Programme de colle 19 : semaine du 10/03 au 14/03 Chapitre 13

Mathématiques
PCSI 2013-2014
Lycée Bertran de Born
Programme de colle 19 : semaine du 10/03 au 14/03
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Thèmes
Notions de limites et continuité ;
Espaces vectoriels et sous-espaces vectoriels.
Chapitre 13. Fonction d’une variable réelle
BRevoir le chapitre 7 sur les développements limités.
BRevoir le chapitre 10 sur les nombres réels (borne sup...).
1. Notions de limites
Soit I un intervalle de R, a ∈ I¯ (=I ∪ {extrémités de I}) et f : I → R.
1. Définitions quantifiées de lim f (x) = b (avec b ∈ R̄).
x→a
Exemple. Lorsque a ∈ R et ` ∈ R.
On dit que f admet ` pour limite quand x tend vers a lorsque :
pour tout ε > 0, il existe δε > 0 tel que pour tout x ∈ I :
|x − a| < δε ⇒ |f (x) − `| < ε
2. Propriétés : unicité de la limite ; limite finie ⇒ borné au voisinage.
3. Caractérisation séquentielle de la limite : lim f (x) = b si et seulement si l’image par f de toute
x→a
suite convergente vers a est une suite qui converge vers b.
4. Fonctions monotones : existence de la limite à droite et à gauche (lorsque cela a un sens) pour une fonction
monotone.
5. Calculs de limites :
(a) Règles utilisant une inégalité : le produit d’une fonction bornée par une fonction qui tend vers 0 tend
vers 0 ; comparaison des limites ; théorème d’encadrement.
(b) Règles opératoires sur les limites (somme, produit, inverse et composition).
(c) Règles de comparaison (O,o et ∼). Développement limités usuels et utilisation des D.L. pour
calculer des limites.
2. Continuité locale
1. Définition ( f : I → R et a ∈ I. La fonction f est continue en a si lim f (x) = ` ∈ R. Alors ` = f (a)).
x→a
2. Propriétés usuelles (somme, produit, composition). Continuité à gauche et à droite.
3. Prolongement par continuité.
3. Continuité sur un intervalle
1. Définition et propriétés (somme, produit, composition).
2. Le théorème des valeurs intermédiaires. L’image d’un intervalle par une fonction continue est un
intervalle.
3. Toute fonction continue sur un segment est bornée et atteint ses bornes. L’image par une
fonction continue d’un segment est un segment.
4. Le théorème de la bijection. Toute fonction définie sur un intervalle, continue et strictement monotone
induit une bijection vers l’intervalle image. Sa réciproque est continue.
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Chapitre 14 : espaces vectoriels et dimension finie
1. Généralités
Structure d’espace vectoriel sur un corps K (en pratique K = R ou C).
Espaces usuels : vecteurs géométriques ; Kn ; espace des matrices Mn,p (K) ; espace des suites KN ; polynômes
K[X] ; espace d’applications d’un ensemble A vers K. Espace produit de deux espaces vectoriels.
2. Sous-espaces vectoriels
1. Définition d’un ss-ev : une partie F d’un ev et un ss-ev lorsque :
(i)
(ii)
F 6= ∅
Pour tout (u, v) ∈ F 2 et tout (λ, µ) ∈ K2 , λ.u + µ.v ∈ F
Un ss-ev est stable par combinaisons linéaires ; 0E ∈ F ; un ss-ev est un ev pour les lois induites.
2. Exemples usuels : sous-ensembles de R2 , R3 , R4 ...Rn définis par des équations linéaires. Ensemble des
solutions d’une e.q.d. linéaire. Ensemble des suites qui satisfont une relation de récurrence linéaire. Rn [X].
Espaces d’applications : C 0 (I, R)....
3. L’intersection de deux ss-ev est un ss-ev.
4. Sous-espace vectoriel engendré par une partie finie.
(a) Soit V = v1 , v2 , ..., vn une famille de vecteurs ; Vect (V) est l’ensemble des combinaisions linéaires
d’éléments de V :
Vect (V) = {λ1 .v1 + ... + λn .vn | (λ1 , ..., λn ) ∈ Kn }
(b) Vect (V) est un ss-e.v.
(c) Propriétés :
Vect (v1 , ..., vi , ..., vj , ..., vn ) = Vect (v1 , ..., vj , ..., vi , ..., vn )
Vect (v1 , v2 , ..., vn ) = Vect (v1 , v2 , ..., λ.vn ) , λ ∈ K∗
!
n−1
X
λi .vi
Vect (v1 , v2 , ..., vn ) = Vect v1 , v2 , ..., vn +
i=1
3. Familles (finies) de vecteurs
(a) Familles libres, familles génératrices d’un espace. Définitions et propriétés. Détermination de
parties génératrices (finies) de ss-ev (cas simples).
(b) Bases.
i. Définition : B = e1 , e2 , ..., en est une base de E lorsque pour tout v ∈ E, il existe (x1 , ..., xn ) ∈ Kn
unique (coordonnées) tel que
v = x1 .e1 + ... + xn .en
ii. Une famille de vecteurs est une base d’un espace ssi c’est une famille libre et génératrice de
l’espace.
iii. Exemples usuels : bases canoniques de Kn , de Kn [X] ; base de Mn,p (K).
4. Dimension finie
Note : les démonstrations de cours ne sont pas exigibles.
(a) Définition et propriétés de la dimension.
i. Espace de dimension finie (i.e. finiment engendré). Dans un espace de dimension finie toutes les
bases ont le même cardinal : c’est la dimension de l’espace.
ii. Toute famille génératrice contient une base. Théorème de la base incomplète.
(b) Caractérisation des bases. Soit U une famille de p vecteurs de E avec dim E = n.
i. si U est libre alors p ≤ n avec égalité ssi U est une base.
ii. si U est génératrice alors p ≥ n avec égalité ssi U est une base.
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