Principaux résultats de dérivation Terminale S Dérivées des

Principaux résultats de dérivation
Terminale S
Dérivées des fonctions usuelles
fonction f
f (x) = k (k constante)
f (x) = x
f (x) = x2
f (x) = x3
f (x) = xn (n entier >0)
1
f (x) =
x
1
f (x) = 2
x
1
f (x) = n (n entier >0)
x
√
f (x) = x
f (x) = sin x
f (x) = cos x
f (x) = |x|
dérivée f 0
f 0 (x) = 0
f 0 (x) = 1
f 0 (x) = 2x
f 0 (x) = 3x2
f 0 (x) = nxn−1
1
f 0 (x) = − 2
x
2
f 0 (x) = − 3
x
n
f 0 (x) = − n+1
x
1
f 0 (x) = √
2 x
f 0 (x) = cos x
f(0 (x) = − sin x
f 0 (x) = 1
si x > 0
f 0 (x) = −1 si x < 0
Domaine de dérivabilité
R
R
R
R
R
]−∞ ; 0[ ou ]0 ; +∞[
]−∞ ; 0[ ou ]0 ; +∞[
]−∞ ; 0[ ou ]0 ; +∞[
]0 ; +∞[
R
R
]−∞ ; 0[ ou ]0 ; +∞[
Opérations sur les fonctions dérivées
Opération
Dérivée
Somme de deux fonctions
Multiplication par une constante
Produit de deux fonctions
u+v
ku
uv
u0 + v 0
ku0
0
u v + uv 0
Inverse d’une fonction
1
v
Quotient de deux fonctions
u
v
−
v0
v2
u0 v − uv 0
v2
Conditions
d’utilisation
u et v dérivables sur I
u dérivable sur I
u et v dérivables sur I
u et v dérivables sur I
Pour tout x ∈ I, v (x) 6= 0
u et v dérivables sur I
Pour tout x ∈ I, v (x) 6= 0
Dérivée d’une fonction composée
Théorème : Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I et g une fonction dérivable sur un intervalle J
telles que, pour tout x ∈ I, f (x) ∈ J/
Alors la fonction h définie par h (x) = g ◦ f (x) = g (f (x)) est dérivable sur I et, pour tout x ∈ I :
h0 (x) = f 0 (x) × g 0 (f (x))
Quelques cas particuliers importants :
Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I.
0
– La fonction cos u est dérivable sur I et (cos u) = −u0 sin u.
0
– La fonction sin u est dérivable sur I et (sin u) = u0 cos u.
0
– Pour tout entier naturel n non nul, la fonction un est dérivable sur I et (un ) = nu0 un−1 .
0
1
1 0
– Si pour tout x ∈ I, u (x) 6= 0, La fonction un est dérivable sur I et un = − unu
n+1 .
√
√ 0
0
– Si pour tout x ∈ I, u (x) > 0, La fonction u est dérivable sur I et ( u) = 2u√u .