M2 - Chapitre 6
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I1- ICAM Toulouse Sophie Touzet
Définition 10 : Soient P ∈ K[X] et a ∈ K.
On dit que a est une racine (ou un zéro) de P si P(a) = 0.
Proposition 5 : Soit P ∈ K[X]. a ∈ K est une racine de P si et seulement si P est divisible
par X – a.
Proposition 6 : Soit P ∈ K[X]. Si a
1
, a
2
, ..., a
n
sont n racines distinctes de P alors P est
divisible par (X - a
1
)(X - a
2
) ... (X - a
n
).
Définition 11 : Soit P ∈ K[X]. On dit qu’une racine a de P est de multiplicité k si (X - a)
k
divise P et (X - a)
k+1
ne divise pas P ; si k = 1 on dit que a est une racine simple.
Remarques : Soient P ∈ K[X] et a ∈ K.
(i) a est une racine de P de multiplicité k si et seulement si il existe Q
[X] tel que
P = (X – a)
k
Q avec Q(a)
0.
(ii) L’ordre de multiplicité d’une racine est au plus égale au degré du polynôme.
Proposition 7 : Soit P ∈ K[X]. Si P ∈ K
n
[X] s’annule pour au moins n + 1 valeurs
distinctes, alors P = 0.
Théorème 3 : Soient a ∈ K et P ∈ K[X]. a est une racine de P de multiplicité k si et
seulement si : ∀i∈{0 ;1 ;... ; k – 1}, P
(i)
(a) = 0 et P
(k)
(a) ≠ 0.
2.3 Factorisation dans C
CC
C[X]
Théorème 4 : Théorème de d’Alembert
Tout polynôme non constant de
[X] admet au moins une racine dans
.
Corollaire : Les seuls polynômes irréductibles de
[X] sont les polynômes de degré 1 et les
polynômes constants.
Proposition 8 : Tout polynôme P de
n
[X] admettant r racines distinctes a
1
, a
2
, …, a
r
de
multiplicité m
1
, m
2
, …, m
r
respectivement, et de coefficient dominant a
n
s’écrit :
( )
1
m
n 1 2 r
= −α −α −α
. ( On dit d’un tel polynôme qu’il est scindé.)
Théorème 5 : Soient P
[X], un polynôme de degré n (n∈
*) , P = a X
kk
k
n
=
∑
0
et
x
1
, x
2
, ... , x
n
les n racines de P distinctes ou confondues.
Alors : x
1
+ x
2
+ ... + x
n
=
−
−
a
n
n
1
et x
1
x
2
... x
n
=
( )−1
0
n
n
a
.
2.2 Racines d’un polynôme
2.4 Relation entre coefficients et racines