutile !
N’oubliez pas aussi qu’il faut
– respecter les notations de l’énoncé
– définir avec précision toute notation utilisée ne figurant pas dans l’énoncé,
– utiliser les mots mathématiques avec leur sens précis : le correcteur n’est pas là pour deviner
ce que vous avez voulu écrire. On ne peut juger que ce qui figure sur la copie.
– éviter les ratures, écrire lisiblement, soigner les graphiques (pensez à travailler au brouillon
pour esquisser un raisonnement ou faire un calcul afin de ne pas raturer votre copie.)
Au cours de la rédaction, ne perdez pas de vue que vous cherchez à convaincre votre lecteur que
vous savez résoudre le problème posé, en lui expliquant le plus clairement possible la solution que
vous avez trouvée. On évitera de donner une simple liste de résultats et on justifiera soigneusement
toute affirmation. On détaillera les articulations du raisonnement ainsi que les calculs. L’évidence
est une notion relative ! Il faut expliquer clairement votre démarche en invoquant le cours et en
citant les théorèmes. Retenez que
Toute affirmation non justifiée n’a aucune valeur.
Un conseil : ne bluffez jamais parce que le correcteur connait votre jeu ! Rien ne le met plus hors
de lui que la présence d’une malhonnêteté dans une copie. . . Dans les rapports d’HEC, on peut
lire : « Toute tentative de dissimulation indispose les correcteurs et peut être très pénalisante. »
1
Exercice 1. Soit I un intervalle non vide de R et a1 , a2 , . . . , an des nombres réels deux à deux
distincts de I.
On considère une fonction f : I −→ R qui est 2n fois dérivable sur I.
On suppose que f et f 0 s’annulent en chacun des points a1 , a2 , . . . , an de I.
On fixe un réel x de I distincts de a1 , a2 , . . . , an et on définit sur I une fonction ϕ par
ϕ(t) = f (t) − A(t − a1 )2 (t − a2 )2 . . . (t − an )2 , pour tout t ∈ I
où A est le réel choisi de tel sorte que ϕ(x) = 0.
(1) A l’aide du théorème de Rolle, montrer que ϕ0 s’annule en au moins 2n points distincts de
l’intervalle I.
(2) En déduire que chaque dérivée ϕ(p) , 1 ≤ p ≤ 2n s’annule en au moins 2n − p + 1 points
distincts de I.
(3) En déduire qu’il existe c ∈ I tel que
f (x) = (x − a1 )2 (x − a2 )2 . . . (x − an )2
f (2n) (c)
(2n)!
(4) Le résultat précédent est-il vrai si x ∈ {a1 , a2 , . . . , an } ?
Exercice 2. On dispose d’un dé équilibré à 6 faces et d’une pièce truquée telle que la probabilité
d’apparition de « pile » soit égale à p , p ∈ ]0; 1[.
On pourra noter q = 1 − p .
Soit N un entier naturel non nul fixé.
On effectue N lancers du dé ; si n est le nombre de « 6 » obtenus, on lance alors n fois la pièce.
On définit trois variables aléatoires X, Y, Z de la manière suivante :
– Z indique le nombre de « 6 » obtenus aux lancers du dé,
– X indique le nombre de « piles » obtenus aux lancers de la pièce,
– Y indique le nombre de « faces » obtenues aux lancers de la pièce.
Ainsi, X + Y = Z et, si Z prend la valeur 0, alors X et Y prennent la valeur 0.
(1) Reconnaitre la loi de Z, puis donner son espérance et sa variance.
(2) Pour k ∈ N , n ∈ N, déterminer la probabilité conditionnelle P[Z=n] (X = k). On distinguera
les cas : k ≤ n et k > n.
(3) Montrer, pour tout couple d’entiers naturels (k, n), les égalités suivantes :
– si 0 ≤ k ≤ n ≤ N alors
N −n n
n N
5
1
n−k
k
P ([X = k] ∩ [Z = n]) =
· p (1 − p)
,
6
6
k
n
– si n > N ou k > n alors
P ([X = k] ∩ [Z = n]) = 0.
