TD 4: Continuité

Universit´e Pierre et Marie Curie Ann´ee 2011/2012
LM115 MIME
TD 4: Continuit´e
On rappelle la d´efinition de la continuit´e en un point :
Soit fune fonction d´efinie sur Iun intervalle de R, soit x0∈I.fest continue en x0si et
seulement si ∀ > 0,∃δ > 0; ∀x∈I:|x−x0| ≤ δ=⇒ |f(x)−f(x0)| ≤ .
Une fonction est continue sur I, si elle est continue en tout point de I.
Crit`ere s´equentiel : soit x∈I,fest continue au point xsi et seulement si pour toute suite
r´eelle (xn)n≥1convergente vers x, (f(xn))n≥1converge vers f(x).
Attention : fcontinue n’implique pas fd´erivable.
Exercice 1 On note C(I, R), D(I, R) respectivement l’ensemble des fonctions continues et des
fonctions d´erivables sur I.
1) D´emontrer que D(I, R)⊂ C(I, R).
On consid´ere maintenant la fonction valeur absolue f:x→ |x|:
2) Justifier que fest continue sur tout R.
3) Montrer que fn’est pas d´erivable en 0.
4) Determiner un intervalle Itel que C(I, R)6⊂ D(I, R)
Exercice 2 Soit fune fonction croissante telle que la suite (f(n))n≥1diverge vers +∞. Montrer
que lim
x→∞f(x) = +∞
Exercice 3 D´emontrer l’´equivalence suivante :
fest continue en x⇐⇒ ∀ > 0,∃δ > 0; f([x−δ, x +δ]) ⊂[f(x)−, f(x) + ]
Exercice 4 Etudier les limites suivantes :
1x3+x2+5
5x3−x2+2 en +∞
2sin(ax)
xen 0, avec aun r´eel non nul fix´e.
3tan(5x)
sinx en 0
4sin(x2)
xen ∞et en 0.
5√1+x−√1−x
xen 0.
6ln(x)
xen +∞.
7xln(x) en 0.
8x−√x
x+ln(x)en +∞.
9 ln(x) ln(ln(x)) en 1.
Exercice 5 Etudier les limites en 0 des fonctions suivantes :
f:x→E(1
x), g:x→xE(1 x), h:x→x2E(1 x).
1

Exercice 6 Soit fune fonction continue sur [0,1] telle que f(0) = f(1).
Soit gla fonction d´efinie par :
g(x) = f(2x)si x ∈[0,1
2[
f(2x−1) si x ∈[1
2,1]
Montrer que gest continue.
Exercice 7 Soit fune fonction continue en 0 telle que :
∀x∈R, f(2x) = f(x).
1) Montrer que f(x) = f(x
2k) pour tout k∈N.
2) En d´eduire que f(x) = f(0) pour tout x.
Exercice 8 Soit fune fonction d´efinie sur Rtelle que : f(0) = 1, f(4) = 3.
On note E, l’´equation : f(x)=2.
– Dans chacun des cas suivants, que peut on dire du nombre de solutions de Edans [0,4].
a) fest continue et strictement croissante :
b) fest strictement croissante ;
c) fest continue ;
– Montrer que si fest continue et croissante alors Eadmet dans [0,4] une seule solution ou
une infinit´e de solutions.
Exercice 9 Soit Iun intervalle de R,fune fonction continue de Idans Rtelle que :
∀x∈I, f (x)2= 1
Montrer que fest constante ´egale `a 1 ou −1.
Exercice 10 Soit fune fonction continue, soit Iun intervalle born´e stable par f:f(I)⊂I.
Montrer que fadmet au moins un point fixe.
Exercice 11 Soit fune fonction continue de Rdans Q, montrer que fest constante.
Exercice 12 Soient fet gdeux fonctions continues telles que f(0) > g(0) et f(1) < g(1),
montrer qu’il existe a∈[0,1] tel que f(a) = g(a). (Consid´erer la fonction h=f−g)
Exercice 13 Soit fune fonction continue de [0,1] dans [0,1] .
1) Justifier qu’il existe a,btels que 0 ≤a≤b≤1 et f([0,1]) = [a, b]. Que dire de fsi a=b?
2) Montrer l’´equivalence suivante f◦f=f⇐⇒ f|f([0,1]) =Id
3) Montrer que si a > 0 alors fn’est pas d´erivable en a. De mˆeme montrer que si b < 1 alors f
n’est pas d´erivable en b. Indication : repr´esenter l’allure de fet ´etudier les d´eriv´ees `a droite
et `a gauche.
4) On suppose a6=b. D´eduire de la question 3) que si 0 < a ou b < 1 alors fn’est pas d´erivable
sur [0,1]. Donner l’ensemble des fonctions d´erivables sur [0,1] telles que f◦f=f.
Exercice 14 Soit la fonction fd´efinie par :
2

