L2 Mathématiques Institut Galilée, 2016

L2 Mathématiques Institut Galilée, 2016-2017
ALGÈBRE LINÉAIRE 2
Feuille 8, 15.11.2016
(Les exercies 8.1-2-3 sont tirés du contrôle de mi-semestre)
Exercice 8.1. On considère l’application R-linéaire h:R3→R4définie par
h(x, y, z) = (x−y−2z, y +z, x −2y−3z, 2x−y−3z).
(a) Soit Bnla base canonique de Rn. Déterminez la matrice {h}B3
B4.
(b) Déterminez une base de ker(h). Quelle est la dimension de ker(h)?
(c) Déterminez une base de im(h). Quel est le rang de h?
(d) Soit L⊂R3un sous-espace supplémentaire de ker(h)dans R3, donc un sous-espace avec
ker(h)⊕L=R3. Soit k=h|L:L→R4la restriction de hàL.
(1) Quelle est la dimension de L?
(2) Montrez que im(k) = im(h);
(3) À l’aide du Théorème du Rang, démontrez que kest injective.
Exercice 8.2. Soit PR
2le R-espace vectoriel des polynômes de degré ≤2, à coefficients réels. Si
a, b, c ∈R, on peut associer au polynôme P(X) = aX2+bX +cdans PR
2la fonction P:R→R
définie par x7→ P(x) = ax2+bx +c, pour tout x∈R. On considère l’application
ϕ:PR
2→ PR 2, P (X)7→ P(1) −P(0)X+P(0) .
(a) Vérifiez que ϕest R-linéaire.
(b) Calculez la matrice {ϕ}C
C, où C={1, X, X2}est la base ordonnée monomiale de PR
2.
(c) Montrez que ϕest un projecteur, c’est à dire que ϕ◦ϕ=ϕ.
(d) Montrez que ϕest la projection sur Vect{1, X}le long de Vect{X2−X}.
Exercice 8.3. Soient Uet Vdeux K-espaces vectoriels, et Wun sous-espace de U.
Soit f:U→Vune application K-linéaire.
(a) Démontrez l’égalité f−1f(W)=W+ ker(f).
(b) Déterminez une base de f−1f(W)lorsque U=V=R3,W= Vect{(1,0,0)}et
f:R3→R3, f(x, y, z) = (x−y, y −z, z −x).
(c) On reprend la même application f:R3→R3que ci-dessus. Posons a1= (1,0,0) et
a2= (0,1,0). Trouvez des vecteurs a3,b1,b2et b3∈R3tels que A={a1, a2, a3}et
B={b1, b2, b3}soient des bases de R3pour lesquelles on ait
{f}A
B=
1 0 0
0 1 0
0 0 0
.
Exercice 8.4. Soit Vun K-espace vectoriel de dimension n∈N,n≥1, et soit ϕ:V→V
une application K-linéaire avec ϕn−16= 0 et ϕn= 0. Soit x∈Vavec ϕn−1(x)6= 0.
(a) Montrer que B={x, ϕ(x), . . . , ϕn−1(x)}est une base de V.
(b) Déterminez les matrices {ϕ}B
B,{ϕ2}B B,. . . ,{ϕn}B B.
Suite au verso −→

2
Exercice 8.5. Soit V= Vect(h1, h2)⊂ F(R,R)le sous-espace vectoriel sur Rengendré par les
fonctions h1, h2:R→R, définies par h1(x) = e2xet h2(x) = xe2xpour tout x∈R.
(a) Vérifiez que B={h1, h2}est une base ordonnée de V.
(b) Montrez que la dérivation des fonctions se restreint en une application
D:V→V, f 7→ D(f) = f0
qui est R-linéaire. Calculez la matrice {D}B
B.
(c) Montrez que pour tout f∈V, il existe une unique fonction g∈Vavec D(g) = f.
Exercice 8.6. On considère Cmunit de sa structure de R-espace vectoriel, et soit c:R2→C
l’isomorphisme de R-espaces vectoriels défini par c(1,0) = 1 et c(0,1) = i. Pour α∈R, soit
eiα =cos(α) + isin(α)∈C, et soit mα:C→Cdéfinie par z7→ eiαz. On définit la rotation
rα:R2→R2d’angle α∈Rautour de l’origine comme application R-linéaire rα=c−1◦mα◦c.
(b) Montrez que mαest R-linéaire, et déduisez-en que rαest R-linéaire.
(a) Si Best la base canonique de R2, déterminez la matrice Mα={rα}B
B.
(b) Justifiez pourquoi on a Mα+β=MαMβ, ceci étant équivalent aux formules pour calculer
cos(α+β)et sin(α+β)en terme de cos(α),cos(β),sin(α)et sin(β).
(c) Montrez que rα∈Aut(R2), et Mα∈GL2(R). Que peut-on dire des aplications
r:R→Aut(R2), α 7→ rαet
M:R→GL2(R), α 7→ Mα?