Parties génératrices d'un groupe. Exemples Page 5G. COSTANTINI
Or, l'ordre de b est égal à n (car b est générateur), donc :
∃v ∈ , 1 − ku = vn
D'après le théorème de Bézout, on déduit : (k, n) = 1
Réciproquement, supposons (k, n) = 1 et montrons que b = ak est générateur :
D'après le théorème de Bézout : ∃(u, v) ∈ 2, uk + vn = 1
Comme a est d'ordre n, on a alors :
(ak)u = auk = a1 − vn = a × (an)−v = a
Ce qui prouve que a est une puissance de ak, donc G = < ak >.
Remarque : d'après 2.1.3., on pouvait aussi se ramener aux propriétés de (, +) et
( )
,
n+.
2.2. Groupes symétriques
Soit n ∈ \ {0 ; 1}. On note Sn le groupe des bijections de 1, n. (Groupe symétrique d'ordre n!)
On rappelle que Sn est engendré par les cycles à supports disjoints. (Voir leçon sur le groupe des permutations).
2.2.1. Théorème
1) Sn est engendré par les transpositions.
2) Sn est engendré par les n − 1 transpositions :
(1, i) où i ∈ 2, n
3) Sn est engendré par les n − 1 transpositions :
(i, i + 1) où i ∈ 1, n − 1
Démonstration :
On rappelle que toute permutation se décompose en un produit de cycles à supports disjoints deux à deux. (Voir
la leçon sur le groupe symétrique)
1) Il suffit donc de le démontrer pour un cycle. Par récurrence immédiate sur la longueur r.
On considère la propriété :
Hr : tout r-cycle (α1, α2, ... , αr) s'écrit τ1τ2 ... τr−1
où les τi (1 i r − 1) sont des transpositions
On a H2 car un 2-cycle est une transposition.
Supposons : Hr pour un certain entier r.
Soit c = (β1, β2, ..., βr+1) un cycle de longueur r + 1.
On remarque que : c = (β1, βr+1)(β1, β2, ... , βr).
Or, (β1, β2, ... , βr) est un cycle de longueur r, donc peut (par hypothèse de récurrence) s'écrire τ1τ2 ... τr.
Posons τ = (β1, βr+1). On a donc c = τ τ1τ2 ... τr, ce qui est Hr+1.
D'où 1).
2) Il suffit de remarquer que toute transposition (i, j) peut s'écrire :
Retenir qu'un r-cycle peut
s'écrire comme un produit de
r − 1 transpositions.