a l`Analyse Parcours PEIP Planche 1

Aix–Marseille Universit´e -
Introduction `a l’Analyse
Parcours PEIP
Planche 1 - Logique, applications et fonctions usuelles
Exercice 1.
1. En posant les notations n´ecessaires, traduire en langage math´ematique l’affirmation suivante :
“Toutes les voitures du parking de l’universit´e sont rouges”
puis ´ecrire sa n´egation.
2. Ecrire la n´egation de “∀a∈A, ∃b∈B, a +b∈B”.
3. Soit x∈Rtel que ∀ε > 0,|x|< ε. Donner, en la justifiant, la valeur de x.
Exercice 2.
Soit f:A→Bune application. Ecrire en langage math´ematique :
1. fn’est pas injective.
2. fn’est pas surjective.
Exercice 3.
Les fonctions suivantes sont-elles injectives, surjectives, bijectives ?
f:N→N
n7→ n+ 1 g:Z→Z n7→ n+ 1
h:R\ {1} → R
x7→ x+1
x−1
k:R2→R2
(x, y)7→ (x+y, x −y)
.
Exercice 4.
1. On consid`ere les applications suivantes :
f:N→R
n7→ 2n
n+1
g:N→N
n7→ 3nh:N→N n7→ n2+ 1
Lorsque ceci a un sens, donner l’expression de f◦g,g◦f,h◦g,g◦h.
2. On consid`ere les applications
f:R∗
+→R∗ +
x7→ 1
x
g:R∗
+→R
x7→ x−1
x+1
.
Montrer que g◦f=−g.

Exercice 5.
Soit A,Bet Ctrois ensembles, f:A→Bet g:B→Cdeux applications et on note h=g◦f:A→C
l’application compos´ee.
1. Montrer que si fet gsont injectives, alors hest injective.
2. Montrer que si fet gsont surjectives, alors hest surjective.
3. Montrer que si hest injective, alors fest injective.
4. Montrer que si hest surjective, alors gest surjective.
Exercice 6.
R´esoudre dans Rles ´equations suivantes
√xx=x√x22x+1 −3x= 3x+1 −22x.
Exercice 7.
1. Montrer que pour tout x, y > 0, on a √xy ≤x+y
2.
2. En d´eduire que pour tout α, β > 1, on a pln(α) ln(β)≤ln √αβ.
Exercice 8.
1. Rappeler la d´efinition g´eom´etrique du cosinus et du sinus.
2. (a) Justifier g´eom´etriquement que cos(x+ 2π) = cos(x), cos(x+π) = −cos(x), cos(−x) = cos(x)
et cos π
2−x= sin(x) pour tout x∈R.
(b) En d´eduire que sin(x+ 2π) = sin(x), sin(x+π) = −sin(x), sin(−x) = −sin(x) et sin π
2−x=
cos(x) pour tout x∈R.
(c) D´eterminer l’ensemble des xtels que tan π
2−x=1 tan(x).
3. (a) Justifier g´eom´etriquement que cos(x−y) = cos xcos y+ sin xsin ypour tout x, y ∈R.
(b) En d´eduire cos(x+y), sin(x+y) et sin(x−y) en fonction de cos(x) et sin(y).
(c) En d´eduire tan(x+y) et tan(x−y) en fonction de tan(x) et tan(y) en pr´ecisant les valeurs de
xet yqui conviennent.
4. (a) Pour tout xqui convient, donner trois formules pour cos(2x) et sin(2x) en fonction de cos(x)
et sin(x) et une formule pour tan(2x) en fonction de tan(x).
5. Pour tous pet q, montrer les formules
cos p+ cos q= 2 cos p+q
2cos p−q 2,cos p−cos q=−2 sin p+q 2sin p−q 2,
sin p+ sin q= 2 sin p+q
2cos p−q 2,sin p−sin q= 2 sin p−q 2cos p+q 2
6. Montrer que, avec t= tan x
2et pour des valeurs de xque l’on pr´ecisera, on a
cos x=1−t2
1 + t2,sin x=2t 1 + t2,tan x=2t 1−t2.
2

Exercice 9.
D´eterminer les valeurs de x∈Rtelles que
1 + tan2x=1
cos2x.
Exercice 10.
R´esoudre les ´equations
cos 2x−5π
4= cos π 4−xcos 2x+π 3= sin x+3π 4
cos(2x) + √3 sin(2x) = −1 tan 3x= tan x
1 + cos(x) + cos(2x) + cos(3x) = 0 cos4(x) + sin4(x) = 1.
Exercice 11.
Soit x∈]0,π
2[. Dans le plan, on note Ol’origine, Al’intersection du cercle unit´e avec le demi-axe des
abscisses positives et Mle point du cercle unit´e tel que la demi-droite [OA) forme un angle de mesure
xavec le demi-axe des abscisses positives. On note encore Ble projet´e orthogonal de Msur l’axe des
abscisses et Cle point d’intersection de la droite (OM) avec la droite perpendiculaire `a l’axe des abscisses
et passant par A. En comparant l’aire du triangle OBM , l’aire de la portion de disque OAM et l’aire du
triangle OAC, montrez que
cos x≤sin x
x≤1 cos x.
Remarque : ces in´egalit´es seront utilis´ees dans la suite pour d´eduire la limite de sin x
xlorsque x→0.
Exercice 12.
Soient A, B ∈R. Montrer qu’il existe r∈R+et ϕ∈Rtels que
∀x∈R, A cos x+Bsin x=rcos(x−ϕ).
Exercice 13.
Donner les domaines de d´efinition maximale dans Rdes applications suivantes :
f:x7→ ln √xg:x7→ ln exp(x)
h:x7→ pcos(x)k:x7→ ln(x)sin(x)
Exercice 14.
1. Pour tout x, y ∈R, calculer cosh(x) cosh(y), sinh(x) sinh(y) et cosh(x) sinh(y).
2. En d´eduire des expressions de cosh(x+y), cosh(x−y), sinh(x+y) et sinh(x−y) en fonction de
cosh(x), sinh(x), cosh(y) et sinh(y).
3. En d´eduire des expressions pour cosh(x) + cosh(y), sinh(x) + sinh(y) et cosh(x) + sinh(y).
4. Montrer que, avec t= tanh x
2et pour des valeurs de xque l’on pr´ecisera, on a
cosh(x) = 1 + t2
1−t2,sinh(x) = 2t 1−t2,tanh(x) = 2t 1 + t2.
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