f:x→sin(1
x) pour x6= 0, f(0) = 0
1. Trouver une suite r´eelle (xn)n≥1telle que : xn→
n→∞ 0 et f(xn) = (−1)n
2. Montrer que fn’est pas continue en 0
Exercice 15 Soient fet gdeux fonctions continues, on note max(f, g), la fonction : x7→
max(f(x), g(x)) et min(f, g), la fonction : x7→ min(f(x), g(x)).
1) D´emontrer que max(f, g) = f+g+|f−g|
2
2) D´emontrer que min(f, g) = f+g−|f−g|
2
3) D´emontrer que max(f, g) et min(f, g) sont continues
4) D´emontrer que max(f, g) et min(f, g) sont continues sans utiliser 1 et 2.
Exercice 16 Soit fune fonction continue de R+dans Rtelle que : ∀x∈R+, y ∈R+f(x+y) =
f(x) + f(y) (*).
1) Montrer que f(0) = 0, et que fest une fonction impaire.
2) Montrer par r´ecurrence : ∀p∈N,∀x∈R,f(px) = pf(x).
3) Montrer que ∀q∈N?,f(1
q) = 1 qf(1).
4) Montrer que ∀x∈Q,f(x) = f(1)x.
5) Montrer que ∀x∈R, f(x) = f(1)x
6) D´eterminer l’ensemble des fonctions continues v´erifiant (*)
7) Soit fune fonction continue strictement positive v´erifiant :
∀x∈R+, y ∈R+, f (x+y) = f(x)f(y).
Montrer qu’il existe α > 0, tel que f(x) = eαx.
Exercice 17 Formule de la moyenne et primitive d’une fonction continue :
Attention, dans cet exercice, il s’agit de (re)d´emontrer des r´esultats de cours, on n’utilisera
donc pas les th´eor`emes du cours sur l’int´egration (qui seront vus dans le dernier chapitre),
mais seulement des connaissances de terminale sur l’int´egrale et le chapitre de la continuit´e du
lm115.
Soit fune fonction continue sur un intervalle I. Soit un segment [a, b] inclus dans I. On rappelle
le r´esultat de cours suivant (`a connaitre) :
Une fonction continue sur un segment [a, b] admet un minimum (que l’on note min
[a,b]f) et un
maximum (que l’on note max
[a,b]f).
1) Justifier que f([a, b]) = [min
[a,b]f, max [a,b]f]
2) Montrer que :
1
b−aZb
a
f(t)dt ∈[min
[a,b]f, max [a,b]f].
En d´eduire qu’il existe c∈[a, b], tel que f(c) = 1
b−aRb
af(t)dt. (Formule de la moyenne)
3) Soit la fonction
F:x∈[a, b]→Zx
a
f(t)dt.
D´eterminer un r´eel M≥0 tel que :
∀(x, y)∈[a, b]2,|F(x)−F(y)| ≤ M|x−y|.
3

