Mouvement d`une particule de masse variable

Ecole Doctorale
d’Astronomie et d’Astrophysique
d’Ile de France
Examen de Gravitation
D´ecembre 2007
dur´ee 3H00
Les notes de cours et le livre du cours sont autoris´es
Mouvement d’une particule
de masse variable
dans un potentiel gravitationnel stationnaire
Ce sujet a ´et´e con¸cu sp´ecialement pour cette occasion par le professeur de ce cours J. Perez
Vous pouvez en obtenir une correction en lui ´ecrivant

Examen donn´e au Master 2 d’Astronomie & Astrophysique en Janvier 2007
Soit Run r´ef´erentiel galil´een d’origine O. Une particule test de masse m, rep´er´ee par le vecteur
−−→
Om =−→ r, ´evolue sous l’influence gravitationnelle d’une r´epartition massive Sde masse totale finie
M, `a sym´etrie sph´erique et de densit´e ρ. On suppose a priori que mest une fonction du temps tet
de la distance r=|−→ r|, soit m=m(r, t).
1. Ecrire l’´equation du mouvement v´erifi´ee par le vecteur −→ r.
Indication : On supposera d’une part, que la particule test ne modifie pas la r´epartition massive
Set d’autre part, que la force qui lui est impos´ee d´erive en totalit´e de l’´energie potentielle
U=mψ o`u ψest le potentiel gravitationnel associ´e `a ρ.
2. Dans quelles conditions sur la fonction m(r, t), le lagrangien de la particule est-il donn´e par la
relation
L=1
2md−→
r
dt 2
−mψ ?
3. V´erifier que, dans le cas k´epl´erien o`u ρk=M δ (−→ r), on retrouve bien l’´equation de Newton
d2−→ r
dt2=−GM r2
−→
r
r
4. Quelles sont les grandeurs conserv´ees au cours du mouvement dans les cas m=m(r, t), m=
m(r), m=m(t) et m=cste ?
5. On suppose maintenant que m=moe−t/τ o`u moet τsont deux r´eels strictement positifs. On
suppose de plus qu’`a t= 0, la particule se trouve `a l’int´erieur de la r´epartition Sque l’on
suppose homog`ene, c’est-`a-dire telle que ρ=cste = 3ω2(4πG)−1o`u ωest une constante r´eelle
et Gla constante de Newton.
(a) Montrer que la r´epartition de masse `a densit´e constante est forc´ement limit´ee `a un certain
rayon rhque l’on d´eterminera.
(b) D´eterminer le potentiel gravitationnel qui r`egne `a l’int´erieur de cette r´egion.
(c) Montrer que, quelles que soient les valeurs de τ, mo, ω et de la vitesse initiale, il existe un
temps fini tmpour lequel la particule quitte la r´egion `a densit´e constante.
Indication : on pourra ´etudier le comportement des solutions en coordonn´ees cart´esiennes
dans un plan judicieux - On ne demande pas la valeur explicite de tm.
(d) Interpr´eter physiquement ce r´esultat.
Formulaire
Pour une fonction radiale telle que ϕ(−→ r) = ϕ(r) avec −→ r∈R3,on rappelle les identit´es bien
connues
grad (ϕ(r)) = dϕ
dr
−→
r
ret div (grad (ϕ(r))) = ∆ϕ=1 r2
d
dr r2dϕ dr 
2