M2 – Chapitre 6 – POLYNÔMES

M2 - Chapitre 6 1/5
M2 – Chapitre 6
– POLYNÔMES –
Dans tout le chapitre K désigne ℝ ou ℂ .
1. ENSEMBLE K[X]
1.1 Notion de polynôme
Définition 1: On appelle polynôme à une indéterminée X et à coefficients dans K toute
n
expression de la forme : P = a0 + a1X + ... + anX =
n
∑a k Xk
k =0
où a0 , a1 , ... , an sont des
éléments de K appelés coefficients de P.
Le coefficient a0 est appelé coefficient constant.
K 0 ; k ; n, le terme akXk s’appelle le monôme de degré k.
Lorsque tous les coefficients sont nuls on dit que P est le polynôme nul (noté P = 0).
On note K[X] l’ensemble des polynômes à une indéterminée X et à coefficients dans K.
Remarques :
(i)
On identifie K avec l’ensemble des polynômes constants P = a0.
(ii)
Deux polynômes sont égaux si tous les coefficients des monômes de même degré
sont égaux.
n
Définition 2 : Soit P =
∑a k Xk
k =0
un élément non nul de K[X] .
On appelle degré de P et on note deg(P) le plus grand entier k tel que ak ≠ 0.
Le coefficient adeg(P) est appelé coefficient du terme de plus haut degré (ou coefficient
dominant).
On dit que P est unitaire ou normalisé si adeg(P) = 1.
L’ensemble contenant le polynôme nul et les polynômes de degré inférieur ou égal à n est
noté Kn[X].
Par convention, le degré du polynôme nul est -o.
n
Définition 3 : Soit P =
∑a k Xk
k =0
un élément non nul de K[X] . On lui associe la fonction
K → K
polynômiale : Pɶ :
n
x ֏
∑a
k =0
k
xk
. L’application f :
K [X] → K K
P ֏ Pɶ
est une bijection.
Remarque : En pratique on pourra confondre polynôme et fonction polynômiale, et on notera
~
pour tout a de K, P(a) pour P (a).
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Définition 4 : On dit qu’un polynôme est pair ( resp. impair ) si la fonction polynômiale
associée est une fonction paire (resp. impaire)..
p
Proposition 1 : Soit P =
∑a k Xk .
k =0
P est un polynôme pair si et seulement si p est pair (p = 2n) et ∀k ∈ 0; n − 1 , a2k+1 = 0.
P est un polynôme impair si et seulement si p est impair ( p = 2n + 1) et ∀k ∈ 0; n , ak = 0.
1.2 Opérations
p
Définition 5 : Soient P =
∑a k X
q
k
k =0
et Q =
∑ bk X k
deux éléments de K[X].
k =0
En complétant les polynômes par des zéros si besoin est ( par exemple si p < q, on pose
ap+1= 0 , ..., aq = 0), on définit :
max( p ,q )
P+Q=
∑ (a k + b k ) X k
k =0
K λ∈K, λP =
p+ q
P.Q =
p
∑ (λa k ) X k
k =0
∑ck Xk
k=0
k
où c k = ∑ a i b k −i =
i=0
∑a i b j
.
i + j= k
P0 = 1, et par récurrence : ∀i ∈ ℕ Pi+1 = P . Pi
Proposition 2 : Soient P et Q deux éléments non nuls de K[X].
•
•
Si P + Q ≠ 0 alors deg(P + Q) ≤ max(deg(P) , deg(Q)).
deg(P . Q) = deg(P) + deg(Q)
et P
Remarque : ∀(P;Q) ∈ K[X], P
+ Q = Pɶ + Q
. Q = Pɶ . Q
Propriétés : ∀ ( P;Q; R ) ∈ K[X] :
•
•
•
•
P + (Q + R) = (P + Q) + R ; P. (Q . R) = (P . Q) . R (lois associatives) ;
P + Q = Q + P ; P . Q = Q . P (lois commutatives) ;
P+0=P;P. 1=P;
P . ( Q + R) = P . Q + P . R
p
Définition 6 : Soient P =
∑a k X
q
k
k =0
et Q =
∑ bk X k
k =0
deux éléments de K[X].
Le polynôme composé de P et Q, noté P Q ou P(Q), est le polynôme de l’on obtient en
p
remplaçant dans l’expression de P la lettre X par Q : P Q = ∑ a k Q k
k =0
Remarques : ∀(P;Q) ∈ K[X] :
(i)
P
Q = Pɶ Q
(ii)
En général P Q ' Q P
Proposition 3 : Soient P et Q deux éléments non nul de K[X].
On a : deg(P Q) = deg(P) × deg(Q).
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1.3 Polynôme dérivé
n
Définition 7 : Pour tout P =
∑a k Xk
k =0
de K[X], on appelle polynôme dérivé de P et on note
n
P’ le polynôme défini par P’ = 0 si P est constant, P’ =
∑ ka k X k −1
k =1
sinon.
On définit par récurrence, pour tout iSN* : P(i) = (P(i -1))’ , avec P(0) = P.
( )
Remarque : Lorsque K = ℝ, P' = P ' .
Propriétés : ∀α∈K , ∀(P ; Q)∈(K[X])² :
•
(P + Q)’ = P’ + Q’
•
(αP)’ = αP’
•
(P . Q)’ = P’ . Q + P . Q’
•
formule de Leibniz : ∀k∈ ℕ ,
(P . Q)(k) =
k
k
∑ i P
i=0
 
