Des fonctions trigonométriques...à la dérive

Décombres d'une première S – Des fonctions trigonométriques...à la dérive - Un doc de Jérôme ONILLON distribué par la taverne de l'Irlandais
Une limite dont nous aurons besoin : celle de sin(h)/h en 0
Quelle est la limite lorsque h tend vers 0 (à gauche et à droite) du quotient
Ainsi, à droite de 0,
sin ( h )
h
sin ( h )
En application du théorème des gendarmes, nous en déduisons : lim
h
Commençons par lever cette indétermination à droite de 0.
Dans ce qui suit, h est un réel strictement positif et proche de 0
Pour trouver la limite qui nous intéresse,
appuyons sur la situation ci-contre M est le point du cercle trigonométrique
associé au réel positif h. Ses coordonnées sont
M ( cos ( h ) ;sin ( h ) ) .
h →0
0
.
0
est en 0 une forme indéterminée du type
Et par conséquent, la limite à droite de 0 de son inverse
Quant à la limite à gauche de 0 de
x =1
1
T
M
T est le point d'intersection de la droite (OM)
et de la première tangente au cercle
trigonométrique, c'est-à-dire la verticale
d'équation x = 1 . Ses coordonnées sont :
j
T (1; tan ( h ) ) .
h
Les projetés orthogonaux des points M et T
sur l'axe O; i ont pour coordonnées :
(
O
)
M ' ( cos ( h ) ; 0 )
T ' (1;0 )
Aire de la part
de disque T'OM
M'
1
Aire du triangle
OTT'
La part de disque T'OM correspond à un angle
au centre O de h radians. Le disque complet
correspond à un angle de 2π. Il a pour rayon 1.
Cette égalité est uniquement valable à
droite de 0, pour des "petits" réels
strictement positifs h.
⇒
h
est
h
=1
sin ( h )
1
= 1.
1
sin ( h )
, elle découle de l'imparité de la fonction sinus.
h
En effet, pour tout réel h = −t strictement négatif et proche de 0, nous pouvons écrire :
Car sinus est impaire
sin ( h ) sin ( −t ) − sin ( t ) sin ( t )
=
=
=
−t
−t
h
t
Lorsque h tend vers 0 par la gauche, t = −h tend vers 0 par la droite.
sin ( h ) sin ( t )
=
tend vers 1, d'après ce qui précède !
Donc la quantité
h
t
Finalement, nous concluons :
sin ( h )
lim
=1
h
h →0
Une autre limite utile : celle de (cos(h)-1)/h en 0
Quelle est la limite lorsque h tend vers 0 du quotient
cos ( h ) × sin ( h ) ≤ h ≤
sin ( h )
cos ( h )
h
1
≤
sin ( h ) cos ( h )
cos ( h ) ≤
On a divisé par le réel strictement positif sin ( h )
Lorsque h tend vers 0 par la droite, cos ( h ) tend vers cos ( 0 ) = 1 . Donc
1
aussi !
cos ( h )
cos ( h ) − 1
h
?
Lorsque h tend vers 0, cos ( h ) tend vers cos ( 0 ) = 1 .
Donc le numérateur tend vers cos ( h ) − 1 tend vers 0.
Par conséquent, le quotient
⇒
sin ( h )
+
T'
i
La part de disque T'OM contient le triangle OMM' et est contenue dans le triangle OTT'.
Donc, du point de vue des aires, on a la double inégalité suivante :
cos ( h ) × sin ( h ) h 1× tan ( h )
OM '× M 'M
OT '× OT
h
≤
× π× 12 ≤
⇔
≤ ≤
2
2π
2 2
2
2
Aire du triangle
OMM'
h
est coincée entre deux quantités qui tendent vers 1.
sin ( h )
?
Lorsque h tend vers 0, le numérateur sin ( h ) tend vers sin ( 0 ) = 0 .
Donc le quotient
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cos ( h ) − 1
h
0
.
0
est en 0 une forme indéterminée du type
Pour lever celle-ci, nous allons sur la limite qui vient d'être établie : lim
h →0
sin ( h )
h
= 1.
