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Exo7
Espaces vectoriels
1 Définition, sous-espaces
Exercice 1
Déterminer lesquels des ensembles E1,E2,E3et E4sont des sous-espaces vectoriels de R3. Calculer leurs
dimensions.
E1={(x,y,z)∈R3;x+y−z=x+y+z=0}.
E2={(x,y,z)∈R3;x2−z2=0}.
E3={(x,y,z)∈R3;exey=0}.
E4={(x,y,z)∈R3;z(x2+y2) = 0}.
H H
Exercice 2
Parmi les ensembles suivants reconnaître ceux qui sont des sous-espaces vectoriels.
E1=(x,y,z)∈R3;x+y+a=0,et x+3az =0
E2={f∈F(R,R);f(1) = 0},E3={f∈F(R,R);f(0) = 1}
E4=P∈Rn[X];P0=3,E5=(x,y)∈R2;x+αy+1>0.
H H
Exercice 3
Soit Eun espace vectoriel (sur Rou C).
1. Soient Fet Gdeux sous-espaces de E. Montrer que
F∪Gest un sous-espace vectoriel de E⇐⇒ F⊂Gou G⊂F.
2. Soient Hun troisième sous-espace vectoriel de E. Prouver que
G⊂F=⇒F∩(G+H) = G+ (F∩H).
H H
2 Systèmes de vecteurs
Exercice 4
Soient dans R4les vecteurs ~e1(1,2,3,4)et ~e2(1,−2,3,−4). Peut-on déterminer xet ypour que (x,1,y,1)∈
Vect{~e1,~e2}? Et pour que (x,1,1,y)∈Vect{~e1, ~e2}?
H H
1

Exercice 5
Dans R4on considère l’ensemble Edes vecteurs (x1,x2,x3,x4)vérifiant x1+x2+x3+x4=0. L’ensemble E
est-il un sous espace vectoriel de R4? Si oui, en donner une base.
H H
Exercice 6
Soient Eet Fles sous-espaces vectoriels de R3engendrés respectivement par les vecteurs {
2
3
−1
,
1
−1
−2
}
et {
3
7
0
,
5
0
−7
}. Montrer que Eet Fsont égaux.
H H
Exercice 7
Peut-on déterminer des réels x,ypour que le vecteur v= (−2,x,y,3)appartienne au s.e.v. engendré dans R4par
le système (e1,e2)où e1= (1,−1,1,2)et e2= (−1,2,3,1)?
H
Exercice 8
Soit α∈Ret fα:(R→R
x7→ 1 si x=α,0 sinon . Montrer que la famille (fα)α∈Rest libre.
H H
3 Somme directe
Exercice 9
Soient ~e1(0,1,−2,1),~e2(1,0,2,−1),~e3(3,2,2,−1),~e4(0,0,1,0)et ~e5(0,0,0,1)des vecteurs de R4. Les propo-
sitions suivantes sont-elles vraies ou fausses ? Justifier votre réponse.
1. Vect{~e1,~e2,~e3}=Vect{(1,1,0,0),(−1,1,−4,2)}.
2. (1,1,0,0)∈Vect{~e1,~e2} ∩Vect{~e2,~e3,~e4}.
3. dim(Vect{~e1,~e2} ∩Vect{~e2,~e3, ~e4}) = 1.
4. Vect{~e1,~e2}+Vect{~e2, ~e3, ~e4}=R4.
5. Vect{~e4,~e5}est un sous-espace vectoriel de supplémentaire Vect{~e1,~e2,~e3}dans R4.
H H
Exercice 10
On considère les vecteurs v1= (1,0,0,1),v2= (0,0,1,0),v3= (0,1,0,0),v4= (0,0,0,1),v5= (0,1,0,1)dans
R4.
1. Vect{v1,v2}et Vect{v3}sont-ils supplémentaires dans R4?
2. Même question pour Vect{v1,v3,v4}et Vect{v2,v5}.
H H
Exercice 11
Soit E=∆1(R,R)et F={f∈E/f(0) = f0(0) = 0}. Montrer que Fest un sous-espace vectoriel de Eet
déterminer un supplémentaire de Fdans E.
H H
2

Exercice 12
Soit
E={(un)n∈N∈RN|(un)nconverge }.
Montrer que l’ensemble des suites constantes et l’ensemble des suites convergeant vers 0 sont des sous-espaces
supplémentaires de E.
H H
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3

Indication pour l’exercice 1 N
1. E1est un espace vectoriel, sa dimension est 1.
2. E2n’est pas un espace vectoriel.
3. E3n’est pas un espace vectoriel.
4. E4n’est pas un espace vectoriel.
Indication pour l’exercice 2 N
1. E1est un sous-espace vectoriel de R3si et seulement si a=0.
2. E2est un sous-espace vectoriel de F(R,R).
3. E3n’est pas un espace vectoriel.
4. E4n’est pas un espace vectoriel.
5. E5n’est pas un espace vectoriel.
Indication pour l’exercice 3 N
1. Pour le sens ⇒: raisonner par l’absurde et prendre un vecteur de F\Get un de G\F. Regarder la somme
de ces deux vecteurs.
2. Raisonner par double inclusion.
Indication pour l’exercice 4 N
On ne peut pas pour le premier, mais on peut pour le second.
Indication pour l’exercice 5 N
Eest un sous-espace vectoriel de R4. Un base comporte trois vecteurs.
Indication pour l’exercice 6 N
Soit montrer la double inclusion. Soit montrer une seule inclusion et faire un petit raisonnement sur les dimen-
sions. Utiliser le fait que de manière générale pour E=Vect(e1,...,en)alors :
E⊂F⇔ ∀i=1,...,n ei∈F.
Indication pour l’exercice 8 N
Supposer qu’il existe des réels λ1,...,λn, et des indices α1,...,αn(tout cela en nombre fini !) telsque
λ1fα1+·· · +λnfαn=0.
Ici le 0 est la fonction constante égale à 0. Évaluer cette expression est des valeurs bien choisies.
Indication pour l’exercice 9 N
1. Vrai.
2. Vrai.
3. Faux.
4. Faux.
4

5. Vrai.
Indication pour l’exercice 10 N
1. Non.
2. Non.
Indication pour l’exercice 11 N
Soit
G=x7→ ax +b;(a,b)∈R2.
Montrer que Gest un supplémentaire de Fdans E.
Indication pour l’exercice 12 N
Pour une suite (un)qui converge vers `regarder la suite (un−`).
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