TD3 - Ali Hajj Hassan

Université Grenoble Alpes • L1 MIASHS • Algèbre linéaire 2 • 2016/2017
TD 3 : Base et Dimension
Exercice 1. Dire, sans calcul, pourquoi les familles suivantes ne sont pas des bases de R2 .
{(1, 1); (3, 3)}, {(1, 1); (0, 0)}, {(1, 1); (1, 0); (0, 1)}.
Exercice 2. Pour quelles valeurs de α la famille {(α, 1, 1), (1, α, 1), (1, 1, α)} est une base de R3 ?
Exercice 3. Soient u1 = (1, −1, 2), u2 = (1, 1, −1) et u3 = (−1, −5, −7).
Soient les deux sous-espaces vectoriels de R3
n
o
F = vect(u1 , u2 , u3 ) et G = ( x, y, z) ∈ R3 | x + y + z = 0 .
1. Donner une base de F.
2. Donner une base de G .
3. Donner une base de F ∩ G.
Exercice 4. Soit F = ( x1 , x2 , x3 , x4 ) ∈ R4 | x1 + x3 = 0 et x2 + x4 = 0 .
Soient u1 = (1, 1, 1, 1), u2 = (1, −1, 1, −1), u3 = (1, 0, 1, 0) et G = vect(u1 , u2 , u3 ).
1. Montrer que F est un sous-espace vectoriel de R4 .
2. Donner une base de F et en déduire sa dimension.
3. Déterminer une base de G.
4. Donner une (ou plusieurs) équation(s) qui caractérise(nt) G.
5. Donner une famille génératrice de E + F.
6. Montrer que F
L
G = R4
Exercice 5. Soient u1 = (2, 1, 1), u2 = (1, 2, −1), u3 = (1, 1, 0) et u4 = (1, −1, −2).
1. Déterminer une sous famille de (u1 , u2 , u3 , u4 ) libre qui engendre F = vect(u1 , u2 , u3 , u4 ).
2. En déduire la dimension de F.
Exercice 6. Soit F = ( x1 , x2 , x3 , x4 ) ∈ R4 | x1 − x2 = 0 et x3 − x4 = 0 .
On admettra que F est un sous-espace vectoriel de R4 .
Déterminer une base de F, puis compléter cette base de F en une base de R4 .
Exercice 7. Soit F = { P( x ) ∈ R2 [ X ]; P(1) = 0}.
1. Montrer que F est un sous-espace vectoriel de R2 [ X ].
2. Donner une base de F et en déduire sa dimension.
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Exercice 8.
vectorieldes matrices carrés réelles d’ordre 2.
Soit E l’espace
x 2y
Soit F =
; ( x, y) ∈ R2 .
y 2x
1. Montrer que F est un sous-espace vectoriel de E.
2. Donner une base de F et en déduire sa dimension.
Exercice 9. Soient F et G les sous-espaces vectoriels de R4 définis par
n
o
F = ( x1 , x2 , x3 , x4 ) ∈ R4 | x2 − 2x3 + x4 = 0
n
o
G = ( x1 , x2 , x3 , x4 ) ∈ R4 | x1 = x4 et x2 = 2x3
Donner une base de F, de G et de F ∩ G. En déduire que F + G = R4 .
Exercice 10. Soient F et G les sous-espaces vectoriels de R3 suivants :
F = {( a, a, a) ∈ R3 , a ∈ R}
et
G = {(b + c, b, c) ∈ R3 , b, c ∈ R}.
Sont-ils supplémentaires?
Exercice 11. Soient F et G les sous-espaces vectoriels de R4 suivants :
F = {( x, y, z, t) ∈ R4 | x + y + z = 0et2x + y + z − t = 0}
G = vect{(1, −2, 1, 1), (1, 2, −3, 1), (5, −3, −2, 5)}
1. Calculer la dimension de F.
2. Montrer que G ⊂ F et conclure que G = F.
3. Déterminer un supplémentaire de F.
Exercice 12. On considère la partie F de R4 définie par
F = {( x, y, z, t) ∈ R4 ; x + y = 0 et x + z = 0}.
1. Donner une base de F.
2. Compléter la base trouvée en une base de R4 .
3. On pose u1 = (1, 1, 1, 1), u2 = (1, 2, 3, 4) et u3 = (−1, 0, −1, 0).
La famille (u1 , u2 , u3 ) est-elle libre ?
4. On pose G l’espace vectoriel engendré par les vecteurs u1 , u2 et u3 .
Quelle est la dimension de G ?
5. Donner une base de F ∩ G.
6. En déduire que F + G = R4 .
7. Est-ce qu’un vecteur de R4 s’écrit de façon unique comme somme d’un vecteur de F et d’un
vecteur de G ?
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Méthodes : espaces vectoriels de dimension finie
Démontrer qu’une famille est une base
Pour démontrer qu’une famille (v1 , . . . , vn ) est une base de E, on peut :
• prouver qu’elle est libre et génératrice ;
• prouver qu’elle est libre et, si on connait la dimension de E, remarquer qu’elle possède le
même nombre de vecteurs que la dimension de E.
Trouver une base d’un sous-espace vectoriel F
• Chercher une famille génératrice B de F ;
• Si B est libre, c’est terminé, sinon, un des vecteurs peut s’exprimer en fonction des autres.
On le supprime et on recommence jusqu’à trouver une famille libre.
Trouver une base de F + G
• Trouver une base B1 de F, une base B2 de G ;
• B1 ∪ B2 est une famille génératrice de F + G ;
• Si B1 ∪ B2 est libre, c’est terminé, sinon, un des vecteurs peut s’exprimer en fonction des
autres. On le supprime et on recommence jusqu’à trouver une famille libre.
Démontrer que deux sous-espaces vectoriels sont supplémentaires
Pour démontrer que E = F
L
G, on peut :
• trouver la dimension de F, la dimension de G, vérifier que F ∩ G = 0 puis que
dim( F ) + dim( G ) = dim( E).
• B1 ∪ B2 est une famille génératrice de F + G ;
• trouver une base de de F, une base de G, et vérifier que la réunion des deux est une base de
E.
Démontrer que deux sous-espaces vectoriels sont égaux
Pour démontrer que F = G, on peut démontrer que F ⊂ G et que dim( F ) = dim( G ).
Trouver un supplémentaire d’un sous-espace vectoriel
• Trouver une base B1 de F.
• Compléter, à l’aide d’une base de E, B1 en une base B1 ∪ B2 de E.
• L’espace vectoriel engendré par B2 est alors un supplémentaire de F dans E.
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