Pour tout réel h non nul et proche de 0, nous pouvons écrire :
− sin ( h ) ×
sin ( h )
=
− sin 2 ( h )
=
cos 2 ( h ) − 1
=
cos ( h ) − 1
h
h
h
h
Autrement dit, nous avons :
cos ( h ) − 1
sin ( h )
1
= − sin ( h ) ×
×
h
h
cos ( h ) + 1
× ( cos ( h ) + 1)
Décombres d'une première S – Des fonctions trigonométriques...à la dérive - Un doc de Jérôme ONILLON distribué par la taverne de l'Irlandais
Et là, nous somme en position de conclure. Sachant que :
sin ( h )
lim
=1
lim sin ( h ) = sin ( 0 ) = 0
lim cos ( h ) + 1 = cos ( 0 ) + 1 = 2
h
h →0
h →0
h →0
Alors il vient :
cos ( h ) − 1
sin ( h )
1
1
lim
= lim  − sin ( h )  ×
×
= −0 × 1× = 0
h
h
cos ( h ) + 1
2
h→0
h →0
Désormais nous saurons :
lim
cos ( h ) − 1
h→0
h
=0
La dérivée de la fonction sinus
La fonction sinus est définie sur tout entier. Voyons si elle y est aussi dérivable.
Soit a un réel quelconque.
Pour savoir si la fonction sinus est dérivable en a, nous devons déterminer la limite :
sin ( a + h ) − sin ( a )
lim
.
h
h→0
Pour tout réel h non nul, nous pouvons écrire :
sin ( a + h ) − sin ( a )
h
=
sin ( a + h )
sin ( a ) × cos ( h ) + cos ( a ) × sin ( h ) − sin ( a )
h
= cos ( a ) ×
Lorsque h tend vers 0, le quotient
sin ( h )
h
sin ( h )
h
+ sin ( a ) ×
tend vers 1 et
cos ( h ) − 1
h
cos ( h ) − 1
h
vers 0.
sin ( a + h ) − sin ( a )
s'en va vers cos ( a ) ×1 + sin ( a ) × 0 = cos ( a ) .
h
Par conséquent, la fonction sinus est dérivable en a et son nombre dérivé est cos ( a ) .
Donc le quotient
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La dérivée de la fonction cosinus
A l'instar de sa déphasée consoeur, la fonction cosinus est définie sur . Mais y est-elle
aussi dérivable ?
Soit a un réel quelconque. Pour tout réel non nul h, nous avons :
cos ( a + h ) − cos ( a ) cos ( a ) × cos ( h ) − sin ( a ) × sin ( h ) − cos ( a )
=
h
h
cos ( h ) − 1
sin ( h )
= cos ( a ) ×
− sin ( a ) ×
h
h
sin ( h )
cos ( h ) − 1
= 1 et lim
= 0 alors :
Comme lim
h
h
h →0
h →0
cos ( a + h ) − cos ( a )
lim
= cos ( a ) × 0 − sin ( a ) × 1 = − sin ( a )
h
h →0
Donc la fonction cosinus est dérivable en a et son nombre dérivé est − sin ( a ) .
Théorème : dérivabilité de la fonction cosinus
La fonction cosinus est dérivable sur et sa dérivée est l'opposé de la fonction sinus.
Pour tout réel a, ( cos ( a ) )′ = − sin ( a )
La dérivée de la fonction tangente
La fonction tangente peut être vue comme étant le quotient des fonctions sinus et cosinus.
Comme son dénominateur cosinus est parfois nul, tangente n'est pas toujours définie.
sin ( x )
π
Le quotient tan ( x ) =
n'existe pas ⇔ Son dénominateur cos ( x ) = 0 = cos  
cos ( x )
2
π
π
⇔ x = + k × 2π ou x = − + k × 2π
2
2
où k est un entier relatif quelconque.
L'ensemble de définition D tan de la fonction tangente est privé de tous les réels de la
π
π
+ k × 2π ou − + k × 2π où k est un entier relatif quelconque.
2
2
Comme sinus et cosinus sont dérivables sur donc sur D tan et que le dénominateur
cosinus est non nul sur cet ensemble, alors la fonction tangente est dérivable sur D tan .
Pour tout réel x ∈ D tan , nous pouvons écrire :
forme
Théorème : dérivabilité de la fonction sinus
La fonction sinus est dérivable sur et sa dérivée est la fonction cosinus.
Pour tout réel a, ( sin ( a ) )′ = cos ( a )
Plus simplement, tangente est définie sur l'ensemble privé de
tous les réels de la forme π/2+k×π où k est un entier relatif.
( tan ( x ) )′ =
( sin ( x ) )′ × cos ( x ) − ( cos ( x ) )′ × sin ( x ) = cos2 ( x ) + sin 2 ( x ) = 1
cos 2 ( x )
( cos ( x ) )2
( cos ( x ) )2