Devoir surveillé 1. (Programme de terminale)

Mathématique ECS 1
10 Septembre 2011
Devoir surveillé 1.
(Programme de terminale)
La qualité de la rédaction entrera pour une part importante dans l’appréciation de
la copie. Veillez à bien justifier vos réponses : un exercice bien traité rapporte des
points, un exercice traité de façon non rigoureuse ne rapporte pas de points. Malus de
2 points pour les copies mal rédigées. La durée de l’épreuve est de 4 heures. Aucune
sortie définitive avant la fin de l’épreuve. Les calculatrices ne sont pas autorisées. Les
téléphones portables doivent être rangés.
Exercice 1. On pose f(x) = √xcos √3
2ln x−π 6.
(1) Quel est le domaine de définition de f? Quel est le domaine de dérivabilité de f?
(2) Montrer que sur le domaine de dérivabilité de f, on a f0(x) = f1
x.
Exercice 2. On veut calculer l’intégrale
I=Zπ
4
0
1
cos5tdt
Pour cela, pour tout n∈N, on pose
In=Zπ
4
0
1
cos2n+1 tdt
(1) Soit fla fonction définie sur [0,π
4]par f(x) = 1 cos x.Montrer qu’il existe deux réels a, b tels
que, pour tout x∈[0,π
4],
1
cos x=acos x 1−sin x+bcos x 1 + sin x
(2) En déduire une primitive de la fonction fet le calcul de I0.
(3) A l’aide d’une intégration par parties, établir que, pour tout n∈N∗,
2nIn= (2n−1)In−1+2n
√2
(4) En déduire le calcul de I.
Exercice 2. On définit une suite de nombres complexes z1, z2, . . . , znde la manière suivante : on
pose z1= 1 −iet pour tout entier k∈N, k ≥2,
zk=jzk−1
où jest le nombre complexe e2iπ
3et ile nombre complexe tel que i2=−1.
(1) Calculer z2, z3, z4(sous forme trigonométrique) et représenter avec soin leurs images dans le
plan complexe. Vérifier que z1+z2+z3= 0.
(2) Montrer que pour tout entier k≥4, zk=zk−3.On pourra raisonner par récurrence sur k.
(3) On s’intéresse à la somme
Sn=z1+z2+. . . +zn
suivant les valeurs de l’entier n. Déduire à l’aide des questions (1) et (2) que :
(a) si nest un entier multiple de 3alors Sn= 0,
1

(b) si nest un entier de la forme 3p+ 1 où p∈Nalors Sn=z1,
(c) si nest un entier de la forme 3p+ 2 où p∈Nalors Sn=z1+z2.
Problème.
Première partie : une formule de Taylor.
Dans toute cette partie, xdésigne un nombre réel.
(1) En utilisant la formule d’intégration par parties, montrer que :
Zx
0
tetdt=xex−Zx
0
etdt
(2) En déduire, par un calcul de l’intégrale Zx
0
(x−t)etdt, que
ex= 1 + x+Zx
0
(x−t)etdt
(3) Démontrer que pour tout n∈N∗
Zx
0
(x−t)n
n!etdt=xn+1 (n+ 1)! +Zx
0
(x−t)n+1
(n+ 1)! etdt
(4) Démontrer par récurrence sur nla formule
ex= 1 + x+x2
2! +. . . +xn n!+Zx
0
(x−t)n
n!etdt
Seconde partie : à propos du nombre e
Dans cette partie, on veut montrer que le nombre en’est solution d’aucune équation du second
degré à coefficients dans Q, c’est-à-dire qu’il n’est pas possible de trouver des nombres rationnels
a, b, c avec a6= 0 tels que ae2+be + c= 0.
On note Pnla fonction polynômiale définie sur Rpar Pn(x) = 1+x+x2
2! +. . .+xn n!et on considère
les intégrales
In=Z1
0
(1 −t)netdtet Jn=Z0
−1
(1 −t)netdt
(1) Pour a, b, c entiers relatifs, on note H=ae + b+ce−1.On suppose que a6= 0 ou c6= 0.
