PCSI 2011 - 2012 Feuille d'exercices 14 Exercice 1 : Soient E un espace vectoriel et u1 , ..., un , x1 , ..., xp des vecteurs de E . On suppose que les vecteurs u1 , ..., un sont tous des combinaisons linéaires des vecteurs x1 , ..., xp . Montrer que toute combinaison linéaire de u1 , ..., un est aussi combinaison linéaire de x1 , ..., xp . Montrer que l'ensemble F1 des suites convergeant vers 0 et l'ensemble F2 des suites constantes sont des sous-espaces vectoriels suplémentaires de E . Exercice 2 : Montrer que K (K = RouC), en tant que K-espace vectoriel, n'a pas d'autre sous-espace vectoriel que les sous-espaces vectoriels triviaux (i.e. {0} et K). supplémentaires. Exercice 3 : Considérons l'espace vectoriel (F(R, R), +, .). Parmi les ensembles suivant lesquels en sont des sous-espaces vectoriels ? 1) L'ensemble des fonctions continues en 0. 2) L'ensemble des fonctions monotones sur R. 3) L'ensemble des fonctions prenant la valeur 1 en 0. Exercice 4 : On considère l'ensemble F = {(x, y, z) ∈ K3 , 5x2 + y 2 + z 2 + 2xy − 2yz − 2xz = 0} (pour K = R ou K = C). Cet ensemble est-il un K-sous-espace vectoriel ? Exercice 5 : Soit E un espace vectoriel et A et B deux parties de E . Comparer : 1) vect(A ∪ B) et vect(A) ∪ vect(B) 2) vect(A ∩ B) et vect(A) ∩ vect(B) 3) vect(vect(A)) et vect(A) Exercice 6 : Soient F et G deux sous-espaces vectoriels d'un espace vectoriel E . Montrer que F ∪ G est un sous-espace vectoriel de E si et seulement si F ⊂ G ou G ⊂ F. Exercice 7 : On note E = R3 , F = {(x, y, z) ∈ E, x + y + z = 0} et G = {(x, x, x), x ∈ R}. Montrer que F et G sont des sous-espaces vectoriels de E . Sont-ils supplémentaires ? Exercice 8 : On note E l'ensemble des suites réelles convergentes et on admet que E est un R-espace vectoriel. Exercice 9 : Soit E un espace vectoriel et f un endomorphisme de E tel que f 2 − 3f + 2IdE = 0. Montrer que f est un automorphisme et que Ker(f − IdE ) et Ker(f − 2IdE ) sont Exercice 10 : Soit E un espace vectoriel et f, g ∈ L(E). Montrer que f (Ker g ◦ f ) = Ker g ∩ Im f Exercice 11 : Soit E un K-espace vectoriel et g un endomorphisme de E . On dénit Cg de L(E) sur L(E) par : ∀f ∈ L(E), Cg(f ) = f ◦ g − g ◦ f . 1) Montrer que Cg est un endomorphisme de L(E). 2) Montrer que si g est nilpotent , alors Cg l'est également. Exercice 12 : Soit E un espace vectoriel et p et q deux projecteurs de E . 1) Soit α un réel diérent de 0 et de 1. Montrer que si p ◦ q = αq ◦ p alors p ◦ q = q ◦ p = 0. Caractériser ce cas à l'aide des images et noyaux de p et q . 2) Trouver une condition nécessaire et susante portant sur les images et les noyaux de p et q pour que p + q soit un projecteur. 3) Déterminer alors l'image et le noyau de p + q . Exercice 13 : On note E l'ensemble des fonction de R dans lui-même inniment dérivables et dont les dérivées succesives sont continues. On considère Ψ: E → E f 7→ f 00 − 3f 0 + 2f . Montrer que Ψ est un endomorphisme et préciser son noyau. Exercice 14 : Soient E un K-espace vectoriel, u et v dans L(E) vériant u ◦ v − v ◦ u = u. Calculer, pour tout n ∈ N, un ◦ v − v ◦ un en fonction de u et n. Lycée de l'Essouriau - Les Ulis