Exercice 25

Exercice 25
Soit H un sous-groupe de O+( r
2) de cardinal n
≥ 2. Montrons qu’il est cyclique de 3 façons.
1ère façon : notons r(
α
) la rotation d’angle de mesure
α
. Soit H = {Id, r1, ... , rn–1} un sous-groupe fini de
O+( r
2) de cardinal n
≥ 2. Soient
α
1,
α
2,... ,
α
n–1 les mesures des angles de r1, ... , rn appartenant à ]0; 2π[ rangées
dans l’ordre strictement croissant. Pour j fixé appartenant à {1, ... , n – 1} posons A = {p
∈
n /
α
j – p
α
1 > 0}. A
est non vide car il contient 0 et borné (ce qui résulte immédiatement du fait que
r est archimédien). On peut
donc poser
µ = Max A. Par définition de µ on a :
µ
α
1 <
α
j
≤ ( µ + 1)α1 soit 0 <
α
j –
µ
α
1
≤
α
1. Mais r(
α
j –
µ
α
1) = r(
α
j)
o [r(
α
1)]–
µ
∈
H. Comme x =
α
j –
µ
α
1
∈
]0; 2π[ ce réel est donc égal à l’un des
α
k et donc à
α
1 puisque 0 < x
≤
α
1. Par conséquent
α
j = (
µ + 1)
α
1 et
rj =
1
1+
µ
r. H est donc le groupe cyclique engendré par r1 et H = { r(k
α
1) / k
∈
n }. Enfin, comme H est de
cardinal n, r1 est d’ordre n soit
n
r
1
= Id i.e n
α
1
≡
0 (2π) ou
α
1
≡
n
q
π 2
(0
≤
q
≤
n – 1). Si H’ est le sous-groupe
de O+(
r
2) engendré par r(2π/n) on a donc H ⊂ H’ soit H = H’ puisque ces deux ensembles ont même cardinal
n.
2 ième façon : l’application de r dans O+(
r
2) qui à
α
associe r(
α
) est un morphisme de groupes surjectif dont
le noyau est 2πz. La décomposition canonique de ce morphisme (exercice 18) fournit donc un isomorphisme
ϕ
de r /2π z dans O+( r
2). On peut donc raisonner dans
r /2π z et considérer le sous-groupe fini G =
ϕ
–1(H) de
r /2π z de cardinal n. On sait que par la projection canonique Π de r dans r /2π z les sous-groupes de r
contenant 2π z sont en bijection avec les sous-groupes de r /2π z (exercice V de la fin du chapitre). Comme les
sous-groupes de
r sont denses ou de la forme a z (a
∈
r *) et que G est fini il existe donc a
∈
r tel que
G =
Π (a z ) avec a z ⊃ 2
π
z . Cela implique que 2
π
= am avec m
∈
n* soit a = 2 π /m. Finalement
G = {
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
mk
π 2
/ 0 ≤ k ≤ m – 1} qui est le groupe cyclique engendré par
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
m
π 2
de cardinal m. On a donc m = n et
H est le sous-groupe de O+(
r
2) engendré par r(2π/n).
3 ième façon : soit (U,
× ) le groupe des nombres complexes de module 1. L’application Ψ de U dans O+( r
2)
définie par z = ei
α
6
r(
α
) est un isomorphisme de groupes. Z = Ψ –1(H) est un sous-groupe de U à n éléments.
D’après le théorème de Lagrange (exercice 17) pour tout z de Z on a zn = 1 donc Z ⊂ Un, groupe des racines n–
ièmes de 1. Soit Z = Un car ces deux ensembles ont même cardinal. Un étant engendré par ei2
π /n , H est engendré
par r(2
π
/n).
Soit G le groupe des déplacements du plan affine invariant un polygone régulier à n côtés, de sommets
consécutifs A1, ... , An. Soit f
∈
G. Comme {f(A1), ... , f(An)} = {A1, ... , An}, et que f conserve le barycentre,
l’isobarycentre O de (A1, ... , An) est invariant. Si f est distincte de l’identité c’est donc une rotation de centre O.
Si Ak (2
≤ k ≤ n) est l’image de A1 par f, f est la rotation d’angle 2
π
k/n, i.e f = r(O, 2
π
/n)k. Par conséquent G est
le groupe cyclique à n éléments engendré par la rotation r(O, 2π/n) : ce groupe est clairement isomorphe au
groupe des rotations vectorielles engendré par r(2
π
/n).