pn - eDevoir

À partir de 2012, une association d’aide à la recherche médicale envoie
chaque année à Monsieur X un courrier pour l’inviter à l’aider
financièrement par un don.
Monsieur X a répondu favorablement en 2012 en envoyant un don.
On admet que chaque année à partir de 2013, la probabilité pour que
Monsieur X fasse un don est égale à :
– 0,9 s’il a fait un don l’année précédente ;
– 0,4 s’il n’a rien donné l’année précédente
On note En l’événement : « Monsieur X est donateur en 2013+n » et En
l’événement contraire de En.
On note pn la probabilité de En.
1) Traduire en termes de probabilités faisant intervenir E0 ,En ,En ,En+1,
les trois informations contenues dans l’énoncé.
2) Dans cette question, on se propose de calculer p1.
a) Écrire E1 comme réunion de deux événements incompatibles.
b) Calculer p(E1 ∩ E0).
c) Quelle est la probabilité pour que Monsieur X soit donateur en 2014 ?
3) En procédant comme dans la question 2, montrer que : pour tout n,
pn+1= 0,5 pn + 0,4.
4a) Quelle est la probabilité pour que Monsieur X soit donateur en 2015,
2016, 2017, 2018 ?
b) Quelle conjecture peut-on faire au sujet de la suite ( pn ) ?
5) On considère la suite (un) définie par : pour tout entier naturel n, un =
pn - 0,8.
a) Prouver que (un) est une suite géométrique dont on précisera le 1er
terme et la raison.
b) Exprimer un , puis pn en fonction de n.
c) Quelle est la limite de la suite ( pn ) ? Interpréter ce résultat