4) Donner la d´efinition (quantifi´ee) d’une fonction continue sur I.
5) Montrer que Fest continue.
6) On dit qu’une fonction fest uniform´ement continue sur Isi elle v´erifie la propri´et´e
suivante :
∀ > 0,∃δ > 0; ∀(x, y)∈I2,|x−y| ≤ δ=⇒ |f(x)−f(y)| ≤ 
Fest elle uniform´ement continue sur [a, b] ?
7) Soit h > 0, tel que x+h≤b. Montrer qu’il existe θ∈[0,1] tel que 1
hRx+h
xf(t)dt =f(x+hθ)
8) En d´eduire que Fest d´erivable pour tout x∈[a, b], d´eterminer sa d´eriv´ee.
Exercice 18 Soit fune fonction continue. On appelle p´eriode de f, un r´eel atel que : ∀x∈
R, f(x+a) = f(x). On note P, l’ensemble des p´eriodes :
1) Montrer que Pest un sous-groupe de (R,+).
On rappelle qu’on a d´emontr´e dans un exercice pr´ec´edent, que tout sous-groupe additif de R
est soit de la forme aZ, soit dense dans R.
2) On suppose que fest continue non constante et poss`ede une p´eriode non nulle : montrer
que l’ensemble des p´eriodes est de la forme aZavec a∈R∗
+.
3) On suppose que fa pour p´eriode 1 et √2, d´emontrer que fest constante.
4) Soit fune fonction p´eriodique qui admet une limite en +∞, montrer que fest constante.
(Cette question est ind´ependante des 3 premi`eres)
Exercice 19 Soit fune fonction r´eelle non nulle d´efinie sur R+d´erivable en 1, telle que
f(xy) = f(x)f(y).
1) D´emontrer que f(1) = 1
2) Soit x0∈R∗et h∈Rtelle que x0+h > 0, d´emontrer que f(x0+h)−f(x0) = f(x0)[f(1 +
h
x0)−f(1)]
3) D´emontrer que fest d´erivable en tout point de R∗
+et que l’on a : f0(x)
f(x)=f0(1) x, pour tout
x > 0. D´eterminer f.
Exercice 20 Exemples de fonctions discontinues.
1 On consid`ere la fonction fd´efinie sur ]0,1[ par :
f(x) = 1si x ∈Q
0si x ∈R\Q
Montrer que fest discontinue en tout point.
2) on consid`ere la fonction gd´efinie sur ]0,1[ par :
g(x) = 1
qsi x =p q∈Q;p∧q= 1
0si x ∈R\Q
a) Soit  > 0, montrer que N={x∈Q∩]0,1[, g(x)≥}est un ensemble fini.
b) Soit x∈R\Q, on pose δ=1
2min
y∈N
(|y−x|). Soit y∈Qtel que |x−y| ≤ δ, que v´erifie y?
c) En d´eduire que gest continue en x.
4

d) On consid`ere une suite de rationnels (rn)n≥1= (pn
qn)n≥1qui converge vers un irrationnel
x∈]0,1[. Montrer en utilisant la question 2b que qn→
n→∞ ∞.
e) Montrer que gn’est continue en aucun rationnel.
Autre m´ethode : l’exercice 32 du td 3, nous dit que si pn
qn→x6∈ Q, alors qn→ ∞. En d´eduire
la continuit´e de gaux points irrationnels.
3) On consid`ere la fonction hd´efinie sur ]0,1[ par :
h(x) = pq
p2+q2+2qsi x =p q∈Q;p∧q= 1
x
1+x2si x ∈R\Q
1) D´eterminer αtel que pq
p2+q2+2q=
p
q
1+ p2
q2+α
2) Montrer par le crit`ere s´equentiel que hest continue en tout point irrationnel de ]0,1[.
3) Montrer que hn’est continue en aucun rationnel de ]0,1[
Exercice 21 Suite de fonctions :
Pour x∈[0,1], et n∈N∗, on pose :
fn(x) = 1−xn
1 + x2n.
1) Les fonctions fnsont elles continues ?
2) Montrer que pour tout x∈[0,1], la suite r´eelle (fn(x)) converge et d´eterminer sa limite (qui
d´epend de x)
On note f(x) la limite de fn(x) quand n→ ∞. (On dit que la suite de fonctions (fn) converge
simplement vers f)
3) La fonction fest elle continue ?
4) Pour tout n∈N, on d´efinit la fonction gnpar gn(x) = fn(x)−f(x). On note Mn:=
{gn(x), x ∈[0,1]}, justifier l’existence du r´eel Sn:= sup Mn.
5) Montrer que ∀n∈N∗, Sn= 1.
Exercice 22 Suites de fonctions :
Pour x∈R, on pose fn(x) = (1/n) sin(nπx)
1) Montrer que pour tout x∈R, la suite r´eelle (fn(x))n≥0admet une limite. D´eterminer cette
limite.
2) Soit Mn={fn(x); x∈R}, Justifier l’existence de Sn= sup Mn.
3) Montrer que (Sn) converge vers 0
Exercice 23 Fonction continue nulle part
Pour x∈R, et n∈N, on pose fn(x) = lim
m→∞[cos(n!πx)]2m.
1) D´emontrer que fnest bien d´efinie (que la limite existe bien).
2) D´emontrer que pour tout x∈Q, il existe n0tel que sin ≥n0,fn(x) = 1.
3) D´emontrer que si x∈R\Q,fn(x)→0.
4) D´eterminer une expression simple de la fonction fv´erifiant :
Pour tout x∈R,f(x) = lim
n→∞fn(x)
5