Trigonométrie

Trigonom´etrie

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0.1 Historique
La trigonom´etrie a toujours pr´eoccup´e les math´ematiciens. Nous voyons apparaˆıtre les degr´es
et ce fameux 360◦chez les babyloniens ce qui correspondait pour eux `a peu pr`es `a une ann´ee. π
pour ”periphery” est introduit en 1706 par W. Jones. Pour mesurer un angle on peut mesurer la
corde, le sinus rectus est n´e en -150 ans. On a retrouv´e des tables de conversion entre cordes et
angles. La fonction sin tire ses origines en Inde (630) et en Europe m´edi´evale (1464). En 630 on
retrouve sin α=1
2Cord(2α). Ptol´em´ee donne g´eom´etriquement en 150 les formules sin(x+y) et
cos(x−y). Moivre (1730) donne sa formule sin(n+ 1)x= sin xcos nx + cos xsin nx. Enfin entre
1750 et 1850 Newton, Leibniz, Bernouilli donnent la d´efinition des fonctions trigonom´etriques `a
l’aide des s´eries. Leur approche est g´eom´etrique sans trop se soucier de la convergence mais cela
suffit pour donner des valeurs approch´ees.
0.2 D´efinition g´eom´etrique
Dans le triangle ABC, rectangle en B:
c
ˆ
C
C
b
ˆ
B
B
@
@
@
@
@
@
@
@
@
@
@
@
@
@
@
@
A
ˆ
A
a
a
b= cos ˆ
C= sin ˆ A
c
b= sin ˆ
C= cos ˆ A
c
a= tan ˆ
C= cotan ˆ A
a
c= cotan ˆ
C= tan ˆ A
Exercice 1 Dans un triangle ABC quelconque (mais non plat), montrer que
a
sin ˆ A=b sin ˆ B=c sin ˆ C= 2R
o`u Rest le rayon du cercle circonscrit.
[Ind] Utiliser le pied A0de la hauteur issue de Apour montrer que sin ˆ B=AA0
c.
En notant Ω le centre du cercle circonscrit, montrer que sin( 1
2d
AΩC) = b
2R
[Dem]
On v´erifie, en notant A0le pied de la hauteur issue de Asur la droite (BC),
B
A
C
O
A’

0.2. D´efinition g´eom´etrique 3
que le sinus de l’angle en Best ´egal `a AA0
c(en distinguant deux cas suivant que l’angle en Best aigu ou
obtus). On en d´eduit de la mˆeme fa¸con que sin ˆ C=AA0
bet donc
c
sin ˆ C=b sin ˆ B
Par permutation des points, on d´emontre alors les deux premi`eres ´egalit´es.
Notons Ω le centre du cercle circonscrit; l’angle g´eom´etrique AΩCest le double de l’angle ABC, le
triangle AΩC´etant isoc`ele, on en d´eduit que le sinus de la moiti´e de l’angle AΩCest ´egal `a b
2Rd’o`u
la derni`ere ´egalit´e. On peut alors revoir la propri´et´e de l’angle au centre et la somme des angles d’un
triangle.
Pour les angles orient´es, on oriente le plan par tradition de Ivers Jet en notant Rle rayon du
cercle, Xet Ysont les projections orthogonales du point Msur les axes (OI) et (OJ) orient´es
par −→ OI et −→ OJ ;Tet Cles intersections de la droite (OM) et des axes tangents au cercle en Iet
Jorient´es par −→ OJ et −→ OI, la tangente au cercle au point Mcoupe les droites (OI) et (OJ) aux
points Aet B.
0
I
M
B
A
X
Y
J
T
C
α
On a alors les relations:
OX =Rcos α OY =Rsin α
et d`es que les points T,C,Aet Bsont d´efinis:
IT =Rtan α JC =Rcotan α
AM =R|tan α|MB =R|cotan α|
OA =OT =R
|cos α|OB =OC =R |sin α|
Exercice 2 Trouver, `a l’aide du cercle trigonom´etrique, le moyen de construire g´eom´etriquement
l’inverse d’un r´eel.
[Ind] La tangente est l’inverse de la cotangente

