Cours sur les fonctions trigonométriques TS

Chapitre 10 terminale S
Fonctions trigonométriques
1 – Définition :
On appelle fonction cosinus et sinus les fonctions qui pour tout réel x associent
l’abscisse et l’ordonnée du point M associé à x sur le cercle trigonométrique.
Donc elles sont définies sur
ℝ
par
(
)
cos
x cos x
֏et
(
)
sin
x sin x
֏.
2 – propriétés :
1) Parité : La fonction cos est paire et la fonction sin est impaire. La courbe de
la fonction cos est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées et celle de la
fonction sin est symétrique par rapport à O.
Démonstration : cos (-x) = cos x et sin(-x) = - sin x.
2) Périodicité : Les fonctions cos et sin sont périodiques de période
2
π
.
Démonstration :
(
)
cos x 2 cosx
+ π =
et
(
)
sin x 2 sin x
+ π =
.
3) Dérivabilité (admis) et continuité : Les fonctions cos et sin sont dérivables sur
ℝ
donc continues sur
ℝ
.
(
)
(
)
cos x sin x et sin x cos x
′ ′
= − = .
Par composition,
(
)
(
)
cosu u sin u et sinu u cosu
′ ′
′ ′
= − × = × .
3 – Variations :
1) La périodicité et l’étude de la parité de ces fonctions nous permettent de restreindre l’étude sur
[
]
0;
π
. On complètera alors
l’étude sur
[
]
;0
−π
par parité, puis sur
ℝ
par périodicité.
2) Courbes :
x
-sin(x)
cos(x)
0
1
π
-1
x
cos(x)
sin(x)
0
0
π
2
1
0
π
0