BTS IRIS 2006 avec corrigé.

Sujet Gr A IRIS 2006
Mathématiques 3h
Épreuve de Mathématiques
La clarté des raisonnements et la qualité de la rédaction interviendront
pour une part importante dans l’appréciation des copies.
L’usage d’un instrument de calcul et du formulaire officiel de
mathématiques est autorisé.
Exercice 1
11 points
Le but de cet exercice est d’étudier quelques propriétés d’un filtre numérique N et de
comparer les effets de ce filtre à ceux d’un filtre analogique A.
Partie I
On rappelle que tout signal discret causal est nul tour tout nombre entier strictement négatif.
Soient x(n) et y(n) les termes généraux respectifs de deux signaux discrets causaux représentant
respectivement, l’entrée et la sortie du filtre numérique N .
Ce filtre est conçu de telle sorte que, pour tout nombre entier n positif ou nul, on a :
y(n) − y(n − 2) = 0, 04 x(n − 1)
1)
On note Zx et Zy les transformée en Z respectives des signaux causaux x et y.
Montrer que, pour tout nombre complexe z différent de −1 et 1, on a :
(Zy)(z) =
2)
0, 04 z
(Zx)(z)
(z − 1)(z + 1)
On suppose que le signal d’entrée est l’échelon unité discret :
(
e(n) = 0 si n < 0,
x(n) = e(n)
avec
e(n) = 1 si n > 0.
a)
Montrer que, pour tout nombre complexe z différent de −1 et 1, on a :
(Zy)(z) =
b)
0, 04 z 2
(z − 1)2 (z + 1)
calculer les constantes réelles A, B et c telles que :
0, 04 z
A
B
C
=
+
+
2
2
(z − 1) (z + 1)
(z − 1)
z−1 z+1
♣ ♥♠
♦
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Sujet Gr A IRIS 2006
c)
Mathématiques 3h
En remarquant que :
(Zy)(z)
0, 04 z
=
z
(z − 1)2 (z + 1)
montrer que pour tout nombre entier n positif ou nul, on a :
y(n) = 0, 02 n + 0, 01 1 − (−1)n
d)
Déterminer y(2k) puis y(2k + 1) pour tout nombre entier naturel k.
e)
En déduire que, pour tout nombre entier naturel k, on a :
y(2k + 1) = y(2k + 2)
f ) Représenter graphiquement les termes du signal causal y lorsque le nombre entier n
est compris entre −2 et 5.
Partie II
(
On rappelle que la fonction échelon unité est définie par : U :
U(t) = 0 si t < 0
U(t) = 1 si t > 0
Soit la fonctionf définie pour tout nombre réel t par :
f (t) = sin(20 t) U(t)
On note F la transformée de Laplace de la fonction f . Le signal de sortie du filtre analogique
A est représenté par la fonction s dont la transformée de Laplace S est telle que :
S(p) =
1)
F (p)
p
Justifier que, pour tout nombre réel t positif ou nul, on a :
Z t
s(t) =
f (u)du
0
2)
En déduire que, pour tout nombre réel t positif ou nul, on a :
s(t) =
3)
1 − cos(20 t)
20
Donner sans justification la valeur maximale et la valeur minimale de la fonction s.
4) Tracer, sur le graphique du document réponse, l’allure de la courbe représentative de la
fonction s. Il n’est pas demandé d’étudier la fonction s.
La figure du document réponse montre une simulation du résultat obtenu en sortie du
filtre numérique soumis à une version échantillonnée de la fonction f , lorsque la période
d’échantillonnage est de 0, 02.
♣ ♥♠
♦
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Sujet Gr A IRIS 2006
Mathématiques 3h
Exercice 2
(9 points)
Les partie A et B sont indépendantes.
Partie A
Soient α et β deux nombres réels.
Soit f une fonction périodique de période 1, définie sur l’intervalle [0; 1[ par :
On appelle a0 , an et bn les coefficients de Fourier associés à la fonction f .
1)
Montrer que :
2)
Montrer que :
On admet que :
a0 =
f (t) = α t+β
α
+β
2
α
pour tout nombre entier naturel n non nul.
bn = −
nπ
an = 0 pour tout nombre entier naturel n non nul.
3)
On se propose de déterminer les nombres réels α et β pour que le développement S en
+∞
X
1
série de Fourier de la fonction f soit défini pour tout réel t par : S(t) =
sin(2nπt)
n
n=1
1
a) Déterminer les nombres réels α et β tels que a0 = 0 et bn =
pour tout entier
n
naturel n non nul.
En déduire l’expression de la fonction f .
b)
Représenter la fonction f sur l’intervalle [−2; 2] dans un repère orthogonal.
Partie B
On veut résoudre l’équation différentielle :
s00 (t) + s(t) = f (t)
On admet que l’on obtient une bonne approximation de la fonction s en remplaçant f (t)
par les premiers termes du développement en série de Fourier de la fonction f obtenue dans a
partie A, c’est à dire par :
1
sin(2πt) + sin(4πt)
2
Soit (E) l’équation différentielle :
s00 (t) + s(t) = sin(2πt) +
1)
1
sin(4πt)
2
Vérifier que la fonction s1 définie pour tout réel t par :
s1 (t) =
1
1
sin(2πt) +
sin(4πt)
2
1 − 4π
2(1 − 16π 2 )
est solution de l’équation différentielle (E).
2)
♣ ♥♠
♦
Résoudre l’équation différentielle (E).
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Mathématiques 3h
Document à rendre avec la copie
♣ ♥♠
♦
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Mathématiques 3h
Corrigé de l’Épreuve de Mathématiques
Exercice 1
(11 points)
Partie I
y(n) − y(n − 2) = 0, 04 x(n − 1)
1)
On applique à l’équation la transformée en Z :
(Zy)(z) − z −2 (Zy)(z) = 0.04 z −1 (Zx)(z)
(1 − z −2 ) (Zy)(z) = 0.04 z −1 (Zx)(z)
0.04 z −1
(Zy)(z) =
(Zx)(z)
1 − z −2
0.04 z
(Zx)(z)
(Zy)(z) = −2
z −1
2)
Si
x(n) = e(n)
a)
Et donc :
b)
Par identification :
(Zy)(z) =
0.04 z
(Zx)(z)
(z − 1)(z + 1)
alors :
(Zx)(z) =
(Zy)(z) =
z
z−1
0.04 z 2
(z − 1)2 (z + 1)
0.04 z
A
B
C
+
=
+
2
2
(z − 1) (z + 1)
(z − 1)
(z − 1) (z + 1)
A(z + 1) + B(z 2 − 1) + C(z − 1)2
=
(z − 1)2 (z + 1)
(B + C)z 2 + (A − 2C)z + (A − B + C)
=
(z − 1)2 (z + 1)


