Cours

C6 - Trigonométrie Cours 1S
6.1 Angles orientés
6.1.1 Cercle trigonométrique
DÉFINITION 1
Le cercle trigonométrique Cde centre O est le cercle de centre O, de rayon 1 unité et orienté dans le sens
direct (sens giratoire).
6.1.2 le radian
DÉFINITION 2
Le radian est l’unité de mesure des angles telle que la mesure en radian d’un angle est égale à la longueur
de l’arc que cet angle au centre intercepte sur le cercle trigonométrique.
Par exemple, un angle plat mesure πradian ; un angle droit π
2rad.
PROPRIÉTÉ 1
Les mesures en degrés et en radians d’un angle sont proportionnelles.
Il faut juste se souvenir que πradians correspond à 180 ° puis effectuer un tableau de proportionnalité !
6.1.3 Angle orienté d’un couple de vecteurs non nuls
DÉFINITION 3(Angle orienté)
Soit ~ uet ~ vdeux vecteurs non nuls du plan orienté.
On appelle angle orienté, noté (~ u;~ v), le couple de ces deux vecteurs.
Soit ~ uet ~ vdeux vecteurs non nuls du plan orienté, Oun point quelconque et Cle cercle trigonométrique de
centre O.
On considère A′et B′les points définis par −−→ OA′=~ uet −−→ OB′=~ v.
Les demi-droites [OA′) et [OB′) coupent le cercle trigonométrique Crespectivement en Aet en B(voir le
schéma ci-contre).
DÉFINITION 4(Mesures d’un angle orienté)
Une mesure de l’angle orienté (~ u;~ v), en radian, est une mesure de l’arc orienté associé
y
AB du cercle trigo-
nométrique.
En pratique, il convient de travailler avec les angles géométriques puis d’orienter l’angle.
Par exemple, ABCD est un carré de centre O dans le sens direct.
Déterminer une mesure des angles suivants :
(−→ AB ;−→ AC ) (−−→ OC ;−−→ OB) (−→ AB ;−−→ CD).
×
×
×
~
u
O
A′
A
~
v
B′
B
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REMARQUE
1) Si une des mesures de (~ u;~ v)est α, alors toutes les mesures sont de la forme α+k×2πavec k∈Z.
2) Par abus de langage, on confond un angle et ses mesures.
On écrit par exemple (~ u;~ v)=π
2signifiant qu’une des mesures de (~
u;~ v)est π
2, les autres étant de la forme
π
2+k×2πavec k∈Z.
On écrit aussi (~ u;~ v)=π
2+k×2πavec k∈Z, ou encore (~
u;~ v)≡π
2[2π] qui se lit « π 2modulo 2π».
3) 7π
5et −143π 5sont-ils les mesures en radian d’un même angle orienté ?
DÉFINITION 5(Mesure principale)
La mesure principale d’un angle orienté est l’unique mesure de cet angle orienté qui appartient à ] −π;π].
EXEMPLE 1
Déterminer la mesure principale des angles orientés de vecteurs suivants : (~ u;~ v)=290π
6puis (
~
u′;
~
v′)=
−27π
5.
REMARQUE
1) Quand on connaît la mesure principale d’un angle orienté de vecteurs, alors on peut écrire toutes les va-
leurs de la mesure de cette angle !
2) Si M, N et O sont trois points distincts du plan, alors l’angle géométrique  MON = |α|où αest la mesure
principale de l’angle orienté de vecteurs (−−→ OM ;−−→ ON).
DÉFINITION 6(Colinéarité, orthogonalité)
Soit ~ uet ~ vdeux vecteurs non nuls du plan orienté.
•Dire que ~ uet ~ vsont colinéaires revient à dire que
la mesure principale de (~ u;~ v) est 0 (angle nul) ou
est π(angle plat).
•Dire que ~ uet ~ vsont orthogonaux revient à dire
que la mesure principale de (~ u;~ v) est π
2(angle
droit direct) ou −π
2(angle droit indirect).
DÉFINITION 7(Repère orthonormal direct ou indirect)
Soit ¡O;~ ı,~ ¢un repère du plan. On dit que ¡O ;~ ı,~ ¢est :
•direct si une des mesures de (
~
ı;~ ) est π
2;•indirect si une des mesures (
~
ı;~ ) est −π
2.
6.1.4 Propriétés des mesures des angles orientés
PROPRIÉTÉ 2
Soit un vecteur non nul ~ udu plan orienté et k∈R.
•(~ u;~ u)=0 et (~ u;−~ u)=π.•Si k>0 alors (~ u;k~ u)=0. •Si k<0 alors (~ u;k~ u)=π.
Démonstration. Cela découle de la définition 6. ♦
PROPRIÉTÉ 3(Relation de CHASLES ADMIS)
Soit ~ u,~ vet ~ wtrois vecteurs non nuls du plan orienté.