(4) Calculer la probabilité P (X = 0)
(5) Montrer pour tout couple d’entiers naturels (k, n) tel que 0 ≤ k ≤ n ≤ N, l’égalité :
n N
N
N −k
=
k
n
k
n−k
En déduire la probabilité P (X = k).
(5) Quelles sont les lois des variables aléatoires X et Y ?
2
(6) Les variables aléatoires X et Y sont dites indépendantes lorsque pour tout i ∈ J0, nK et tout
j ∈ J0, nK :
P ([X = i] ∩ [Y = j]) = P ([X = i])P ([Y = j]).
Les variables aléatoires X et Y sont-elles indépendantes ?
Exercice 3. Soit f la fonction définie sur [0, +∞[ par
1+ 1
1
x x = e(1+ x ) ln x
f (x) =
0
si x > 0
si x = 0.
On désine par C la courbe représentative de f .
(1) Montrer que f est continue en 0.
(2) Etudier la dérivabilité de f en 0.
(3) Etudier les variations de f sur [0, +∞[.
(4) Déterminer la limite de f en +∞
(5) Déterminer un équivalent en +∞ de f (x) − x.
(6) Montrer que f admet un développement limité à l’ordre 3 au voisinage de 1 donné par
1
f (x) = 1 + 2(x − 1) − (x − 1)3 + o((x − 1)3 ).
2
(On pourra poser x = 1 + t)
Exercice 4. On note C = (e1 , e2 , e3 ) la base canonique de R3 . On note Id l’identité de R3 et I3
la matrice identité de M3 (R).
Soit f l’endomorphisme de R3 dont la matrice dans la base C est :


−1 2 −1
A = −4 5 −3
−2 2 −1
On pose M = A − I3 .
(1) (a) Montrer que la matrice M = A − I3 n’est pas inversible.
(b) Montrer que le noyau de f − Id est une droite vectorielle de R3 dont on donnera un
vecteur directeur u1 . On choisira u1 de telle sorte que sa première coordonnée dans la
base C soit 1.
(c) Calculer le rang de A (les opérations devront figurer sur la copie). L’endomorphisme f
est-il bijectif ?
(2) On considère les vecteurs de R3 : u2 = pe2 + qe3 et u3 = re1 + se3 , où p, q, r, s sont des réels.
(a) Déterminer les reéels p, q, r, s pour que :
f (u2 ) = u1 + u2
et f (u3 ) = 2u2 + u3
(b) Vérifier alors que B = (u1 , u2 , u3 ) est une base de R3 .
b de f dans la base B.
(c) Ecrire la matrice A
b−1 (les calculs devront figurer sur la copie) ; en déduire A−1 .
(d) Calculer A
(3) (a) Calculer M 2 et M 3 . En déduire l’expression, pour tout entier naturel n, de la matrice
An en fonction de n.
(b) La formule obtenue à la question précédente est-elle valable pour n ∈ Z ?
3
Mathématique
ECS 1
12 décembre 2011
Concours blanc : Première épreuve
La qualité de la rédaction entrera pour une part importante dans l’appréciation de
la copie. Veillez à bien justifier vos réponses : un exercice bien traité rapporte des
points, un exercice traité de façon non rigoureuse ne rapporte pas de points. Malus
de 2 points pour les copies mal rédigées. La durée de l’épreuve est de 4 heures.
Aucune sortie avant la fin de l’épreuve. Les calculatrices ne sont pas autorisées. Les
téléphones portables doivent être rangés.
Si, au cours de l’épreuve, vous repérez ce qui vous semble être une erreur d’énoncé, signalez le sur
votre copie et poursuivez votre composition en expliquant les raisons des initiatives que vous êtes
amenés à prendre.
Conseils de rédaction.
Tout d’abord, il est inutile de recopier l’énoncé. Il faut éviter tout recours abusif aux symboles
logiques : les formules doivent être intégrées à des phrases en français correctement rédigées. On ne
mélange jamais les symboles ∀, Exists, ⇒, . . . avec des phrases en français : on écrira « quel que
soit, il existe, implique,. . . »en toutes lettres ! Rappelez vous que la flèche ⇒ n’a pas la signification
de « donc ». N’oubliez pas aussi qu’il faut
– respecter les notations de l’énoncé
– définir avec précision toute notation utilisée ne figurant pas dans l’énoncé,
– utiliser les mots mathématiques avec leur sens précis : le correcteur n’est pas là pour deviner
ce que vous avez voulu écrire. On ne peut juger que ce qui figure sur la copie.