(i)
. Q(k −i) .
Théorème 1 : Formule de Taylor
Soient P ∈ Kn[X] et a ∈ K. P = P(a) + P’(a) (X - a) + ... +
P ( n ) (a )
( X − a) n
n!
P ( k ) (0) k
∑ k! X .
k=0
n
Remarque : en particulier pour a = 0,
P=
2. FACTORISATION D’UN POLYNÔME
2.1 Division euclidienne
Théorème 2 / Définition 8 : Soient A et B deux éléments de K[X] avec B ≠ 0.
Il existe un unique couple (Q ; R) S (K[X])2 tel que : A = BQ + R avec deg(R) < deg(B).
Q et R sont appelés quotient et reste de la division euclidienne de A par B.
Proposition 4 : Soient a ∈ K et P ∈ K[X]. Le reste de la division euclidienne de P par X – a
est P(a).
Définition 9 : Soient A et B deux éléments de K[X] .
On dit que A est divisible par B (ou que B divise A) s’il existe Q ∈ K[X] tel que A = BQ .
On note alors B|A.
On dit qu’un élément P de K[X] est irréductible dans K[X] lorsqu’il est divisible seulement
par les polynômes constants et les polynômes de la forme λP (λ∈K).
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2.2 Racines d’un polynôme
Définition 10 : Soient P ∈ K[X] et a ∈ K.
On dit que a est une racine (ou un zéro) de P si P(a) = 0.
Proposition 5 : Soit P ∈ K[X]. a ∈ K est une racine de P si et seulement si P est divisible
par X – a.
Proposition 6 : Soit P ∈ K[X]. Si a1, a2, ..., an sont n racines distinctes de P alors P est
divisible par (X - a1)(X - a2) ... (X - an).
Définition 11 : Soit P ∈ K[X]. On dit qu’une racine a de P est de multiplicité k si (X - a)k
divise P et (X - a)k+1 ne divise pas P ; si k = 1 on dit que a est une racine simple.
Remarques : Soient P ∈ K[X] et a ∈ K.
(i)
a est une racine de P de multiplicité k si et seulement si il existe Q ∈ ℝ [X] tel que
P = (X – a)k Q avec Q(a) ≠ 0.
(ii)
L’ordre de multiplicité d’une racine est au plus égale au degré du polynôme.
Proposition 7 : Soit P ∈ K[X]. Si P ∈ Kn[X] s’annule pour au moins n + 1 valeurs
distinctes, alors P = 0.
Théorème 3 : Soient a ∈ K et P ∈ K[X]. a est une racine de P de multiplicité k si et
seulement si : ∀i∈{0 ;1 ;... ; k – 1}, P(i)(a) = 0 et P(k)(a) ≠ 0.
2.3 Factorisation dans C[X]
Théorème 4 : Théorème de d’Alembert
Tout polynôme non constant de ℂ [X] admet au moins une racine dans ℂ .
Corollaire : Les seuls polynômes irréductibles de ℂ [X] sont les polynômes de degré 1 et les
polynômes constants.
Proposition 8 : Tout polynôme P de ℂ n[X] admettant r racines distinctes a1, a2, …, ar de
multiplicité m1, m2, …, mr respectivement, et de coefficient dominant an s’écrit :
m
P = a n ( X − α1 ) 1 (X − α 2 ) m 2 ...(X − α r ) mr . ( On dit d’un tel polynôme qu’il est scindé.)
2.4 Relation entre coefficients et racines
Théorème 5 : Soient P ∈ ℂ [X], un polynôme de degré n (n∈ ℕ *) , P =
n
∑a k Xk
k =0
et
x1, x2 , ... , xn les n racines de P distinctes ou confondues.
a n−1
a0
Alors : x1+ x2 + ... + xn = −
et x1 x2 ... xn = (−1) n
.
an
an
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Corollaire : Soit P ∈ ℂ [X], avec deg(P) = 2.
On note a le coefficient dominant de P, x1 et x2 les racines (distinctes ou confondues) de P,
s = x1+ x2 et p = x1 x2. Alors P = a (X2 – sX + p).
Réciproquement, soient s et p des nombres complexes. Alors les solutions dans ℂ du
x + y = s
système 
sont les racines du polynôme P = X2 – sX + p.
xy
=
p

2.5 Factorisation dans R[X]
Remarque : Tout polynôme de ℝ [X] peut être considéré comme polynôme de ℂ [X].
Proposition 9 : Soit P∈ ℂ [X]. P∈ ℝ [X] si et seulement si ∀z∈ ℂ , P( z) = P( z) .
Proposition 10 : Soient P∈ ℝ [X] et k∈ ℕ *.
a S ℂ est une racine de multiplicité k de P si et seulement si a est une racine de multiplicité k
de P.
Théorème 6 : Tout polynôme P de ℝ [X] de degré non nul est le produit de polynômes
de degré 1 ou de degré 2.
Remarque : Les seuls polynômes irréductibles de ℝ [X] sont les polynômes constants ou de
degré 1 et les polynômes de degré 2 sans racine réelle (discriminant < 0).
Proposition 11 : Tout polynôme de ℝ [X] de degré impair admet au moins une racine réelle.
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