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UNIVERSITÉ MONTPELLIER
Département de Mathématiques
Année 20162017
Algèbre Linéaire et Analyse 2
HLMA203
Série 1 & Série 3
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Recueil d'Exercices n 2
On considère l'espace vectoriel réel R3 . Parmi ceux suivants, quels sous-ensembles
sont des sous-espaces vectoriels ?
Exercice 1.
1. F1 = {(x, y, z) ∈ E | x − y = 0 et x + z = 1} ;
2. F2 = {(x, y, z) ∈ E | y − 2z = 0 et x + y = 0} ;
3. F3 = {(x, y, z) ∈ E | y − 2z = 0 ou x + y = 0} ;
4. F4 = {(x, y, z) ∈ E | x2 + |y| + z 4 = 0} ;
5. F5 = {(x, y, z) ∈ E | |z + 1|2 − |z − 1|2 = 0} ;
6. F6 = {(x, y, z) ∈ E | x2 + y 2 + z 2 = −1} ;
7. F7 = {(x, y, z) ∈ E | x − 5y + z = 0, 2x + y − 7z = 0, −x + 3y − z = 0 et 3x + 2y + z = 0}.
On considère l'espace vectoriel réel E = R[X]. Parmi ceux suivants, quels sousensembles sont des sous-espaces vectoriels ?
Exercice 2.
1. F1 = {P ∈ E | P (1) = 0}
2. F2 = {P ∈ E | P (1) = 2}
Exercice 3.
1. Décrire les sous-espaces vectoriels de R ; puis de R2 et R3 .
2. Dans R3 donner un exemple de deux sous-espaces dont l'union n'est pas un sous-espace
vectoriel.
3. Soit E un espace vectoriel et soient F et G deux sous-espaces vectoriels de E . Montrer
que
F ∪ G est un sous-espace vectoriel de E ⇐⇒ F ⊂ G ou G ⊂ F.
Exercice 4.
Parmi ceux suivants, lesquels sont des sous-espaces vectoriels de E = F(R, R) :
1. le sous-ensemble E1 des fonctions constantes ;
2. le sous-ensemble E2 des fonctions continues ;
3. le sous-ensemble E3 des fonctions dérivables ;
4. le sous-ensemble E4 des fonctions qui sont positives ou négatives ;
5. le sous-ensemble E5 des fonctions croissantes ;
6. le sous-ensemble E6 des fonctions monotones.
Exercice 5.
Montrer l'alternative pour deux droites vectorielles D1 et D2 de K2 :
1. D1 = D2 , ou
2. K2 = D1 ⊕ D2 .
Exercice 6.
Soit l'espace vectoriel E = R4 et soient les sous-ensembles :
F = {(x, y, z, t) | x − y = 0 et z − t = 0} et H = V ect((1, −1, 0, 0), (0, 0, (1, −1)) .
1. Vérier que F et H sont s.e.v de E ;
2. Montrer que nous avons une décomposition en somme directe : E = F ⊕ H .
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3. Trouver une base C de E , adaptée à cette décomposition.
Soit E le sous-espace vectoriel de R3 engendré par les vecteurs v1 = (2, 3, −1) et
v2 = (1, −1, −2) et F celui engendré par w1 = (3, 7, 0) et w2 = (5, 0, −7). Montrer que E et F
sont égaux.
Exercice 7.
On considère les vecteurs v1 = (1, 0, 0, 1), v2 = (0, 0, 1, 0), v3 = (0, 1, 0, 0), v4 =
(0, 0, 0, 1), v5 = (0, 1, 0, 1) dans R4 .
Exercice 8.
1. Vect{v1 , v2 } et Vect{v3 } sont-ils supplémentaires dans R4 ?
2. Vect{v1 , v2 } et Vect{v4 , v5 } sont-ils supplémentaires dans R4 ?
3. Vect{v1 , v3 , v4 } et Vect{v2 , v5 } sont-ils supplémentaires dans R4 ?
4. Vect{v1 , v4 } et Vect{v3 , v5 } sont-ils supplémentaires dans R4 ?
Soit F l'espace vectoriel des fonctions de R dans R. On considère les sousensembles de F suivants :
P le sous-ensemble des fonctions paires ;
I le sous-ensemble des fonctions impaires.
Montrer que P et I sont des sous-espaces vectoriels de F et que F = P ⊕ I
Exercice 9.
Pour chacunes des applications suivantes, étudier la linéarité et déterminer ker fi
et Imfi . Que peut-on en déduire sur l'injectivité et la surjectivité de fi ?
Exercice 10.
f1 : R2 → R2
f2 : R3 → R3
f3 : R3 → R2
f4 : R2 → R4
f5 : R3 [X] → R3
f1 (x, y) = (2x + y, x − y)
f2 (x, y, z) = (2x + y + z, y − z, x + y)
f3 (x, y, z) = (y 2 , x + z + 2)
f4 (x, y) = (y, 0, x − 7y, x + y)
f5 (P ) = P (−1), P (0), P (1)
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