– éviter les ratures, écrire lisiblement, soigner les graphiques (pensez à travailler au brouillon
pour esquisser un raisonnement ou faire un calcul afin de ne pas raturer votre copie.)
Au cours de la rédaction, ne perdez pas de vue que vous cherchez à convaincre votre lecteur que
vous savez résoudre le problème posé, en lui expliquant le plus clairement possible la solution que
vous avez trouvée. On évitera de donner une simple liste de résultats et on justifiera soigneusement
toute affirmation. On détaillera les articulations du raisonnement ainsi que les calculs. L’évidence
est une notion relative ! Il faut expliquer clairement votre démarche en invoquant le cours et en
citant les théorèmes. Retenez que
Toute affirmation non justifiée n’a aucune valeur.
Un conseil : ne bluffez jamais parce que le correcteur connait votre jeu ! Rien ne le met plus hors
de lui que la présence d’une malhonnêteté dans une copie. . . Dans les rapports d’HEC, on peut
lire : « Toute tentative de dissimulation indispose les correcteurs et peut être très pénalisante. »
1
Problème 1.
On désigne par n un entier naturel supérieur ou égal à 2.
On dispose de deux urnes U et V , l’urne U contenant une boule blanche et (n − 1) boules
noires et l’urne V contenant une boule noire et (n − 1) boules blanches.
Un joueur choisit une urne au hasard pour le premier tirage puis il effectue des tirages d’une
boule avec remise de cette boule dans l’urne dont elle provient, selon trois protocoles étudiés dans
les trois parties de ce problème.
Pour tout i de N∗ , on note Bi l’événement « on obtient une boule blanche au ie tirage ».
On note X le numéro du tirage où l’on obtient, pour la première fois, une boule noire et Y le
numéro du tirage où l’on obtient, pour la première fois, une boule blanche. On admet que X et Y
sont deux variables aléatoires définies sur le même espace probabilisé (Ω, T , P ).
Pour finir, on note U l’événement « le premier tirage a lieu dans l’urne U ».
Partie 1.
Dans cette partie, les tirages qui suivent le premier tirage ont lieu dans l’urne qui a été choisie
au premier tirage.
(1) (a) Déterminer P (X = 1).
(b) Pour tout entier k supérieur ou égal à 2, écrire l’événement [X = k] à l’aide de certains
des événements Bi ou Bi , puis montrer que :
k−1
k−1 !
1
n−1
n−1
1
1
+
∀k ≥ 2, P (X = k) =
2
n
n
n
n
Vérifier que cette formule reste valable pour k = 1.
(2) Etablir que X possède une espérance et donner sa valeur.
(3) Montrer que X et Y suivent la même loi.
Partie 2.
Dans cette partie, les tirages qui suivent le premier tirage ont lieu dans l’urne U si le tirage
précédent a donné une boule blanche et dans l’urne V sinon.
(1) (a) Donner P (X = 1).
(b) En procédant comme dans la partie 1, montrer que :
∀k ≥ 2, P (X = k) =
1
2
k−2
1
n−1
n
n
(2) Etablir que X possède une espérance et donner sa valeur.
(3) Montrer que X et Y suivent la même loi.
(4) Avec les mêmes conventions et les mêmes notations que celles de la partie 1, écrire un programme permettant le calcul et l’affichage de la valeur prise par la variable aléatoire X lors
de l’expérience décrite dans cette partie.
Partie 3.
Dans cette partie, chacun des tirages suivant le premier tirage a lieu dans la même urne que
le tirage qui le précède si ce dernier a donné une boule blanche et dans l’autre urne dans le cas
contraire.
(1) (a) Donner P (X = 1).
2
(b) Toujours selon la même méthode, montrer que :
∀k ≥ 2, P (X = k) =
(n − 1)k−1 + n − 1
2nk
Vérifier que la formule précédente reste valable pour k = 1.
