Exemples d`expériences aléatoires et vocabulaire. Loi de probabilité

Chapitre n°7 : Les Probabilités.
I
II
I.)
.).)
.) Exemples d’expériences aléatoires et vocabulaire.
On considère les expériences aléatoires suivantes :
(1) On lance un dé parfaitement équilibré.
(2) On tire une carte dans un jeu de 32 cartes à la belote.
• Le résultat d’une expérience aléatoire est appelé issue ou éventualité.
• L’ensemble des éventualités est appelé « univers des possibles » souvent noté Ω.
• Un évènement est une partie de l’univers.
Exemples :
vocabulaire Expérience 1 Expérience 2
éventualité Faire un 2 Tirer un as de coeur
Univers Ω Ω = { 1;2;3;4;5;6} Ω est constitué des 32 cartes
Evènement A : « obtenir un nombre pair »
A = {2,4,6}
A est constitué de 3 éventualités
B : « tirer un roi ».
B est constitué de 4 éventualités
Remarque : Un évènement constitué d’une seule issue est un évènement élémentaire. Par exemple dans l’expérience 1 ,
faire un 6 est un évènement élémentaire.
L’événement contraire de A, noté A est l’ensemble des issues qui ne sont pas dans A.
illustration :
Intersection d’événements
L’événement « A et B », noté A ∩ B, est réalisé si A et B sont réalisés en même temps.
Ainsi, si A={1,2,3,4} et B = { 3,4,5} alors A ∩ B = { 3 ,4}.
illustration :
Événements incompatibles
Deux événements sont incompatibles s’ils ne peuvent se réaliser en même temps: leur intersection est vide. Ainsi B ∩
C = ∅.
Exemple faire un nombre pair et faire un nombre impair sont deux évènements incompatibles.
Remarque : Les événements A et A sont incompatibles.
Réunion d’événements
L’événement « A ou B », noté A ∪ B, est réalisé si l’un au moins des deux événements est réalisé. Ainsi, si
A={1,6,3,4} et B = { 3,4,5} alors A ∪ B = { 1,6,3,4,5}.
illustration :
II
IIII
II.)
.).)
.) Loi de probabilité et probabilité d’un évènement
En statistiques un évènement a une fréquence. Exemple en lançant de façon répété une pièce de 1 euros :
• Avec 50 lancers on obtient les fréquences suivantes :
P F
effectifs 22 28
fréquence 0,44 0,56
• Avec 1000 lancers on obtient les fréquences suivantes :
P F
effectifs 528 472
fréquence 0,528 0,472
• Avec 10000 lancers on obtient les fréquences suivantes :
P F
effectifs 5029 4971
fréquence 0,5029 0,4971

On constate que la fréquence semble tendre vers 1
2 pour pile et 1 2 pour face. Cette fréquence « idéale » correspond à notre idée intuitive de
probabilités.
B. Définition : Soit
Ω = { x 1 , x 2,… x n } un univers fini associé à une expérience.
Définir une loi de probabilité sur Ω , c’est associer à chaque issue x i un nombre pi ∈ [0 ;1] de telle façon
que : p1 +p 2+ p3 +…+ p n = 1
On dit que pi est la probabilités de l’issue x i .
La probabilité d’un évènement est égale à la somme des probabilités des issues le constituant.
Exemple : On lance un dé non truqué à six faces peintes ( une face est verte,une autre jaune, 2 faces sont rouges
et 2 autres sont bleues).
Déterminons la loi de probabilité puis calculons la probabilité des évènements suivants :
E= {V,J} ; F = { J ,B} ; E ∩ F et E ∪ F .
Issues x i
Loi de probabilité :
Probabilités
pi1
3 1
61
3 1
6
D’ où P(E) = 1
6 + 1 6 = 1 3 et P( F) = 1 6 + 1 3 = 1 2 .
Comme E ∩ F = { J } alors P( E ∩ F ) = 1
6 .
Comme E ∪ F = { V ,J , B} alors P( E ∪ F ) = 1
6 + 1
6 + 1 3 = 2 3.
III
IIIIII
III.)
.).)
.) Propriétés d’une probabilité.
Soit A et B, 2 évènements tels que A
∩ B = ∅ (on dit qu’ils sont incompatibles) alors
p
( A ∪ B ) = p ( A ) + p ( B ) .
P(A∪B) = p(A) + p(B)p(A∩B).
A
p(A) = 1 p(A)
IV.) Notion d’équiprobabilité
• Dans le cas où tous les évènements élémentaires ont chacun la même chance de se réaliser on dit
qu’il y a équiprobabilité des évènements élémentaires.
Autrement dit la loi de probabilité est équirépartie.
• Dans ce cas si A compte k issues et si l’univers Ω compte n issues alors , p(A) = k
n .
Autrement dit en situation d’équiprobabilité :
p (A) = nombre de cas favorables à la réalisation de A
nombre de cas possibles au total .