TD2 - Groupes

Licence Informatique 2e année
Informatique théorique 2
TD2 : Groupes
1
Table de Cayley
a. Construire la table de Cayley d’un groupe d’ordre 3 (considérer un groupe
d’ordre 3 connu).
b. Montrer que tous les groupes d’ordre 3 sont isomorphes.
2
Groupe abélien
Soit G un groupe où tout élément est son propre inverse. Montrer que G est
abélien.
3
Groupe sur P(E)
On définit sur P(E), ensemble des parties d’un ensemble E, la loi interne ∆
par X∆Y = (X̄ ∩ Y ) ∪ (Ȳ ∩ X) (∆ est la différence symétrique). Montrer que
(P(E),∆) est un groupe (on admettra que ∆ est associative).
4
Sous-groupe
Montrer que si H est une partie non vide de G, H sous-groupe de G ssi
∀x,y ∈ H,xy −1 ∈ H
5
Sous-groupe engendré
Donner les sous-groupes de (Z,+) engendrés par {3,5} et {6,10}.
6
Ordre d’un élément
Soit G un groupe dans lequel tout élément différent du neutre est d’ordre 2.
Montrer que G est commutatif.
7
Ordre d’un groupe
Montrer que si l’ordre d’un groupe est un nombre premier, le groupe est
cyclique.
1
8
Groupe quotient
Montrer qu’étant donné un groupe G et un morphisme f défini sur G, alors
Ker(f ) est distingué dans G. En déduire que G/Ker(f ) est un groupe pour la
loi x̄.ȳ = x.y.
¯
9
Groupe quotient (bis)
Si G est un groupe de neutre e, déterminer G/G et G/{e}.
10
Groupe quotient (ter)
¯ et 20
¯
Soit H le sous-groupe de Z/40Z engendré par 12
a. Montrer que H est engendré par 4̄ et trouver son ordre.
¯ dans Z/40Z.
b. Déterminer l’ordre de 15
c. Caractériser les générateurs de Z/40Z. Montrer ce résultat pour les générateurs de Z/nZ.
11
Produit direct de groupes
Soit G = (Z/2Z) × (Z/4Z) muni de l’opération (a,b) + (c,d) = (a + c,b + d).
a. Donner la liste des éléments de G et l’ordre de chacun d’entre eux. G est-il
cyclique?
b. Donner la liste des sous-groupes de G et en construire le treillis pour l’inclusion.
12
Isomorphisme sur R
Quel isomorphisme bien connu existe entre R+ (les réels positifs) muni de la
multiplication et R muni de l’addition? Quel est l’isomorphisme inverse?
2
13
Sous-anneau
On appelle centre d’un anneau (A, + ,.) l’ensemble C = {x ∈ A|∀y ∈ Ax.y =
y.x}. Montrer que C est un sous-anneau de A.
14
Théorème des restes chinois
Une bande de 17 pirates s’est emparée d’un butin composé de pièces d’or
d’égale valeur. Ils décident de se les partager également et de donner le reste
au cuisinier chinois. Celui-ci recevrait trois pièces. Mais les pirates se querellent
et six d’entre eux sont tués. Le cuisinier recevrait alors 4 pièces. Survient alors
un naufrage et seuls 6 pirates, le cuisinier et le trésor sont sauvés et le partage
laisserait 5 pièces d’or à ce dernier. Quelle est alors la fortune minimale que
peut espérer ce dernier s’il décide d’empoisonner le reste des pirates?
3