fonction-a-valeurs-complexes

Fonctions d’une variable réelle à valeurs dans
£
A. Généralités
Jusqu’en terminale vous avez étudié les fonctions d’une variable réelle à valeurs dans
¡
Découvrons les fonctions d’une variable réelle à valeurs dans
£
Soit
f
une fonction définie sur un intervalle
I
de
¡
à valeurs dans
£
( )
,x I f x" Î Î £
:
( ) ( ) ( )
Re Imf x f x i f x=+
Connaître la fonction
f
revient donc à connaître les deux fonctions d’une variable réelle
à valeurs dans
¡
:
( )
Re : Ref x f x Îa¡
et
( )
Im : Imf x f xa
 La fonction
f
est dite continue (ou de classe
0
C
sur
I
) si les fonctions
Re f
et
Im f
sont continues sur l’intervalle
I
 La fonction
f
est dite dérivable sur
I
si les fonctions
Re f
et
Im f
sont dérivables sur
l’intervalle
I
, et dans ce cas
( ) ( )( ) ( )( )
''
, ' Re Imx I f x f x i f x" Î = +
Exemple usuel :
Soit la fonction
: cos sin
ix
f x e x i x=+a
qui est définie sur
¡
Re cosf=
et
Im sinf=
sont dérivables sur
¡
donc la fonction
f
est dérivable sur
¡
Et on a :
( ) ( )
, ' sin cos cos sin ix x f x x i x i x i x ie" Î = - + = + =¡
On peut retenir que la fonction :
ix
xea
est dérivable sur
¡
et
( )
,ix
ix
de
x ie
dx
" Î =¡
Les règles de dérivation des fonctions à valeurs dans
£
sont les mêmes que celles des
fonctions à valeurs dans
¡
Si
f
et
g
sont deux fonctions à valeurs dans
£
et dérivables sur un intervalle
I
de
¡
Alors, pour tout complexe
a
, les fonctions
,,f g f f ga+´
sont dérivables sur
I
et on a
( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( )
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
'
'
'
, ' '
,'
, ' '
x I f g x f x g x
x I f x f x
x I f g x f x g x f x g x
aa
" Î + = +
" Î =
" Î ´ = ´ + ´
De plus si
( )
,0x I g x" Î ¹
, alors la fonction
f
g
est dérivable sur
I
et on a :
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
'
2
''
,f x g x f x g x
f
x I x
ggx
æö ´ - ´
÷
ç÷
" Î =
ç÷
ç÷
ç
èø

B. Théorème
1) Définition de l’exponentielle complexe
Soit
z
un nombre complexe. On définit alors
( ) ( )
Re Imz i z
z
e e e=´
2) Propriété
Pour tous complexes
z
et
'z
,
''z z z z
e e e
+=´
Démonstration :
Nous savons que (terminale) pour tous réels
x
et
'x
,
( )
'
'i x x ix ix
e e e + ´=
Posons
z a ib=+
et
' ' 'z a ib=+
avec
, , ', 'a b a b
réels
( ) ( )
( ') ' '
' ' ' ' ' ' '
a a i b b i b b
z z a a a a ib ib a ib a ib z z
e e e e e e e e e e e e
+ + + +
+ + + +
= = = = =
3) Théorème
Soit
j
une fonction à valeurs complexes définie sur un intervalle
I
Si la fonction
j
est dérivable sur
I
alors la fonction
( )
:x xe
j
F a
est dérivable sur
I
et on a :
( )
( )
( )
( )
( )
, ' '
x
x
de
x I x e x
dx
j
jj" Î F = = ´
Démonstration :
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
Re Im Re Im Re
, cosIm sinIm
x x i x x i x x
x I x e e e e e x i x
j j j j j j jj +
" Î F = = = ´ = ´ +
Soit
( )
( )
( )
( )
( )
Re Re
, cosIm sinIm
xx
x I x e x i e x
jj
jj" Î F = +
F
est dérivable sur
I
comme produits et somme de fonctions dérivables sur
I
et on a :
( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
Re Re
Re Im
, ' cos(Im ) sin(Im )
xx
d x d x
x I x e x x e
dx dx
jj
jj
jj" Î F = - +
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
Re Re
Re Im
sin(Im ) cos(Im )
xx
d x d x
i e x e x
dx dx
jj
jj
jj
éù
êú
+
êú
êú
ëû
DAMNED !
Soit
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
Re Im Re Im
Re Im
,x i x x i x
d x d x
x I x e e i e e
dx dx
j j j j
jj
" Î F = +
Finalement
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
Re Im
, ( ) '
x x x
d x d x dx
x I x e i e e x
dx dx dx
j j j
jjjj" Î F = + = =
EXERCICES :
Calculer les dérivées des fonctions :
1)
2
:ix f x ea
2)
:ix
e
f x ea
3)
:ix f x ew a
, où
wÎ ¡