Leçon 1

Parties génératrices d'un groupe. Exemples Page 1G. COSTANTINI
PARTIES GÉNÉRATRICES D'UN GROUPE. EXEMPLES
SOMMAIRE
1. Sous-groupe engendré par une partie non vide S1
1.1. Définition : sous-groupe < S > engendré par une partie non vide S 2
1.2. Définition : partie génératrice 2
1.3. Théorème : autres caractérisations de < S > 2
1.4. Cas particulier : groupe engendré par un seul élément 3
2. Exemples 3
2.1. Groupes monogènes 3
2.1.1. Définition : groupes monogènes 3
2.1.2. Définition : groupes cycliques 3
2.1.3. Théorème : structure des groupes monogènes 3
2.1.4. Théorème : générateurs des groupes monogènes 4
2.2. Groupes symétriques (engendrés par les cycles à supports disjoints) 5
2.2.1. Théorème : Sn est engendré par les transpositions 5
2.2.2. Théorème : le groupe alterné An est engendré par les 3-cycles 6
2.3. Groupes diédraux (engendrés par une symétrie et une rotation) 6
2.4. Groupe orthogomal (engendré par les reflexions) 8
2.5. Groupe linéaire (engendré par les matrices d'opérations élémentaires) : non démontré 9
Dans toute la leçon, (G, .) désigne un groupe (noté multiplicativement).
I désigne un ensemble non vide (éventuellement infini non dénombrable).
S désigne une partie non vide de G.
Sous-groupe engendré par une partie (non vide)
On rappelle que l'intersection de sous-groupes est un sous-groupe :
Soient H et K des sous-groupes de G.
Alors H et K sont non vides, ils contiennent le neutre 1 de G. Donc 1 ∈ H ∩ K.
Soient x et y dans H ∩ K.
Comme x et y sont dans le sous-groupe H : xy−1 ∈ H
De même, xy−1 ∈ H d'où : xy−1 ∈ H ∩ K
Ce qui prouve bien que H ∩ K est un sous-groupe de G.
Ce raisonnement marche encore avec une famille (quelconque) de sous-groupes.
Ceci nous amène à la définition suivante :
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1.1. Définition
On appelle sous-groupe de G engendré par S le sous-groupe noté < S > et défini par :
< S > =
sous-groupe deH G
H S
H
⊃
1.2. Définition
Si < S > = G, on dit que S est une partie génératrice de G.
On dit que G est de type fini s'il admet au moins une partie génératrice de cardinal fini.
1.3. Théorème
On a les caractérisations suivantes :
1) < S > est le plus petit sous-groupe, au sens de l'inclusion, contenant S
2) < S > =
n∗ ∈
{x1 ... xn où ∀i ∈ 1, n, xi ∈ S ∪ S−1}
(< S > est l'ensemble des produits constitués d'éléments de S ou de S−1)
Démonstration :
1) Soit H un sous-groupe de G contenant S : H ⊃S
Comme H ⊃sous-groupe deH G
H S
H
⊃
, on a : H ⊃ < S >
Donc tout sous-groupe H contenant S contient le sous-groupe < S >.
Ce qui prouve bien que < S > est le plus petit (au sens de l'inclusion).
2) Notons H =
n∗ ∈
{x1 ... xn où ∀i ∈ 1, n, xi ∈ S ∪ S−1}
Montrons déjà que H est un sous-groupe de G :
H est non vide, il contient 1. (Car S étant non vide, on a pour un x de S : 1 = xx−1 ∈ H)
Soient h et k dans H. Notons :
h = x1 ... xn et k = y1 ... ym où xi, yj ∈ S ∪ S−1
Alors : hk−1 = x1 ... xn (y1 ... ym)−1 = x1 ... xn1
m
y−... 1
1
y− ∈ H
Donc H est bien un sous-groupe de G.
De plus, H contient évidemment S. Montrons que c'est le plut petit :
Soit K un sous-groupe de G contenant S.
Alors, (K étant un sous-groupe) : ∀x ∈ S ⊂ K, x ∈ K et x−1 ∈ K
∀n ∈ *, ∀(x1, ... xn) ∈ (S ∪ S−1)n, x1 ... xn ∈ K
Donc H ⊂ K.
H est bien le plus petit sous-groupe de G contenant S, donc d'après 1), H = < S >, ce qui prouve 2).
S
−
1
= {s
−
1
, s ∈ S}

