´Epreuve des petites mines, MPSI, 1999 Premier probl`eme

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Epreuve des petites mines, MPSI, 1999
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Franc¸ois Fayard, prot´eg´e par la GNU Free Documentation License source disponible sur http://www.velvia.org
Premier probl`eme
Rd´esigne l’ensemble des nombres r´eels. Rn[X] d´esigne l’ensemble des polynˆomes de degr´e
inf´erieur ou ´egal `a n. Si Pest un polynˆome, on notera P0son polynˆome d´eriv´e. Si Pest un
polynˆome on notera ´egalement Psa fonction polynˆome associ´ee.
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Etudes d’endomorphismes donn´es par leur matrice
1. Soit uet vdeux r´eels. Soit fl’endomorphisme de R2[X] ayant pour matrice sur la base
canonique (1, X, X2) la matrice Asuivante :
A=
−u v 0
−2 0 2v
0−1u
(a) Calculer le d´eterminant de fen justifiant votre r´eponse.
(b) D´eterminer une base du noyau de f.
(c) D´eterminer une base de l’image de f.
2. Soit wun r´eel. Soit gl’endomorphisme de R3[X] ayant pour matrice sur la base
(1, X, X2, X3) la matrice Bsuivante :
B=
−3w0 0
−3−1 2w0
0−2 1 3w
0 0 −1 3
(a) Calculer le d´eterminant de gen justifiant votre r´eponse. On notera w0la valeur
qui annule ce d´eterminant.
(b) D´eterminer lorsque w=w0une base du noyau de g.
D´efinition d’une application lin´eaire, exemples et propri´et´es
Soit nun entier sup´erieur ou ´egal `a 2, Qun polynˆome de degr´e 2 et ϕl’application d´efinie
sur Rn[X] par :
ϕ(P) = 2P0Q−nP Q0
1. ´ Etude de cas particuliers
(a) Montrer que ϕest un endomorphisme de Rn[X].
(b) Soit uet vdeux r´eels. On suppose dans cette question que n= 2 et que
Q=X2+uX +v.
i. D´eterminer la matrice de ϕsur la base canonique de R2[X].
ii. D´eterminer la noyau de ϕen fonction de Q.
(c) Soit wun r´eel. On suppose dans cette question que n= 3 et que Q=X2+2X+w.
i. D´eterminer la matrice de ϕsur la base canonique de R3[X].
ii. D´eterminer suivant les valeurs de wle noyau de ϕ.
2. ´ Etude du cas g´en´eral
(a) On suppose que Qn’admet pas de racine double.
i. Que peut-on dire du pgcd de Qet de Q0?
ii. D´eduire de la question pr´ec´edente que si Pest un polynˆome non nul apparte-
nant au noyau de ϕalors Qdivise P.
iii. Montrer que si Pest un polynˆome non nul appartenant au noyau de ϕ, il
existe un entier knon nul et un polynˆome Rnon nul, tels que P=RQket
tels que Qne divise pas R.
iv. D´eduire de la question pr´ec´edente que si le noyau de ϕn’est pas r´eduit au
polynˆome nul alors nest pair.
v. D´eterminer selon les valeurs de nle noyau de ϕ.
(b) On suppose que Qposs`ede une racine double α.
i. Montrer que si Pest un polynˆome non nul appartenant au noyau de ϕalors
αest racine de P.
ii. Donner le noyau de ϕ. (On pourra utiliser l’ordre de multiplicit´e de la racine
α.)
(c) Dans cette question, on supposera nimpair.
Soit Pun polynˆome de Rn[X]. Montrer qu’il existe un polynˆome Rde Rn[X]
unique tel que : P=X2+ 1R0−nXR. Justifier que l’application ψ:P7→ R
ainsi d´efinie est lin´eaire.

Deuxi`eme probl`eme
Partie I
Soit ϕla fonction d´efinie par :
ϕ(x) = ln (1 + x)
x
1. D´eterminer l’ensemble de d´efinition de ϕ.
2. Montrer que ϕest d´erivable sur son ensemble de d´efinition et d´eterminer sa d´eriv´ee.
3. ´ Etudier le signe de ϕ0(x).
4. D´eterminer les limites de ϕaux bornes de son ensemble de d´efinition.
5. Montrer que ϕpeut ˆetre prolong´ee par continuit´e en 0 en une fonction que l’on no-
tera ´egalement ϕ. Montrer que cette fonction ainsi prolong´ee est de classe C1sur son
ensemble de d´efinition.
6. D´eterminer le tableau de variation de ϕet tracer sa courbe repr´esentative.
Partie II
Soit fune fonction d´efinie continue et positive sur [0, π/2]. Soit la fonction gd´efinie par :
g(x) = Zπ
2
0
f(t)
1 + xsin tdt
1. Montrer que gest d´efinie sur ]−1,+∞[.
2. On suppose dans cette question que :
∀t∈h0,π
2if(t) = cos t
Calculer g(x).
3. On suppose dans cette question que :
∀t∈h0,π
2if(t) = sin (2t)
Calculer g(x).
4. Soit aun r´eel strictement sup´erieur `a −1. Montrer qu’on peut trouver un r´eel Ktel
que :
∀x, y ∈]a, +∞[|g(x)−g(y)|6K|x−y|
En d´eduire que la fonction gest continue sur ]−1,+∞[.
5. Montrer, sans utiliser la d´eriv´ee, que gest d´ecroissante sur ]−1,+∞[.
6. (a) Montrer que la fonction fest major´ee sur [0, π/2].
(b) Soit Mun majorant de fsur [0, π/2] et b∈]0, π/2]. Montrer que :
∀x > 0g(x)6Mb +Mπ
2 (1 + xsin b)
(c) En d´eduire la limite de la fonction gen +∞.
7. La fonction :
t7→ cos t
1−sin t
est-elle int´egrable sur [0, π/2[ ?
8. (a) Montrer que gadmet une limite Lfinie ou infine en −1.
(b) On admettra que si la fonction :
t7→ f(t)
1−sin t
est int´egrable sur [0, π/2[ alors :
L=Zπ/2
0
f(t)
1−sin tdt
et sinon L= +∞. Retrouver le r´esultat de la question 7.
9. Donner le tableau de variation de g.