TD2 - Groupes

Licence Informatique 2e année
Informatique théorique 2
TD2 : Groupes
1 Table de Cayley
a. Construire la table de Cayley d’un groupe d’ordre 3 (considérer un groupe
d’ordre 3 connu).
b. Montrer que tous les groupes d’ordre 3 sont isomorphes.
2 Groupe abélien
Soit Gun groupe où tout élément est son propre inverse. Montrer que Gest
abélien.
3 Groupe sur P(E)
On définit sur P(E), ensemble des parties d’un ensemble E, la loi interne ∆
par X∆Y= ( ¯ X∩Y)∪(¯ Y∩X)(∆est la différence symétrique). Montrer que
(P(E),∆) est un groupe (on admettra que ∆est associative).
4 Sous-groupe
Montrer que si Hest une partie non vide de G,Hsous-groupe de Gssi
∀x,y ∈H,xy−1∈H
5 Sous-groupe engendré
Donner les sous-groupes de (Z,+) engendrés par {3,5}et {6,10}.
6 Ordre d’un élément
Soit Gun groupe dans lequel tout élément différent du neutre est d’ordre 2.
Montrer que Gest commutatif.
7 Ordre d’un groupe
Montrer que si l’ordre d’un groupe est un nombre premier, le groupe est
cyclique.
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8 Groupe quotient
Montrer qu’étant donné un groupe Get un morphisme fdéfini sur G, alors
Ker(f)est distingué dans G. En déduire que G/Ker(f)est un groupe pour la
loi ¯x.¯y= ¯x.y.
9 Groupe quotient (bis)
Si Gest un groupe de neutre e, déterminer G/G et G/{e}.
10 Groupe quotient (ter)
Soit Hle sous-groupe de Z/40Zengendré par ¯ 12 et ¯ 20
a. Montrer que Hest engendré par ¯ 4et trouver son ordre.
b. Déterminer l’ordre de ¯ 15 dans Z/40Z.
c. Caractériser les générateurs de Z/40Z. Montrer ce résultat pour les généra-
teurs de Z/nZ.
11 Produit direct de groupes
Soit G= (Z/2Z)×(Z/4Z)muni de l’opération (a,b) + (c,d) = (a+c,b +d).
a. Donner la liste des éléments de G et l’ordre de chacun d’entre eux. G est-il
cyclique?
b. Donner la liste des sous-groupes de G et en construire le treillis pour l’inclu-
sion.
12 Isomorphisme sur R
Quel isomorphisme bien connu existe entre R+(les réels positifs) muni de la
multiplication et Rmuni de l’addition? Quel est l’isomorphisme inverse?
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13 Sous-anneau
On appelle centre d’un anneau (A, +,.)l’ensemble C={x∈A|∀y∈Ax.y =
y.x}. Montrer que Cest un sous-anneau de A.
14 Théorème des restes chinois
Une bande de 17 pirates s’est emparée d’un butin composé de pièces d’or
d’égale valeur. Ils décident de se les partager également et de donner le reste
au cuisinier chinois. Celui-ci recevrait trois pièces. Mais les pirates se querellent
et six d’entre eux sont tués. Le cuisinier recevrait alors 4 pièces. Survient alors
un naufrage et seuls 6 pirates, le cuisinier et le trésor sont sauvés et le partage
laisserait 5 pièces d’or à ce dernier. Quelle est alors la fortune minimale que
peut espérer ce dernier s’il décide d’empoisonner le reste des pirates?
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