(c) Etablir que X possède une espérance puis montrer que E(X) =
n2
.
2(n − 1)
(2) (a) En procédant comme à la question 1b, montrer que :
∀i ∈ N∗ , P (Y = 2i) =
n−1
n2
i−1
n2 − 2n + 2
2n2
(b) Montrer également que :
1
∀i ∈ N , P (Y = 2i + 1) =
2
∗
n−1
n2
i
Vérifier que cette formule reste valable pour i = 0.
2m
2m+1
X
X
(c) On pose : ∀m ∈ N∗ , E2m (Y ) =
kP (Y = k) et ∀m ∈ N, E2m+1 (Y ) =
kP (Y = k).
k=1
k=1
(i) Montrer que la suite (E2m (Y ))m∈N∗ converge et donner sa limite.
(ii) Montrer que la suite (E2m+1 (Y ))m∈N converge et a la même limite que (E2m (Y ))m∈N∗ .
3n2
(iii) En déduire que Y possède une espérance et que E(Y ) =
.
2(n2 − n + 1)
(3) (a) Montrer que X et Y suivent la même loi lorsque n = 2. Quelle est cette loi ?
(b) Comment pouvait-on justifier, sans calcul, les deux résultats ci-dessus ?
(4) Montrer que E(Y ) ≤ E(X) avec égalité si et seulement si n = 2.
(5) Ecrire un programme permettant le calcul et l’affichage de la valeur prise par la variable
aléatoire X lors de l’expérience décrite dans cette partie.
Problème 2.
On considère n et p deux entiers naturels supérieurs ou égaux à 2.
On notera Mn (R) l’ensemble des matrices carrées d’ordre n à coefficients réels, GLn (R) l’ensemble des matrices inversibles de Mn (R), et Dn (R) l’ensemble des matrices diagonales de Mn (R).
La matrice identité de Mn (R), c’est-à-dire la matrice diagonale d’ordre n dont les termes
diagonaux sont tous égaux à 1, est notée In .
Le but de ce problème est l’étude des matrices A vérifiant
A2 = I2 ou A3 = I2
La lettre E désigne un R-espace vectoriel de dimension 2 muni d’une base B = (e1 , e2 ), et IE
désigne l’identité de E.
Partie 1.
Soit A une matrice de M2 (R) telle que A 6= I2 et A 6= −I2 , et vérifiant A2 = I2 . Soit u
l’endomorphisme de E dont la matrice dans la base B est A.
(1) Montrer que Ker(u − IE ) ⊕ Ker(u + IE ) = E.
(2) En déduire qu’il existe une base de E dans laquelle la matrice de u est
3
1
0
0
−1
Partie 2.
Dans toute la suite du problème, M désigne une matrice de M2 (R) telle que M 3 = I2 et v
l’endomorphisme de E dont la matrice dans B est M .
On considère les sous-espaces vectoriels de E :
F = Ker(v − IE )
et G = Ker(v 2 + v + IE )
où v 2 = v ◦ v.
(1) (a) Montrer que F ∩ G = {0}.
(b) Soit x ∈ E. Montrer que
1
3
x + v(x) + v 2 (x) ∈ F et que
1
3
2x − v(x) − v 2 (x) ∈ G.
(c) En déduire que E = F ⊕ G.
(2) Que peut-on dire de M si F est de dimension 2 ?
(3) Le but de cette question est de montrer à l’aide d’un raisonnement par l’absurde que F n’est
pas de dimension 1. On suppose donc que F est de dimension 1.
(a) Montrer qu’il existe une base G = (g1 , g2 ) de E telle que F soit la droite vectorielle
engendrée par g1 et G soit la droite vectorielle engendrée par g2 .
(b) En considérant le vecteur v 2 (g2 ) + v(g2 ) + g2 , obtenir une contradiction.
(4) On suppose dans cette question que F est de dimension 0.
(a) Montrer que B 0 = (e1 , v(e1 )) est une base de E.
(b) Quelle est la matrice de v dans la nouvelle base B 0 ?
4