´Etude de fonctions : pour aller plus loin

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Etude de fonctions : pour aller plus loin...
Exercice 1:
Calculer les limites suivantes :
1. lim
x→2+
1
x−2+ ln(x2−4) 2. lim
x→0
E(x)
x3. lim
x→+∞
x−E(x)
√x
Exercice 2:
´
Etudier les branches infinies des fonctions suivantes :
1. x3+x√x+ 1
x2+√x+ 1 en +∞2. x3ln 1 + 1
√xen +∞.3. ln(ex+e−x) en −∞
Exercice 3:
Soit f:R→Rune fonction p´eriodique de p´eriode T∈R+∗poss´edant une limite finie en +∞. Montrer
que fest constante.
Exercice 4:
Soient fet gdeux fonctions d´efinies sur un intervalle I. On d´efinit les fonctions sup(f, g) et inf(f, g)
par :
∀x∈Isup(f, g)(x) = max(f(x), g(x)) et inf(f, g)(x) = min(f(x), g(x))
1. Montrer que sup(f, g) = f+g+|f−g|
2et inf(f, g) = f+g− |f−g| 2.
2. En d´eduire que si fet gsont continues sur Ialors sup(f, g) et inf(f, g) le sont aussi.
Exercice 5:
Soit n∈N. Montrer que gn:]0; 1] →Rd´efinie par gn(x) = xln 1
xn
est continue sur ]0; 1] et
admet un prolongement par continuit´e fnsur [0; 1].
Exercice 6:
Soit fune fonction continue de Rdans Rtelle que pour tout couple de r´eels (x, y) :
|f(x)−f(y)|>|x−y|
1. Montrer que fest injective.
On admet que l’on peut montrer que fest forc´ement strictement monotone.
2. Montrer que fest non born´ee et bijective.
3. On suppose dans cette question que fest croissante et qu’il existe un intervalle [a, b] stable par f
(c’est-`a-dire que f([a, b]) ⊂[a, b]). D´eterminer la restriction de f`a l’intervalle [a, b].
Exercice 7:
Montrer que tout polynˆome de degr´e impair admet au moins une racine.
Analyse : Chapitre 1 Exercices Page 1 Fonctions : pour aller plus loin

Exercice 8:
Soit f: [0; 1] →R, continue et telle que f(0) = f(1).
1. Montrer que l’´equation fx+1
2=f(x) poss`ede une solution sur 0; 1 2.
2. Plus g´en´eralement montrer qu, pour tout n∈N∗, l’´equation fx+1
n=f(x) poss`ede une solution
sur 0; 1 −1
n.
Exercice 9:
Soient f, g : [0; 1] →[0; 1] deux fonctions continues telles que f◦g=g◦f.
Notre but est de d´emontrer qu’il existe x0∈[0; 1] tel que f(x0) = g(x0). Raisonnons par l’absurde et
supposons qu’un tel x0n’existe pas.
1. Montrer qu’alors f−ggarde un signe constant.
On suppose par exemple que f−g>0. Montrer alors qu’il existe m > 0 tel que pour tout x∈[0; 1],
f(x)−g(x)>m.
2. Montrer que pour tout n∈N∗et x∈[0; 1], on a fn(x)>gn(x) + nm o`u fn=f◦f◦... ◦f
|{z }
nfois
.
3. Conclure.
4. Montrer que le r´esultat n’est pas toujours vrai si on remplace [0; 1] par R.
Exercice 10:
Soit f:x→x
1 + |x|. Montrer que fr´ealise une bijection de Rsur un intervalle Ique l’on pr´ecisera.
Expliciter f−1.
Exercice 11:
Soient aet bdeux r´eels tels que a < b.
1. Montrer que la fonction f:x→1
x−a+1 x−br´ealise une bijection de ]a;b[ sur R.
2. Expliciter f−1.
Exercice 12:
On note El’ensemble des fonctions f:R→Rcontinues telles que :
∀(x, y)∈R2, f x+y
2=f(x) + f(y) 2
1. Montrer que Econtient l’ensemble des fonction affines.
2. Soient aet bdeux r´eels tels que a < b et fune fonction de Etelle que f(a) = f(b) = 0.
a) Soit c∈[a;b]. On souhaite montrer que f(c) = 0. Pour cela, construire par dichotomie deux suites
(an) et (bn) telles que a0=a,b0=b, et pour tout n∈Nc∈[an;bn] et f(an) = f(bn) = 0.
Conclure
b) En d´eduire que fest la fonction nulle.
3. Montrer que Eest l’ensemble des fonctions affines.
Exercice 13:
Soit f:I→R. On suppose qu’il existe α > 1 et K∈Rtel que : ∀(x, y)∈I2|f(x)−f(y)|6K|x−y|α
Montrer que fest constante
Analyse : Chapitre 1 Exercices Page 2 Fonctions : pour aller plus loin