(~ u;~ v)+(~ v;~ w)=(~ u;~ w)
On en déduit :
PROPRIÉTÉ 4
Soit ~ uet ~ udeux vecteurs non nuls du plan orienté, ket k′deux réels.
•(~ u;~ v)=−(~ v;~ u).
•(~ u;−~ v)=(~ u;~ v)+π.
•(−~
u;~ v)=(~
u;~ v)+π.
•(−~ u;−~ v)=(~ u;~ v).
•Si ket k′sont de même signe, (k~ u;k′~
v)=(~ u;~ v).
•Si ket k′sont de signes opposés, (k~ u;k′~
v)=(~ u;~ v)+π.
Les preuves seront faites en classe.
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6.1.5 Cosinus et sinus d’un angle orienté
Sauf indication contraire, l’unité utilisée est le radian. Le plan orienté est muni d’un repère orthonormal
direct ¡O;~ ı,~ ¢; on considère le cercle trigonométrique Cde centre O.
DÉFINITION 8(Cosinus et sinus d’un réel)
Pour tout réel x, il existe un point Munique du cercle trigonométrique Ctel que xsoit une mesure de
³−−→
OA ;−−→ OM´.
•L’abscisse du point Mest le cosinus de x(noté cos x).
•L’ordonnée du point Mest le sinus de x(noté sin x)
DÉFINITION 9(Cosinus et sinus d’un angle orienté)
Soit ~ uet ~ vdeux vecteurs non nuls du plan. Le cosinus (resp. le sinus) de l’angle orienté de vecteurs (~ u;~ v)
est le cosinus (resp. le sinus) de l’une quelconque de ses mesures. On note cos(~ u;~ v) et sin(~ u;~ v).
Lien entre cosinus de l’angle orienté et cosinus de l’angle géométrique
Notons αla mesure en radians de l’angle géométrique  AOB formé par ~ uet ~ v, et notons xla mesure principale
de (~ u;~ v) . On a α=|x|. Deux cas se présentent :
•si x>0, |x|= xet par suite cosα=cos x;
•si x60, |x|=−xet par suite cosα=cos(−x)=cos x
On a donc cos(~
u;~ v)=cos(  AOB ).
Ce n’est pas vrai pour le sinus : sin(  AOB )=|sin(~ u;~ v)|
6.2 Trigonométrie
6.2.1 Rappels
PROPRIÉTÉ 5(fondamentale)
∀x∈R, cos2x+sin2x=1
PROPRIÉTÉ 6(Sinus et cosinus des angles usuels)
x0π
6
π
4
π
3
π
2
sin x01
2
p2
2
p3
21
cos x1p3
2
p2
2
1
20
PROPRIÉTÉ 7
Pour tout réel x,
−16cos(x)61 et −16sin(x)61.
De plus, Pour tout entier relatif k, cos(x+k(2π)) =cos(x) et sin(x+k(2π)) =si n(x).
REMARQUES
.
1. cos et sin d’un angle ne dépend pas de la mesure choisie.
2. Par exemple, cos(x+8π)=cos(x+4(2π)) =cos(x) .
3. Pour tout réel x6= π
2+kπavec k∈Z, tan(x)=sin(x) cos(x).
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6.2.2 Lignes trigonométriques
Les formules ci-dessous sont vraies pour tout réel x, mais pour faciliter la mémorisation, on se place dans le
premier cadran.
x
π
2−x
π
2+x
π−x
π+x−x
cos¡π
2−x¢=sin x
sin¡π
2−x¢=cos x
cos¡π
2+x¢=−sin x
sin¡π
2+x¢=cos x
cos(π−x)=−cos x
sin(π−x)=sin x
cos(π+x)=−cos x
sin(π+x)=−sin x
cos(−x)=cos x
sin(−x)=−sin x
EXEMPLE 2
Calculer : cos(5π
6) puis sin( 4π 3) et enfin cos( 79π 6).
6.2.3 Résolutions d’équations trigonométriques
Résoudre une équation trigonométrique c’est résoudre une équation de la forme cos x=αou sin x=αoù α
est un réel donné.
PROPRIÉTÉ 8
Soit une équation de la forme cos x=aavec a∈[−1 ; 1].
Si on trouve un αtel que cosα=aalors l’équation est équivalente à l’équation cos x=cosαet les solutions
de l’équation sont les réels α+k×2πet les réels −α+k×2π, où kentier quelconque.
PROPRIÉTÉ 9
Soit une équation de la forme sin x=aavec a∈[−1 ; 1].
Si on trouve un αtel que sinα=aalors l’équation est équivalente à l’équation sin x=sinαet les solutions
de l’équation sont les réels α+k×2πet les réels π−α+k×2π, où kentier quelconque.
EXEMPLE 3
Résoudre les équations suivantes dans Rpuis donner toutes les solutions dans [0 ; 4π].
1. cos(x)=−1
22. sin(2x)=1 2
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