(a) Démontrer que
n!H=n![aPn(1) + b+cPn(−1)] + aIn+ (−1)n+1cJn.
(b) Montrer que pour tout n∈N∗
0≤In≤e
n+ 1 et 0≤Jn≤1 n+ 1
(c) En déduire la limite de un=aIn+ (−1)n+1cJnlorsque ntend vers +∞.
(d) Démontrer que Qn=n![aPn(1) + b+cPn(−1)] est un entier relatif.
(2) Démontrer que pour n > 1, le nombre Qn−[a+ (−1)nc]est un entier multiple de n.
(3) On suppose que |a| 6=|c|. Montrer que l’on peut trouver un entier n0tel que pour tout n>n0,
le nombre Qnn’est pas nul. Il existe donc une infinité d’entiers npour lesquels Qn6= 0.
(4) (a) Démontrer, en utilisant (1b), que Hne peut être nul que si a=b=c= 0.
(b) Démontrer que en’est solution d’aucune équation du second degré à coefficients dans
Q.
(5) Le nombre eest-il rationnel ?
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Mathématique ECS 1
15 octobre 2011
Devoir surveillé 2.
La qualité de la rédaction entrera pour une part importante dans l’appréciation de
la copie. Veillez à bien justifier vos réponses : un exercice bien traité rapporte des
points, un exercice traité de façon non rigoureuse ne rapporte pas de points. Malus
de 2 points pour les copies mal rédigées. La durée de l’épreuve est de 4 heures.
Aucune sortie avant la fin de l’épreuve. Les calculatrices ne sont pas autorisées. Les
téléphones portables doivent être rangés.
Si, au cours de l’épreuve, vous repérez ce qui vous semble être une erreur d’énoncé, signalez le sur
votre copie et poursuivez votre composition en expliquant les raisons des initiatives que vous êtes
amenés à prendre.
Exercice 1. On rappelle la formule du binôme : si nest un entier supérieur ou égal à 1 alors
∀a∈C,∀b∈C,(a+b)n=
n
X
k=0 n
kakbn−k=
n
X
k=0 n
kbkan−k
(1) Soit t∈R. Exprimer 1+eit en fonction de cos t
2et eit
2
(2) Soit m∈Ntel que m≥2. Rappeler la définition et les propriétés des racines mede l’unité.
(3) Soit nun entier supérieur ou égal à 2. On pose ω= e2iπ
met S=
m−1
X
j=0
(1 + ωj)n. Montrer que
S= 2n
m−1
X
j=0
einjπ
mcosnjπ
m
(4) Soit k∈J0, nK. Simplifier
m−1
X
j=0
ωjk (on distinguera les cas « kmultiple de m» et « knon
multiple de m»). En déduire que
S=mX
0≤k≤n
kmultiple de m
n
k
(6) Soit ple plus grand entier tel que mp ≤n. Déduire de (3) et (4) que
p
X
j=0 n
jm=2n m
m−1
X
j=0
cosnjπ
mcos njπ m
Exercice 2. Dans cet exercice, on admettra que toute fonction continue et injective sur un intervalle
Iest strictement monotone sur cet intervalle.
(1) Soit E, F, G des ensembles (non vides), et des applications f:E−→ Fet g:F−→ G
Montrer que si g◦fest injective alors fest injective.
(2) On s’intéresse au problème suivant :
Existe-t-il des fonctions fcontinues vérifiant f◦f◦f=IR, c’est à dire
∀x∈R, f ◦f◦f(x) = x?
1

(a) Montrer que si fest une telle fonction alors elle est injective.
(b) Montrer que fest strictement croissante sur R.
(c) Soit x∈R. Montrer que les cas f(x)> x et f(x)< x sont impossibles.