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1.4. Cas particulier :
Si S = {a}, alors : < S > not = < a > =
n∗ ∈
{x1 ... xn où ∀i ∈ 1, n, xi = a ou xi = a−1}
Or, a et a−1 commutent, donc : < S > =
n∗ ∈
{apa−q, p + q = n} = {an, n ∈ }
Moralité : un groupe monogène (engendré par un seul élément a) se compose des puissances de a.
On reprendra l'étude des groupes monogènes en 2.1.
2. Exemples
2.1. Groupes monogènes
2.1.1. Définition
S'il existe un élément x de G tel que G = <{a}> (on note plutôt < a >), on dit que G est monogène.
On dit alors que a est un générateur de G.
D'après 1.4., on a alors : G = {an, n ∈ }
2.1.2. Définition
On dit qu'un groupe est cyclique s'il est monogène et fini.
Exemples :
Typiquement :
( )
,
n+
2.1.3 Théorème
Tout groupe monogène < a > est soit infini et isomorphe à (, +), soit fini et isomorphe à
( )
,
m+, m ∈ *.
Démonstration :
On considère l'application :
ϕa :  →< a >
n an
• Im(ϕa) = < a > donc ϕa est surjectif.
• ϕa(n + n') = an+n' = an × an' = ϕa(n) × ϕa(n') donc ϕa est un morphisme de groupes.
On sait que le noyau d'un morphisme de groupe est un sous-groupe, donc :
Ker(ϕa) = {n ∈  | an = 1} est un sous-groupe de 
Par conséquent, il existe m ∈  tel que : Ker(ϕa) = m
Deux cas se présentent alors :
m = 0 : et alors Ker(ϕa) = {0}, ϕa est injective et donc bijective. Donc < a > est infini et isomorphe à (, +).
m ∈ * : dans ce cas, ϕa n'est pas injective. Mais :
ϕa(n) = ϕa(n')  an = an'  an − n' = 1  n − n' ∈ Ker(ϕa)  n − n' ∈ m  n = n' [m]
ϕa(n) ne dépend donc que de la classe nde n modulo m.
Définissons alors :
a
ϕ: Ker( )
a
ϕ
 = 
m → < a >

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n an
Ainsi, ce nouveau morphisme a ϕest injectif (puisque a ϕ(n) = a ϕ(n′)  n= n′) et surjectif.
Donc < a > est isomorphe à 
m.
On dit que l'on a factorisé le morphisme ϕa :
L'entier m ∈ * vérifie donc am = 1 et c'est le plus petit. (En effet : ak = 1  k ∈ Ker(ϕa)  k ∈ m)
Cet entier m s'appelle l'ordre de l'élément a.
2.1.4. Théorème
Soit G un groupe monogène : G = < a >
1) Si G est infini, alors ses seuls générateurs sont a et a−1.
2) Si G est fini d'ordre n, alors ses générateurs sont d'ordre n et sont les ak où (k, n) = 1.
Démonstration :
1) Puisque a est générateur, a−1 l'est également :
∀g ∈ G, ∃n ∈ , g = an = (a−1)
− n
Soit b un générateur de G.
Comme a est générateur : ∃u ∈ , b = au
Comme b est générateur : ∃v ∈ , a = bv
On a donc : b = buv
b1 − uv = 1
Or, b n'est pas d'ordre fini. (S'il l'était, il ne pourrait pas être générateur)
Donc : 1 − uv = 0
uv = 1
Et comme u et v sont des entiers : u = 1 ou u = − 1
D'où: b = a ou b = a−1
2) Soit b un générateur de G. Montrons que b est d'ordre n.
D'après le théorème de Lagrange, on sait que l'ordre de b divise n.
S'il le divisait strictement, b ne pourrait pas engendrer G, donc b est d'ordre n.
Soit maintenant un entier k tel que b = ak soit générateur.
Comme b est générateur : ∃u ∈ , a = bu
On a donc : b = bku
b1 − ku = 1
ϕa< a >
a
ϕ
p
m
n
n
a
n

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Or, l'ordre de b est égal à n (car b est générateur), donc :
∃v ∈ , 1 − ku = vn
D'après le théorème de Bézout, on déduit : (k, n) = 1
Réciproquement, supposons (k, n) = 1 et montrons que b = ak est générateur :
D'après le théorème de Bézout : ∃(u, v) ∈ 2, uk + vn = 1
Comme a est d'ordre n, on a alors :
(ak)u = auk = a1 − vn = a × (an)−v = a
Ce qui prouve que a est une puissance de ak, donc G = < ak >.
Remarque : d'après 2.1.3., on pouvait aussi se ramener aux propriétés de (, +) et
( )
,
n+.
2.2. Groupes symétriques
Soit n ∈  \ {0 ; 1}. On note Sn le groupe des bijections de 1, n. (Groupe symétrique d'ordre n!)
On rappelle que Sn est engendré par les cycles à supports disjoints. (Voir leçon sur le groupe des permutations).
2.2.1. Théorème
1) Sn est engendré par les transpositions.
2) Sn est engendré par les n − 1 transpositions :
(1, i) où i ∈ 2, n
3) Sn est engendré par les n − 1 transpositions :
(i, i + 1) où i ∈ 1, n − 1
Démonstration :
On rappelle que toute permutation se décompose en un produit de cycles à supports disjoints deux à deux. (Voir
la leçon sur le groupe symétrique)
1) Il suffit donc de le démontrer pour un cycle. Par récurrence immédiate sur la longueur r.
On considère la propriété :
Hr : tout r-cycle (α1, α2, ... , αr) s'écrit τ1τ2 ... τr−1
où les τi (1  i  r − 1) sont des transpositions
On a H2 car un 2-cycle est une transposition.
Supposons : Hr pour un certain entier r.
Soit c = (β1, β2, ..., βr+1) un cycle de longueur r + 1.
On remarque que : c = (β1, βr+1)(β1, β2, ... , βr).
Or, (β1, β2, ... , βr) est un cycle de longueur r, donc peut (par hypothèse de récurrence) s'écrire τ1τ2 ... τr.
Posons τ = (β1, βr+1). On a donc c = τ τ1τ2 ... τr, ce qui est Hr+1.
D'où 1).
2) Il suffit de remarquer que toute transposition (i, j) peut s'écrire :
Retenir qu'un r-cycle peut
s'écrire comme un produit de
r − 1 transpositions.