L2 Mathématiques Institut Galilée, 2016

L2 Mathématiques
Institut Galilée, 2016-2017
ALGÈBRE LINÉAIRE 2
Feuille 8, 15.11.2016
(Les exercies 8.1-2-3 sont tirés du contrôle de mi-semestre)
Exercice 8.1. On considère l’application R-linéaire h : R3 → R4 définie par
h(x, y, z) = (x − y − 2z, y + z, x − 2y − 3z, 2x − y − 3z) .
(a)
(b)
(c)
(d)
Soit Bn la base canonique de Rn . Déterminez la matrice {h}BB34 .
Déterminez une base de ker(h). Quelle est la dimension de ker(h)?
Déterminez une base de im(h). Quel est le rang de h?
Soit L ⊂ R3 un sous-espace supplémentaire de ker(h) dans R3 , donc un sous-espace avec
ker(h) ⊕ L = R3 . Soit k = h|L : L → R4 la restriction de h à L.
(1) Quelle est la dimension de L ?
(2) Montrez que im(k) = im(h);
(3) À l’aide du Théorème du Rang, démontrez que k est injective.
Exercice 8.2. Soit P2R le R-espace vectoriel des polynômes de degré ≤ 2, à coefficients réels. Si
a, b, c ∈ R, on peut associer au polynôme P (X) = aX 2 + bX + c dans P2R la fonction P : R → R
définie par x 7→ P (x) = ax2 + bx + c, pour tout x ∈ R. On considère l’application
ϕ : P2R → P2R , P (X) 7→ P (1) − P (0) X + P (0) .
(a)
(b)
(c)
(d)
Vérifiez que ϕ est R-linéaire.
Calculez la matrice {ϕ}CC , où C = {1, X, X 2 } est la base ordonnée monomiale de P2R .
Montrez que ϕ est un projecteur, c’est à dire que ϕ ◦ ϕ = ϕ.
Montrez que ϕ est la projection sur Vect{1, X} le long de Vect{X 2 − X}.
Exercice 8.3. Soient U et V deux K-espaces vectoriels, et W un sous-espace de U .
Soit f : U → V une application K-linéaire.
(a) Démontrez l’égalité f −1 f (W ) = W
+ ker(f ).
−1
(b) Déterminez une base de f
f (W ) lorsque U = V = R3 , W = Vect{(1, 0, 0)} et
f : R3 → R3 ,
f (x, y, z) = (x − y, y − z, z − x) .
(c) On reprend la même application f : R3 → R3 que ci-dessus. Posons a1 = (1, 0, 0) et
a2 = (0, 1, 0). Trouvez des vecteurs a3 , b1 , b2 et b3 ∈ R3 tels que A = {a1 , a2 , a3 } et
B = {b1 , b2 , b3 } soient des bases de R3 pour lesquelles on ait


1 0 0
0 1 0 .
{f }A
B =
0 0 0
Exercice 8.4. Soit V un K-espace vectoriel de dimension n ∈ N, n ≥ 1, et soit ϕ : V → V
une application K-linéaire avec ϕn−1 6= 0 et ϕn = 0. Soit x ∈ V avec ϕn−1 (x) 6= 0.
(a) Montrer que B = {x, ϕ(x), . . . , ϕn−1 (x)} est une base de V .
(b) Déterminez les matrices {ϕ}BB , {ϕ2 }BB ,. . . ,{ϕn }BB .
Suite au verso −→
2
Exercice 8.5. Soit V = Vect(h1 , h2 ) ⊂ F(R, R) le sous-espace vectoriel sur R engendré par les
fonctions h1 , h2 : R → R, définies par h1 (x) = e2x et h2 (x) = xe2x pour tout x ∈ R.
(a) Vérifiez que B = {h1 , h2 } est une base ordonnée de V .
(b) Montrez que la dérivation des fonctions se restreint en une application
D : V → V, f 7→ D(f ) = f 0
qui est R-linéaire. Calculez la matrice {D}BB .
(c) Montrez que pour tout f ∈ V , il existe une unique fonction g ∈ V avec D(g) = f .
Exercice 8.6. On considère C munit de sa structure de R-espace vectoriel, et soit c : R2 → C
l’isomorphisme de R-espaces vectoriels défini par c(1, 0) = 1 et c(0, 1) = i. Pour α ∈ R, soit
eiα = cos(α) + i sin(α) ∈ C, et soit mα : C → C définie par z 7→ eiα z. On définit la rotation
rα : R2 → R2 d’angle α ∈ R autour de l’origine comme application R-linéaire rα = c−1 ◦ mα ◦ c.
(b) Montrez que mα est R-linéaire, et déduisez-en que rα est R-linéaire.
(a) Si B est la base canonique de R2 , déterminez la matrice Mα = {rα }BB .
(b) Justifiez pourquoi on a Mα+β = Mα Mβ , ceci étant équivalent aux formules pour calculer
cos(α + β) et sin(α + β) en terme de cos(α), cos(β), sin(α) et sin(β).
(c) Montrez que rα ∈ Aut(R2 ), et Mα ∈ GL2 (R). Que peut-on dire des aplications
r : R → Aut(R2 ), α 7→ rα et
M : R → GL2 (R), α 7→ Mα ?