(d) En déduire les fonctions fcontinues vérifiant f◦f◦f=IR
(3) On s’intéresse au problème suivant :
Existe-t-il des fonctions fet gdéfinies sur Ret vérifiant
∀x∈R, f ◦g(x) = x3,et g◦f(x) = x2?
On suppose qu’il existe deux telles fonctions fet g.
(a) Montrer que gest injective.
(b) Monter que pour tout x∈R
f(x2) = f(x)3et g(x3) = g(x)2
(c) En déduire que g(0), g(−1) et g(1) sont égaux à 0ou 1.
(d) Conclure.
Exercice 3. Les deux parties sont indépendantes.
Première partie.
Soit fla fonction définie sur Rpar
f(x) = e2x−1
e2x+ 1
(1) Montrer que fest impaire. Etudier les variations de f.
(2) Montrer que fréalise une bijection de Rsur ]−1,1[ et donner son application réciproque.
(3) Vérifier que pour tous réels aet b,
f(a+b) = f(a) + f(b)
1 + f(a)f(b)
(4) En déduire que si xet yappartiennent à ]−1,1[ alors x+y
1 + xy appartient à ]−1,1[.
Deuxième partie.
On note Dle sous-ensemble de Cdéfini par
D={z∈C| |z|<1}
et αun nombre complexe appartenant à D.
(1) Montrer que pour tout z∈C,|1−αz|2− |z−α|2= (1 − |z|2)(1 − |α|2). En déduire que si
z∈Dalors z−α
1−αz ∈D.
(2) Montrer que l’application ϕ:D−→ Ddéfinie par ϕ(z) = z−α
1−αz est une bijection et donner
l’application réciproque ϕ−1.
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Mathématique ECS 1
19 novembre 2011
Devoir surveillé 3.
La qualité de la rédaction entrera pour une part importante dans l’appréciation de
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points, un exercice traité de façon non rigoureuse ne rapporte pas de points. Malus
de 2 points pour les copies mal rédigées. La durée de l’épreuve est de 4 heures.
Aucune sortie avant la fin de l’épreuve. Les calculatrices ne sont pas autorisées. Les
téléphones portables doivent être rangés.
Si, au cours de l’épreuve, vous repérez ce qui vous semble être une erreur d’énoncé, signalez le sur
votre copie et poursuivez votre composition en expliquant les raisons des initiatives que vous êtes
amenés à prendre.
Exercice 1. Connaissance du cours.
(1) Quel est le reste dans la division euclidienne de X8par X2−√3?
(2) Soit P∈C[X]tel que pour tout z∈C, P (z)∈R. Que peut on dire de P? Justifier.
(3) Soit n∈N. Quelle est la multiplicité de la racine 1 du polynôme P=Xn+2 −2Xn+1 +Xn+
nX2−2nX +n?
(4) Ecrire un programme Pascal demandant à l’utilisateur d’entrer un réel x, qui lit le réel tapé
et qui affiche à l’écran |x|.
Exercice 2.
(a) Déterminer quatre nombres réels a, b, c, d tels que
∀t∈[0,1],t
(1 + t2)(1 + t)2=a 1 + t+b (1 + t)2+ct +d 1 + t2
(b) Pour x∈]0,π
2[, exprimer sin xen fonction de t= tan x 2.
(c) Calculer l’intégrale I=Zπ
2
0
sin x
1 + sin xdx(poser t= tan x
2).
Exercice 3. On considère la fonction numérique udéfinie sur Rpar la relation :
u(x) = exp −x2.
La fonction uest indéfiniment dérivable sur R. Pour tout nombre entier naturel non nul n, on
désigne par u(n)la dérivée neme de u. C’est la fonction obtenue en dérivant nfois la fonction u.
En particulier, pour tout n∈N∗, u(n)= (u0)(n−1) = (u(n−1))0.
On note Hnla fonction numérique définie sur Rpar la relation :
u(n)(x)=(−1)nHn(x)u(x)(1)
1