M2 - Chapitre 6 1/5 M2 – Chapitre 6 – POLYNÔMES – Dans tout le chapitre K désigne ℝ ou ℂ . 1. ENSEMBLE K[X] 1.1 Notion de polynôme Définition 1: On appelle polynôme à une indéterminée X et à coefficients dans K toute n expression de la forme : P = a0 + a1X + ... + anX = n ∑a k Xk k =0 où a0 , a1 , ... , an sont des éléments de K appelés coefficients de P. Le coefficient a0 est appelé coefficient constant. K 0 ; k ; n, le terme akXk s’appelle le monôme de degré k. Lorsque tous les coefficients sont nuls on dit que P est le polynôme nul (noté P = 0). On note K[X] l’ensemble des polynômes à une indéterminée X et à coefficients dans K. Remarques : (i) On identifie K avec l’ensemble des polynômes constants P = a0. (ii) Deux polynômes sont égaux si tous les coefficients des monômes de même degré sont égaux. n Définition 2 : Soit P = ∑a k Xk k =0 un élément non nul de K[X] . On appelle degré de P et on note deg(P) le plus grand entier k tel que ak ≠ 0. Le coefficient adeg(P) est appelé coefficient du terme de plus haut degré (ou coefficient dominant). On dit que P est unitaire ou normalisé si adeg(P) = 1. L’ensemble contenant le polynôme nul et les polynômes de degré inférieur ou égal à n est noté Kn[X]. Par convention, le degré du polynôme nul est -o. n Définition 3 : Soit P = ∑a k Xk k =0 un élément non nul de K[X] . On lui associe la fonction K → K polynômiale : Pɶ : n x ֏ ∑a k =0 k xk . L’application f : K [X] → K K P ֏ Pɶ est une bijection. Remarque : En pratique on pourra confondre polynôme et fonction polynômiale, et on notera ~ pour tout a de K, P(a) pour P (a). I1- ICAM Toulouse Sophie Touzet M2 - Chapitre 6 2/5 Définition 4 : On dit qu’un polynôme est pair ( resp. impair ) si la fonction polynômiale associée est une fonction paire (resp. impaire).. p Proposition 1 : Soit P = ∑a k Xk . k =0 P est un polynôme pair si et seulement si p est pair (p = 2n) et ∀k ∈ 0; n − 1 , a2k+1 = 0. P est un polynôme impair si et seulement si p est impair ( p = 2n + 1) et ∀k ∈ 0; n , ak = 0. 1.2 Opérations p Définition 5 : Soient P = ∑a k X q k k =0 et Q = ∑ bk X k deux éléments de K[X]. k =0 En complétant les polynômes par des zéros si besoin est ( par exemple si p < q, on pose ap+1= 0 , ..., aq = 0), on définit : max( p ,q ) P+Q= ∑ (a k + b k ) X k k =0 K λ∈K, λP = p+ q P.Q = p ∑ (λa k ) X k k =0 ∑ck Xk k=0 k où c k = ∑ a i b k −i = i=0 ∑a i b j . i + j= k P0 = 1, et par récurrence : ∀i ∈ ℕ Pi+1 = P . Pi Proposition 2 : Soient P et Q deux éléments non nuls de K[X]. • • Si P + Q ≠ 0 alors deg(P + Q) ≤ max(deg(P) , deg(Q)). deg(P . Q) = deg(P) + deg(Q) et P Remarque : ∀(P;Q) ∈ K[X], P + Q = Pɶ + Q . Q = Pɶ . Q Propriétés : ∀ ( P;Q; R ) ∈ K[X] : • • • • P + (Q + R) = (P + Q) + R ; P. (Q . R) = (P . Q) . R (lois associatives) ; P + Q = Q + P ; P . Q = Q . P (lois commutatives) ; P+0=P;P. 1=P; P . ( Q + R) = P . Q + P . R p Définition 6 : Soient P = ∑a k X q k k =0 et Q = ∑ bk X k k =0 deux éléments de K[X]. Le polynôme composé de P et Q, noté P Q ou P(Q), est le polynôme de l’on obtient en p remplaçant dans l’expression de P la lettre X par Q : P Q = ∑ a k Q k k =0 Remarques : ∀(P;Q) ∈ K[X] : (i) P Q = Pɶ Q (ii) En général P Q ' Q P Proposition 3 : Soient P et Q deux éléments non nul de K[X]. On a : deg(P Q) = deg(P) × deg(Q). I1- ICAM Toulouse Sophie Touzet M2 - Chapitre 6 3/5 1.3 Polynôme dérivé n Définition 7 : Pour tout P = ∑a k Xk k =0 de K[X], on appelle polynôme dérivé de P et on note n P’ le polynôme défini par P’ = 0 si P est constant, P’ = ∑ ka k X k −1 k =1 sinon. On définit par récurrence, pour tout iSN* : P(i) = (P(i -1))’ , avec P(0) = P. ( ) Remarque : Lorsque K = ℝ, P' = P ' . Propriétés : ∀α∈K , ∀(P ; Q)∈(K[X])² : • (P + Q)’ = P’ + Q’ • (αP)’ = αP’ • (P . Q)’ = P’ . Q + P . Q’ • formule de Leibniz : ∀k∈ ℕ , (P . Q)(k) = k k ∑ i P i=0 (i) . Q(k −i) . Théorème 1 : Formule de Taylor Soient P ∈ Kn[X] et a ∈ K. P = P(a) + P’(a) (X - a) + ... + P ( n ) (a ) ( X − a) n n! P ( k ) (0) k ∑ k! X . k=0 n Remarque : en particulier pour a = 0, P= 2. FACTORISATION D’UN POLYNÔME 2.1 Division euclidienne Théorème 2 / Définition 8 : Soient A et B deux éléments de K[X] avec B ≠ 0. Il existe un unique couple (Q ; R) S (K[X])2 tel que : A = BQ + R avec deg(R) < deg(B). Q et R sont appelés quotient et reste de la division euclidienne de A par B. Proposition 4 : Soient a ∈ K et P ∈ K[X]. Le reste de la division euclidienne de P par X – a est P(a). Définition 9 : Soient A et B deux éléments de K[X] . On dit que A est divisible par B (ou que B divise A) s’il existe Q ∈ K[X] tel que A = BQ . On note alors B|A. On dit qu’un élément P de K[X] est irréductible dans K[X] lorsqu’il est divisible seulement par les polynômes constants et les polynômes de la forme λP (λ∈K). I1- ICAM Toulouse Sophie Touzet M2 - Chapitre 6 4/5 2.2 Racines d’un polynôme Définition 10 : Soient P ∈ K[X] et a ∈ K. On dit que a est une racine (ou un zéro) de P si P(a) = 0. Proposition 5 : Soit P ∈ K[X]. a ∈ K est une racine de P si et seulement si P est divisible par X – a. Proposition 6 : Soit P ∈ K[X]. Si a1, a2, ..., an sont n racines distinctes de P alors P est divisible par (X - a1)(X - a2) ... (X - an). Définition 11 : Soit P ∈ K[X]. On dit qu’une racine a de P est de multiplicité k si (X - a)k divise P et (X - a)k+1 ne divise pas P ; si k = 1 on dit que a est une racine simple. Remarques : Soient P ∈ K[X] et a ∈ K. (i) a est une racine de P de multiplicité k si et seulement si il existe Q ∈ ℝ [X] tel que P = (X – a)k Q avec Q(a) ≠ 0. (ii) L’ordre de multiplicité d’une racine est au plus égale au degré du polynôme. Proposition 7 : Soit P ∈ K[X]. Si P ∈ Kn[X] s’annule pour au moins n + 1 valeurs distinctes, alors P = 0. Théorème 3 : Soient a ∈ K et P ∈ K[X]. a est une racine de P de multiplicité k si et seulement si : ∀i∈{0 ;1 ;... ; k – 1}, P(i)(a) = 0 et P(k)(a) ≠ 0. 2.3 Factorisation dans C[X] Théorème 4 : Théorème de d’Alembert Tout polynôme non constant de ℂ [X] admet au moins une racine dans ℂ . Corollaire : Les seuls polynômes irréductibles de ℂ [X] sont les polynômes de degré 1 et les polynômes constants. Proposition 8 : Tout polynôme P de ℂ n[X] admettant r racines distinctes a1, a2, …, ar de multiplicité m1, m2, …, mr respectivement, et de coefficient dominant an s’écrit : m P = a n ( X − α1 ) 1 (X − α 2 ) m 2 ...(X − α r ) mr . ( On dit d’un tel polynôme qu’il est scindé.) 2.4 Relation entre coefficients et racines Théorème 5 : Soient P ∈ ℂ [X], un polynôme de degré n (n∈ ℕ *) , P = n ∑a k Xk k =0 et x1, x2 , ... , xn les n racines de P distinctes ou confondues. a n−1 a0 Alors : x1+ x2 + ... + xn = − et x1 x2 ... xn = (−1) n . an an I1- ICAM Toulouse Sophie Touzet M2 - Chapitre 6 5/5 Corollaire : Soit P ∈ ℂ [X], avec deg(P) = 2. On note a le coefficient dominant de P, x1 et x2 les racines (distinctes ou confondues) de P, s = x1+ x2 et p = x1 x2. Alors P = a (X2 – sX + p). Réciproquement, soient s et p des nombres complexes. Alors les solutions dans ℂ du x + y = s système sont les racines du polynôme P = X2 – sX + p. xy = p 2.5 Factorisation dans R[X] Remarque : Tout polynôme de ℝ [X] peut être considéré comme polynôme de ℂ [X]. Proposition 9 : Soit P∈ ℂ [X]. P∈ ℝ [X] si et seulement si ∀z∈ ℂ , P( z) = P( z) . Proposition 10 : Soient P∈ ℝ [X] et k∈ ℕ *. a S ℂ est une racine de multiplicité k de P si et seulement si a est une racine de multiplicité k de P. Théorème 6 : Tout polynôme P de ℝ [X] de degré non nul est le produit de polynômes de degré 1 ou de degré 2. Remarque : Les seuls polynômes irréductibles de ℝ [X] sont les polynômes constants ou de degré 1 et les polynômes de degré 2 sans racine réelle (discriminant < 0). Proposition 11 : Tout polynôme de ℝ [X] de degré impair admet au moins une racine réelle. I1- ICAM Toulouse Sophie Touzet