4
[Dem] Les axes permettant de d´efinir les tangentes et les cotangentes sont en pointill´es. En portant sur
l’axe permettant de d´efinir les tangentes un point d’abscisse x, l’intersection de la droite passant par ce
point et l’origine, coupe l’axe d´efinissant les cotangentes en point d’abscisse 1/x.
Exercice 3 Que repr´esente sur un panneau routier une ((pente)) `a 5%? Existe-t-il un lien avec
la ((pente d’une droite)) ?
[Ind] Ce sont les mˆemes notions
[Dem] La route fait un angle avec l’horizontale dont la tangente est 0,05. C’est la mˆeme notion pour une
droite, l’horizontale ´etant ici l’axe des abscisses. Remarquons que l’angle correspondant `a tan α= 0,05
est inf´erieur `a 3◦.
a100 m
5 m
0.3 Propri´et´es remarquables
Pour tout r´eel α:
cos2α+ sin2α= 1
Par sym´etrie orthogonale, on trouve les formules remarquables de transformation des angles:
par exemple, le sym´etrique d’un point de coordon´ees polaires (ρ,α) par rapport `a une sym´etrie
orthogonale d’axe la premi`ere bissectrice est le point de coordon´ees polaires (ρ, π
2−α), on en
d´eduit alors la cinqui`eme colonne du tableau.
D’autre part en utilisant e−iα =1
eiα =1 cos α+isin α=cos α−isin α 1et puis par exemple
ei(π
2−α)=eiπ
2e−iα =i(cos α−isin α) = sin α+icos αon trouve les r´esultats suivants.
α−α π +α π −απ
2−απ 2+α
exp(iα) 1/exp(iα)−exp(iα)−1/exp(iα)i/exp(iα)iexp(iα)
cos αcos α−cos α−cos αsin α−sin α
sin α−sin α−sin αsin αcos αcos α
tan α−tan αtan α−tan α1/tan α−1/tan α

0.3. Propri´et´es remarquables 5
×
01
M
-1 x
y
1
-1
α
N
M1
M2
N1
N2
M3
N3
y
x
-x
-y
-x
-y
π
2−α
Exercice 4 Dans les dessins pr´ec´edents, reconnaˆıtre en fonction de αles coordonn´ees polaires
des diff´erents points marqu´es sur le cercle trigonom´etrique
[Ind] Reconnaitre les transformations g´eom´etriques qui permettent de construire les diff´erents points.
[Dem] Pour une sym´etrie orthogonale par rapport `a une droite d’angle polaire βl’image d’un point M
rep´er´e par eix est le point M0rep´er´e par ei(2β−x)car θ(M0) = β−(x−β) = 2β−x.
M
M’
b
x
Le point Nest obtenu `a partir de Mpar une sym´etrie orthogonale par rapport `a la premi`ere bissectrice,
l’angle entre cette droite et l’axe des abscisses est π
4, le point Na donc pour coordonn´ees polaires
(R,2π
4−α).
Les points M1et N1sont obtenus `a partir de Met Npar sym´etrie orthogonale par rapport `a l’axe des
ordonn´ees, l’angle de cette droite et celle des abscisses est π
2, les coordonn´ees polaires de M1et N1sont
donc (R,2π
2−α) et (R,2π 2−(π 2−α)) c’est `a dire (R, π 2+α).
Les points M2et N2sont obtenus par sym´etrie centrale de centre 0, leurs coordonn´ees polaires sont
donc (R,π +α) et (R,3π
2−α).
Enfin les points M3et N3sont obtenus `a partir de Met Npar sym´etrie orthogonale par rapport `a l’axe
des abscisses, leurs coordonn´ees polaires sont donc (R, −α) et (R,α −π
2).
Valeurs `a connaˆıtre (j=e2iπ
3=−1
2+i√3 2) :