fonction-a-valeurs-complexes

Fonctions d’une variable réelle à valeurs dans £
A. Généralités
Jusqu’en terminale vous avez étudié les fonctions d’une variable réelle à valeurs dans ¡
Découvrons les fonctions d’une variable réelle à valeurs dans £
Soit f une fonction définie sur un intervalle I de ¡ à valeurs dans £
" x Î I , f (x)Î £ : f (x)= Re f (x)+ i Im f (x)
Connaître la fonction f revient donc à connaître les deux fonctions d’une variable réelle
à valeurs dans ¡ : Re f : x a Re f (x)Î ¡ et Im f : x a Im f (x)
 La fonction f est dite continue (ou de classe C 0 sur I ) si les fonctions Re f et Im f
sont continues sur l’intervalle I
 La fonction f est dite dérivable sur I si les fonctions Re f et Im f sont dérivables sur
'
'
l’intervalle I , et dans ce cas " x Î I , f '(x)= (Re f )(x)+ i (Im f )(x)
Exemple usuel :
Soit la fonction f : x a eix = cos x + i sin x qui est définie sur ¡
Re f = cos et Im f = sin sont dérivables sur ¡ donc la fonction f est dérivable sur ¡
Et on a : " x Î ¡ , f '(x)= - sin x + i cos x = i (cos x + i sin x)= ieix
On peut retenir que la fonction : x a eix est dérivable sur ¡ et " x Î ¡ ,
d (eix )
dx
= ieix
Les règles de dérivation des fonctions à valeurs dans £ sont les mêmes que celles des
fonctions à valeurs dans ¡
Si f et g sont deux fonctions à valeurs dans £ et dérivables sur un intervalle I de ¡
Alors, pour tout complexe a , les fonctions f + g , a f , f ´ g sont dérivables sur I et on a
'
" x Î I ,( f + g ) (x)= f '(x)+ g '(x )
'
" x Î I ,(a f ) (x)= a f '(x)
'
" x Î I ,( f ´ g ) (x)= f '(x)´ g (x)+ f (x)´ g '(x)
De plus si " x Î I , g (x)¹ 0 , alors la fonction
'
æf ö
f '(x)´ g (x )- f (x )´ g '(x )
÷
" x Î I ,çç ÷
2
÷ (x) =
çè g ø
÷
(g (x))
f
est dérivable sur I et on a :
g
B. Théorème
1) Définition de l’exponentielle complexe
Soit z un nombre complexe. On définit alors e z = eRe(z) ´ ei Im(z)
2) Propriété
Pour tous complexes z et z ' , e z + z ' = e z ´ e z '
Démonstration :
Nous savons que (terminale) pour tous réels x et x ' , eix ´ eix ' = ei(x+ x ')
Posons z = a + ib et z ' = a '+ ib ' avec a, b, a ', b ' réels
e z + z ' = e( a+ a ')+ i(b+ b ') = ea+ a 'ei(b+ b ') = ea ea 'eib eib ' = ea+ ib e a '+ ib ' = e z e z '
3) Théorème
Soit j une fonction à valeurs complexes définie sur un intervalle I
Si la fonction j est dérivable sur I alors la fonction F : x a ej (x) est dérivable sur I et on a :
" x Î I , F '(x)=
( ) = e ( )´ j
d ej (x)
j x
dx
'(x)
Démonstration :
" x Î I , F (x)= ej (x) = eRej (x)+ i Imj (x) = eRej (x) ´ ei Imj (x) = eRej (x) ´ (cosImj (x)+ i sin Imj (x))
Soit " x Î I , F (x)= eRe j (x) cos Im j (x)+ i eRej (x) sin Im j (x)
F est dérivable sur I comme produits et somme de fonctions dérivables sur I et on a :
" x Î I , F '(x)=
d (Re j (x))
d (Im j (x))
eRej (x) cos(Im j (x)) -
sin(Im j (x))eRej (x) +
dx
dx
éd (Re j (x ))
ù
d (Im j (x ))
i êê
e Re j (x) sin(Im j (x )) + e Re j (x)
cos(Im j (x ))ú
ú DAMNED !
dx
dx
êë
ú
û
d (Re j (x))
Soit " x Î I , F (x)=
dx
eRe j (x)ei Im j (x) + i
Finalement " x Î I , F (x)= ej (x) (
d (Re j (x))
dx
EXERCICES :
Calculer les dérivées des fonctions :
1) f : x a eix
2) f : x a ee
2
ix
3) f : x a eiwx , où w Î ¡
d (Im j (x))
+i
dx
eRej (x)ei Im j (x)
d (Im j (x))
dj (x)
) = ej (x)
= ej (x)j '(x)
dx
dx