TD3 - Ali Hajj Hassan

Université Grenoble Alpes •L1 MIASHS •Algèbre linéaire 2 •2016/2017
TD 3 : Base et Dimension
Exercice 1. Dire, sans calcul, pourquoi les familles suivantes ne sont pas des bases de R2.
{(1, 1);(3, 3)},{(1, 1);(0, 0)},{(1, 1);(1, 0);(0, 1)}.
Exercice 2. Pour quelles valeurs de αla famille {(α, 1, 1),(1, α, 1),(1, 1, α)}est une base de R3?
Exercice 3. Soient u1= (1, −1, 2),u2= (1, 1, −1)et u3= (−1, −5, −7).
Soient les deux sous-espaces vectoriels de R3
F=vect(u1,u2,u3)et G=n(x,y,z)∈R3|x+y+z=0o.
1. Donner une base de F.
2. Donner une base de G.
3. Donner une base de F∩G.
Exercice 4. Soit F=(x1,x2,x3,x4)∈R4|x1+x3=0 et x2+x4=0.
Soient u1= (1, 1, 1, 1),u2= (1, −1, 1, −1),u3= (1, 0, 1, 0)et G=vect(u1,u2,u3).
1. Montrer que Fest un sous-espace vectoriel de R4.
2. Donner une base de Fet en déduire sa dimension.
3. Déterminer une base de G.
4. Donner une (ou plusieurs) équation(s) qui caractérise(nt) G.
5. Donner une famille génératrice de E+F.
6. Montrer que FLG=R4
Exercice 5. Soient u1= (2, 1, 1),u2= (1, 2, −1),u3= (1, 1, 0)et u4= (1, −1, −2).
1. Déterminer une sous famille de (u1,u2,u3,u4)libre qui engendre F=vect(u1,u2,u3,u4).
2. En déduire la dimension de F.
Exercice 6. Soit F=(x1,x2,x3,x4)∈R4|x1−x2=0 et x3−x4=0.
On admettra que Fest un sous-espace vectoriel de R4.
Déterminer une base de F, puis compléter cette base de Fen une base de R4.
Exercice 7. Soit F={P(x)∈R2[X];P(1) = 0}.
1. Montrer que Fest un sous-espace vectoriel de R2[X].
2. Donner une base de Fet en déduire sa dimension.
1

Université Grenoble Alpes •L1 MIASHS •Algèbre linéaire 2 •2016/2017
Exercice 8. Soit El’espace vectoriel des matrices carrés réelles d’ordre 2.
Soit F= x2y
y2x;(x,y)∈R2.
1. Montrer que Fest un sous-espace vectoriel de E.
2. Donner une base de Fet en déduire sa dimension.
Exercice 9. Soient Fet Gles sous-espaces vectoriels de R4définis par
F=n(x1,x2,x3,x4)∈R4|x2−2x3+x4=0o
G=n(x1,x2,x3,x4)∈R4|x1=x4et x2=2x3o
Donner une base de F, de Get de F∩G. En déduire que F+G=R4.
Exercice 10. Soient Fet Gles sous-espaces vectoriels de R3suivants :
F={(a,a,a)∈R3,a∈R}et G={(b+c,b,c)∈R3,b,c∈R}.
Sont-ils supplémentaires?
Exercice 11. Soient Fet Gles sous-espaces vectoriels de R4suivants :
F={(x,y,z,t)∈R4|x+y+z=0et2x+y+z−t=0}
G=vect{(1, −2, 1, 1),(1, 2, −3, 1),(5, −3, −2, 5)}
1. Calculer la dimension de F.
2. Montrer que G⊂Fet conclure que G=F.
3. Déterminer un supplémentaire de F.
Exercice 12. On considère la partie Fde R4définie par
F={(x,y,z,t)∈R4;x+y=0 et x+z=0}.
1. Donner une base de F.
2. Compléter la base trouvée en une base de R4.
3. On pose u1= (1, 1, 1, 1),u2= (1, 2, 3, 4)et u3= (−1, 0, −1, 0).
La famille (u1,u2,u3)est-elle libre ?
4. On pose Gl’espace vectoriel engendré par les vecteurs u1,u2et u3.
Quelle est la dimension de G?
5. Donner une base de F∩G.
6. En déduire que F+G=R4.
7. Est-ce qu’un vecteur de R4 s’écrit de façon unique comme somme d’un vecteur de F et d’un
vecteur de G?
2

Université Grenoble Alpes •L1 MIASHS •Algèbre linéaire 2 •2016/2017
Méthodes : espaces vectoriels de dimension finie
Démontrer qu’une famille est une base
Pour démontrer qu’une famille (v1, . . . , vn)est une base de E, on peut :
•prouver qu’elle est libre et génératrice ;
• prouver qu’elle est libre et, si on connait la dimension de E , remarquer qu’elle possède le
même nombre de vecteurs que la dimension de E.
Trouver une base d’un sous-espace vectoriel F
•Chercher une famille génératrice Bde F;
• Si B est libre, c’est terminé, sinon, un des vecteurs peut s’exprimer en fonction des autres.
On le supprime et on recommence jusqu’à trouver une famille libre.
Trouver une base de F+G
•Trouver une base B1de F, une base B2de G;
•B1∪ B2est une famille génératrice de F+G;
• Si B1∪ B2 est libre, c’est terminé, sinon, un des vecteurs peut s’exprimer en fonction des
autres. On le supprime et on recommence jusqu’à trouver une famille libre.
Démontrer que deux sous-espaces vectoriels sont supplémentaires
Pour démontrer que E=FLG, on peut :
•trouver la dimension de F, la dimension de G, vérifier que F∩G=0 puis que
dim(F) + dim(G) = dim(E).
•B1∪ B2est une famille génératrice de F+G;
• trouver une base de de F , une base de G , et vérifier que la réunion des deux est une base de
E.
Démontrer que deux sous-espaces vectoriels sont égaux
Pour démontrer que F=G, on peut démontrer que F⊂Get que dim(F) = dim(G).
Trouver un supplémentaire d’un sous-espace vectoriel
•Trouver une base B1de F.
•Compléter, à l’aide d’une base de E,B1en une base B1∪ B2de E.
•L’espace vectoriel engendré par B2est alors un supplémentaire de Fdans E.
3