C = 0
A −
2C = 0, 04

A − B + C = 0
♣ ♥♠
♦
B +


A = −2C
B = −C

−4C = 0, 04
1/4

0, 02
 A =
B =
0, 01

C = −0, 01
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c)
Mathématiques 3h
(Zy)(z)
0.04 z
0, 02
0, 01
0, 01
=
=
−
+
2
2
z
(z − 1) (z + 1)
(z − 1)
(z − 1) (z + 1)
donc :
0, 01 z
0, 02 z
0, 01 z
−
+
2
(z − 1)
(z − 1) (z + 1)
(Zy)(z) =
y(n) = 0, 02 n + 0, 01 − 0, 01(−1)n = 0, 02 n + 0, 01(1 − (−1)n )
d)
y(2k) = 0, 02(2k) = 0, 04k
e)
y(2k + 1) = 0, 02(2k + 2) = 0, 04k + 0, 04
y(2k + 2) = y(2(k + 1)) = 0, 04(k + 1) = 0, 04k + 0, 04 = y(2k + 1)
y(n)
•
0,12
f)
•
0,8
Figure :
•
0,4
•
−3
•
−2
•
−1
•
•
•
n
•
0
1
2
3
4
5
6
Partie II
f (t) = sin(20t)U(t)
S(p) =
F (p)
p
Z
1)
On voit dans le formulaire que :
S(t) =
t
f (u)du
0
2)
En calculant cette intégrale :
Z
t
S(t) =
sin(20u)du
t
− cos(20u)
=
20
0
0
S(t) =
3)
♣ ♥♠
♦
On sait que :
−1 6 cos(20t) 6 1
1 − cos(20t)
20
donc :
2/4
0 6 S(t) 6 0, 1
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4)
Mathématiques 3h
On complète la figure du document à rendre avec la copie :
Exercice 2
(9 points)
Partie A
1)
2)
bn
Calcul de :
1
a0 =
1
Z
0
1
αt2
(αt + β)dt =
+ βt
2
=(
0
α
+ β) − (0)
2
a0 =
α
+β
2
du = αdt
Calcul de bn en intégrant par parties :
cos(2nπt)dt
v=−
2nπ
!
1
Z 1
Z 1
cos(2nπt)dt
α
+
cos(2nπt)dt
= 2
(αt + β) sin(2nπt)dt = 2 −(αt + β)
2nπ
2nπ 0
0
0
1 !
1
1
α sin(2nπt)dt
= 2
−(α + β)
− −(β)
+
2nπ
2nπ
2nπ
2nπ
0
α
= 2 −
+0
2nπ
u = αt + β
dv = sin(2nπt)dt
bn = −
♣ ♥♠
♦
1
α
nπ
3/4
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3)
Mathématiques 3h
+∞
X
1
S(t) =
sin(2nπt)
n
n=1
Dans la formule proposée :
a)
En identifiant :
 α
 +β = 0
2
 −α = 1
nπ
n
•
b)
•
•
(
•
(
on a :
α = −π
π
β =
2
•
π
•
2
y(n)
•
a0 = 0
1
bn =
n
et donc :
•
•
f (t) = −πt +
π
2
•
Figure :
n
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
Partie B
s00 (t) + s(t) = sin(2πt) +
1)
1
sin(4πt)
2
Par identification :
1
1
sin(2πt) +
sin(4πt)
2
1 − 4π
2(1 − 16π 2 )
2π
4π
s01 (t) =
cos(2πt)
+
cos(4πt)
1 − 4π 2
2(1 − 16π 2 )
−4π 2
16π
00
sin(2πt) −
sin(4πt)
s1 (t) =
2
1 − 4π
2(1 − 16π 2 )
s1 (t) =
s001 (t) + s1 (t) =
1 − 4π 2
1 − 16π
sin(2πt) +
sin(4πt)
2
1 − 4π
2(1 − 16π 2 )
s001 (t) + s1 (t) = sin(2πt) +
2)
Pour :
s00 (t) + s(t) = 0 on a r2 + 1 = 0
1
sin(4πt)
2
et donc :
s(t) = A cos(t) + B sin(t)
Solution générale de l’équation différentielle (E).
s(t) = A cos(t) + B sin(t) +
♣ ♥♠
♦
1
1
sin(2πt)
+
sin(4πt)
1 − 4π 2
2(1 − 16π 2 )
4/4
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