L G L G MECA0003-2 - M ÉCANIQUE R ATIONNELLE Prof. Éric J.M.DELHEZ Exercice 5 Une particule P de masse m se déplace sans frottement dans le champ de la pesanteur sur une courbe plane verticale dont l’équation en coordonnées polaires est r = 2a cos θ (où θ est mesuré par rapport à l’horizontale). La courbe tourne à vitesse angulaire constante Ω autour d’un axe vertical Ez passant par l’origine O des coordonnées polaires et pointant vers le haut. De plus, la particule est soumise de la part du point O à une force centrale attractive F = −mΩ2 r er (où r est la distance entre O et P). On demande : i. le relevé des forces agissant sur P avec leurs caractéristiques (force appliquée, force de liaison, force conservative, ...) ; ii. l’équation différentielle vectorielle du mouvement de la particule P exprimée dans des axes absolus ; iii. l’équation différentielle vectorielle du mouvement de la particule exprimée dans les axes liés à la courbe ; iv. une intégrale première scalaire du mouvement et son interprétation physique éventuelle ; v. de transformer cette dernière grâce au changement de variable τ = ωt (où ω 2 = g/a) et en posant n = Ω/ω ; vi. de déterminer les positions d’équilibre et leur stabilité par la méthode de son choix en fonction du paramètre n. Réponses : i. ... ii. ms̈ = mg + Rν + Rβ − mΩ2 s Rν + Rβ δs δ2 s + 2Ω ∧ + (Ω · s)Ω = g + δt 2 δt m 2 2 2 2 2 2 iv. 2a θ̇ + 2a Ω sin θ cos θ + 2ag sin θ cos θ = c Il ne s’agit pas de la conservation de l’énergie car la force de liaison Rβ développe une puissance non nulle. 2 dθ 1 n2 v. +V (θ) = C où V (θ) = sin2 (2θ) + sin(2θ) dτ 4 2 iii. vi. • 0 < n2 ≤ 1 : θ = π/4 instable, θ = −π/4 stable • n2 > 1 : θ = π/4 instable, θ = −π/4 instable, θ = [− arcsin(1/n2 )]/2 stable, θ = [−π + arcsin(1/n2 )]/2 stable