Chapitre n°7 : Les Probabilités. I.) Exemples d’expériences aléatoires et vocabulaire. On considère les expériences aléatoires suivantes : (1) On lance un dé parfaitement équilibré. (2) On tire une carte dans un jeu de 32 cartes à la belote. • • • Le résultat d’une expérience aléatoire est appelé issue ou éventualité. L’ensemble des éventualités est appelé « univers des possibles » souvent noté Ω. Un évènement est une partie de l’univers. Exemples : vocabulaire éventualité Univers Ω Evènement Expérience 1 Faire un 2 Ω = { 1;2;3;4;5;6} A : « obtenir un nombre pair » A = {2,4,6} A est constitué de 3 éventualités Expérience 2 Tirer un as de coeur Ω est constitué des 32 cartes B : « tirer un roi ». B est constitué de 4 éventualités Remarque : Un évènement constitué d’une seule issue est un évènement élémentaire. Par exemple dans l’expérience 1 , faire un 6 est un évènement élémentaire. L’événement contraire de A, noté A est l’ensemble des issues qui ne sont pas dans A. illustration : Intersection d’événements L’événement « A et B », noté A ∩ B, est réalisé si A et B sont réalisés en même temps. Ainsi, si A={1,2,3,4} et B = { 3,4,5} alors A ∩ B = { 3 ,4}. illustration : Événements incompatibles Deux événements sont incompatibles s’ils ne peuvent se réaliser en même temps: leur intersection est vide. Ainsi B ∩ C = ∅. Exemple faire un nombre pair et faire un nombre impair sont deux évènements incompatibles. Remarque : Les événements A et A sont incompatibles. Réunion d’événements L’événement « A ou B », noté A ∪ B, est réalisé si l’un au moins des deux événements est réalisé. Ainsi, si A={1,6,3,4} et B = { 3,4,5} alors A ∪ B = { 1,6,3,4,5}. illustration : II.) II.) Loi de probabilité et probabilité d’un évènement A. Modélisation. En statistiques un évènement a une fréquence. Exemple en lançant de façon répété une pièce de 1 euros : • Avec 50 lancers on obtient les fréquences suivantes : P F effectifs 22 28 fréquence 0,44 0,56 • Avec 1000 lancers on obtient les fréquences suivantes : P F effectifs 528 472 fréquence 0,528 0,472 • Avec 10000 lancers on obtient les fréquences suivantes : P F effectifs 5029 4971 fréquence 0,5029 0,4971 On constate que la fréquence semble tendre vers 1 pour pile et 1 pour face. Cette fréquence « idéale » correspond à notre idée intuitive de 2 2 probabilités. B. Définition : Soit Ω = { x 1 , x 2,… x n } un univers fini associé à une expérience. Définir une loi de probabilité sur Ω , c’est associer à chaque issue x i un nombre pi ∈ [0 ;1] de telle façon que : p1 +p 2+ p3 +…+ p n = 1 On dit que pi est la probabilités de l’issue x i . La probabilité d’un évènement est égale à la somme des probabilités des issues le constituant. Exemple : On lance un dé non truqué à six faces peintes ( une face est verte,une autre jaune, 2 faces sont rouges et 2 autres sont bleues). Déterminons la loi de probabilité puis calculons la probabilité des évènements suivants : E= {V,J} ; F = { J ,B} ; E ∩ F et E ∪ F . Issues x i Loi de probabilité : B J R V Probabilités 1 1 1 1 pi 6 6 3 3 D’ où P(E) = 1 + 6 1 = 1 6 3 P( F) = 1 + 1 = 1 6 3 2 et Comme E ∩ F = { J } alors P( E ∩ F ) = 1 6 Comme E ∪ F = { V ,J , B} . alors P( E ∪ F ) = 1 + 1 + 1 6 6 3 C. Loi des grands nombres Pour une expérience donnée, . dans le modèle = 2. 3 défini par une loi de probabilité P , les distributions des fréquences obtenues sur des séries de taille n ,se rapprochent de P quand n devient grand. III.) III.) a) Propriétés d’une probabilité. Probabilité de 2 évènements incompatibles : A ∩ B = ∅ (on dit qu’ils sont incompatibles) alors Soit A et B, 2 évènements tels que p ( A ∪ B) = p(A) + p(B). b) Probabilité de 2 évènements quelconques : P(A ∪ B) = p(A) + p(B) c) Probabilité de l’évènement contraire A – p(A ∩ B). : p( A )= 1 – p(A) IV.) Notion d’équiprobabilité • • Dans le cas où tous les évènements élémentaires ont chacun la même chance de se réaliser on dit qu’il y a équiprobabilité des évènements élémentaires. Autrement dit la loi de probabilité est équirépartie. Dans ce cas si A compte k issues et si l’univers Ω compte n issues alors , p(A) = k . n Autrement dit en situation d’équiprobabilité : p (A) = nombre de cas favorables à la réalisation de A . nombre de cas possibles au total