Exercice 14:
Soit la fonction fd´efinie par f(x) = r2−x
1 + x.
1. Quel est le domaine de d´efinition de f?
2. Dresser le tableau de variation de f.
3. Montrer que l’´equation x=f(x) admet une unique solution sur le domaine de d´efinition de f.
Exercice 15:
Montrer que pour tout x > 0, x6= 1, ln x
x−1<1
√x.
Exercice 16:
1. V´erifier que pour tout x > 0, on a 1
x+ 1 6ln(x+ 1) −ln x61 x.
2. En d´eduire, pour tout k∈N∗, la limite lorsque ntend vers +∞de Sn=
kn
X
i=n+1
1
i.
Exercice 17:
Soit la fonction f:x→ln 
x+ 3
x−1.
´
Etudier les variations de f.´ Etudier la concavit´e et les points d’inflexion de sa courbe repr´esentative C.
Exercice 18:
Soit fune fonction r´eelle deux fois d´erivable sur un intervalle Iet `a valeurs dans R∗
+. Pour tout r´eel a
on consid`ere la fonction gad´efinie sur Ipar ga(x) = f(x)eax.
Montrer que ln fest convexe si et seulement si pour tout aappartenant `a R,gaest convexe.
Analyse : Chapitre 1 Exercices Page 3 Fonctions : pour aller plus loin

Correction
Exercice 1:
1. On pose X=x−2. Pour x > 2 on a X > 0 :
1
x−2+ ln(x2−4) = 1 X+ ln X+ ln(X+ 4) = 1 + Xln X X+ ln(X+ 4)
Or lim
X→0+Xln X= 0 donc lim
X→0+
1 + Xln X
X+ln(X+4) = +∞et donc lim
x→2+
1
x−2+ln(x2−4) = +∞.
2. •Si x > 0, lorsque x < 1, E(x) = 0. Donc lim
x→0+
E(x)
x= 0
•Si x < 0, pour −1< x < 0 , E(x) = −1. Donc lim
x→0−
E(x)
x= +∞
3. E(x)6x < E(x) + 1 ⇔06x−E(x)
√x<1 √x.
Donc lim
x→+∞
x−E(x)
√x= 0.
Exercice 2:
1. Asymptote d’´equation y=x
2. Branche parabolique de direction (Oy).
3. Asymptote d’´equation y=−x.
Exercice 3:
Notons lla limite de fen +∞.
Soit xun r´eel fix´e. On pose, pour tout entier n,un=x+nT .
On a alors lim
n→+∞un= +∞donc lim n→+∞f(un) = l.
Or comme fest p´eriodique, f(un) = f(x). Donc on a par unicit´e de la limite, f(x) = l.
fest donc constante.
Exercice 4:
1. •Soit x∈I. Si f(x)>g(x) alors sup(f, g)(x) = f(x) et
f(x) + g(x) + |f(x)−g(x)|
2=f(x) + g(x) + f(x)−g(x) 2=f(x).
Si f(x)< g(x) alors sup(f, g)(x) = g(x) et
f(x) + g(x) + |f(x)−g(x)|
2=f(x) + g(x)−f(x) + g(x) 2=g(x).
Dans tous les cas sup(f, g)(x) = f(x) + g(x) + |f(x)−g(x)|
2.
•Mˆeme m´ethode pour l’inf.
2. Somme et compos´ee de fonctions continues.
Exercice 5:
•Continue sur ]0; 1] par op´erations sur les fonctions continues.
•Si n= 0, g0(x) = x, donc lim
x→0+g0(x) = 0 et on peut prolonger g0par continuit´e en 0.
Si n6= 0, gn(x) = (−1)nx(ln x)n= (−1)n(x1/n ln x)n.
Or, d’apr`es les croissances compar´ees, lim
x→0+x1/n ln x= 0 donc lim
x→0+gn(x) = 0 et donc on peut prolonger
gnpar continuit´e en 0.
Analyse : Chapitre 1 Exercices Page 4 Fonctions : pour aller plus loin

Exercice 6:
1. Soient xet ydeux r´eels tels que f(x) = f(y). On a alors 0 >|x−y|donc |x−y|= 0 et donc x=y.
fest bien injective.
2. On a admis que fest strictement monotone.
•On applique l’in´egalit´e de l’´enonc´e avec y= 0 et xr´eel quelconque. On a alors : |f(x)−f(0)|>|x|.
De plus |f(x)−f(0)|6|f(x)|+|f(0)|donc on a |f(x)|>|x| − |f(0)|.
Or lim
x→±∞ |x|= +∞donc lim x→±∞ |f(x)|= +∞ce qui signifie que fn’est pas born´ee.
•Si fest croissante alors on a lim
x→+∞f(x) = +∞et lim x→−∞ f(x) = −∞ donc f(R) = R. De mˆeme si
fest d´ecroissante on a aussi f(R) = R.
Donc fest surjective et d’apr`es 1. elle est injective. Donc fest bijective.
3. D’apr`es l’in´egalit´e de l’´enonc´e on a |f(b)−f(a)|>|b−a|. Or d’apr`es l’´enonc´e b−a > 0 et comme
fest croissante f(b)−f(a)>0. Donc on a f(b)−f(a)>b−a.
On sait aussi que f(b) et f(a) sont deux ´el´ements de [a;b] donc f(b)−f(a)6b−a. On a donc en
fait f(b)−f(a) = b−aet donc f(b) = bet f(a) = a.
Soit maintenant x∈]a;b[. Comme fest strictement croissante on a f(a)< f(x)< f(b).
Or on a aussi |f(x)−f(a)|>|x−a| ⇔ f(x)−a>x−a⇔f(x)>x.
Et |f(b)−f(x)|>|b−x| ⇔ b−f(x)>b−x⇔f(x)6x.
On a donc pour tout x∈[a;b], f(x) = x.
Exercice 7:
Pour un polynˆome de degr´e impair on a lim
x→+∞P(x) = +∞et lim x→−∞ P(x) = −∞ ou alors
lim
x→+∞P(x) = −∞ et lim x→−∞ P(x) = +∞.
Dans tous les cas il existe Aet Btels que P(A)P(B)<0 donc il suffit ensuite d’appliquer le TVI.
Exercice 8:
1. On pose pour x∈0; ; 1
2,ϕ(x) = fx+1 2−f(x).
On a ϕ(0) = f(1/2) −f(0) et ϕ(1/2) = f(1) −f(1/2) = f(0) −f(1/2). Donc ϕ(0) et ϕ(1/2) sont de
signe contraire et comme ϕest continue sur 0; ; 1
2alors d’apr`es le TVI il existe bien un solution `a
l’´equation ϕ(x) = 0 ⇔fx+1
2=f(x)
2. On pose pour n∈N∗et pour x∈0; ; 1 −1
n,ϕn(x) = fx+1 n−f(x).
On a alors ϕn(0) = f(1/n)−f(0) et ϕn1−1
n=f(1) −f1−1 n=f(0) −f1−1 n
On remarque alors que pour tout k∈[[0; n−1]] on a ϕnk
n=fk+ 1 n−fk n.
Donc
n−1
X
k=0
ϕnk
n=f(1) −f(0) = 0.
Donc n´ecessairement tous les termes de la somme ne sont pas de mˆeme signe (ou alors ils sont tous
nuls et l’´equation est bien r´esolue...) donc il existe ket k′tels que ϕnk
net ϕnk′ nne sont pas
de mˆeme signe.
Il ne reste plus qu’`a appliquer le TVI....
Analyse : Chapitre 1 Exercices Page 5 Fonctions : pour aller plus loin