Chapitre 4 : Variables Aléatoires Discrètes

Chapitre 4 : Variables Aléatoires Discrètes
L2 Eco-Gestion, option AEM
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Plan
1
Notion de variable aléatoire
Exemples
Définition
2
Loi de probabilité (ou distribution) d’une variable aléatoire
Définition
Fonction de répartition
Espérance
Variance et écart-type
3
Variable aléatoire centrée réduite
Définition
Inégalité de Bienaymé-Tchebycheff
4
Compléments
Fonction génératrice des moments
Indépendance et somme de v.a. (indépendantes)
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Plan
1
Notion de variable aléatoire
Exemples
Définition
2
Loi de probabilité (ou distribution) d’une variable aléatoire
Définition
Fonction de répartition
Espérance
Variance et écart-type
3
Variable aléatoire centrée réduite
Définition
Inégalité de Bienaymé-Tchebycheff
4
Compléments
Fonction génératrice des moments
Indépendance et somme de v.a. (indépendantes)
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Notion de variable aléatoire
Souvent, lors d’une expérience aléatoire, on ne s’intéresse pas à l’issue ω de
cette épreuve, mais à une fonction de cette réalisation (notée X (ω)) de
cette issue, donnant une valeur numérique...
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Notion de variable aléatoire
Exemples
Exemples 1
On jette deux fois un dé ; on s’intéresse à la somme des numéros obtenus.
On s’intéresse au nombre de lancers d’une pièces pour obtenir "pile".
On choisit deux réels au hasard dans [0, 1] ; on s’intéresse à leur somme.
Exemple 2
Une urne contient une boule rouge R, une boule verte V et une boule bleue B. On
effectue deux tirages avec remise. On considère la règle du jeu suivante :
1
pour chaque boule rouge tirée, on gagne 3 euros ;
2
pour chaque boule verte tirée, on gagne 1 euro ;
3
pour chaque boule bleue tirée, on perd 4 euros.
On s’intéresse au montant des gains ou des pertes.
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Notion de variable aléatoire
Définition
Définition
Définition Soit un espace probabilisé (Ω, P(Ω), P) associé à une expérience
aléatoire. On appelle variable aléatoire discrète, une application X , de Ω
dans X (Ω) = {x1 , x2 , ...xn , ...}, ensemble fini ou dénombrable :
X
: Ω → X (Ω) = {x1 , x2 , ...xn , ...}
ω 7→ X (ω)
X (Ω) est appelé ensemble des observables.
Retour sur les exemples
Parmi les exemples, quelles sont les v.a. discrètes ? Définir alors Ω.
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Plan
1
Notion de variable aléatoire
Exemples
Définition
2
Loi de probabilité (ou distribution) d’une variable aléatoire
Définition
Fonction de répartition
Espérance
Variance et écart-type
3
Variable aléatoire centrée réduite
Définition
Inégalité de Bienaymé-Tchebycheff
4
Compléments
Fonction génératrice des moments
Indépendance et somme de v.a. (indépendantes)
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Loi de probabilité (ou distribution) d’une variable aléatoire
Définition
Définition
La loi de probabilité (ou distribution) de la v.a. discrète X est la fonction :
X (Ω) = {x1 , x2 , ...xn , ...} → [0, 1]
xi
7→ P(X = xi )
définie par P(X = xi ) = P(ω telles que X (ω) = xi ).
On note généralement P(X = xi ) = pi .
Retour sur les exemples
Déterminer la loi de probabilité des exemples de v.a. discrètes.
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Loi de probabilité (ou distribution) d’une variable aléatoire
Fonction de répartition
Définition
On appelle fonction de répartition de X , la fonction
F
:
R →
x 7→
[0, 1]
F (x) = P(X ≤ x)
Autrement dit,
F (x) =
∑
P(X = Xi ).
xi ∈X (Ω),xi ≤x
Propriétés
pour tout x réel, on a 0 ≤ F (x) ≤ 1.
La fonction de répartition d’une v.a. est croissante et est continue à droite.
X est une variable aléatoire discrète si et seulement si sa fonction de
répartition est une fonction en escalier.
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Loi de probabilité (ou distribution) d’une variable aléatoire
Fonction de répartition
Retour sur l’exemple R,V,B
Calculer et tracer la fonction de répartition de X .
Propriété
Soient X une v.a. discrète, X (Ω) = {x1 , x2 , ...xn , ...} l’ensemble des
observables, et F sa fonction de répartition. On a :
P(X = x1 ) = F (x1 )
pour i ≥ 2 P(X = xi ) = F (xi ) − F (xi−1 )
Conséquence
La connaissance de la loi de probabilité de X permet de calculer la fonction
de répartition, et inversement.
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Loi de probabilité (ou distribution) d’une variable aléatoire
Fonction quantile
Propriété
Soient X une v.a. discrète, X (Ω) = {x1 , x2 , . . . , xn , . . . } l’ensemble des
observables, et F sa fonction de répartition. Le quantile d’ordre α ∈ [0, 1],
noté q(α) = FX−1 (α) est la plus petite réalisation appartenant à X (Ω)
associée à une probabilité supérieure ou égale à α
F (q(α)) = F (F −1 (α)) = P(X ≤ q(α)) ≥ α.
Retour sur l’exemple R,V,B
Calculer la médiane et le troisième quartile, c-a-d les quantiles d’ordre 0.5
et 0.75.
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Loi de probabilité (ou distribution) d’une variable aléatoire
Espérance
Définition
L’espérance d’une v.a. discrète X est le nombre réel, s’il existe, défini par
E(X ) = ∑ xi P(X = xi ) = ∑ xi pi
i
i
Retour sur l’exemple R,V,B
Calculer E(X ).
Propriétés de l’espérance
Soit f une fonction de X (Ω) dans R. On a : E[f (X )] = ∑i pi f (xi )
Propriété de linéarité : soient a, b ∈ R, on a E[aX + b] = aE(X ) + b
Retour sur l’exemple R,V,B
Soit Y = 2X + b, quelle est la valeur de b pour que E(Y ) = 0 ?
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Loi de probabilité (ou distribution) d’une variable aléatoire
Variance et écart-type
Définition
La variance d’une v.a. X est, si elle existe, l’espérance de la variable
aléatoire (X − E(X ))2 . On la note Var(X ) :
Var(X ) = E[(X − E(X ))2 ] = E(X 2 ) − E(X )2 ≥ 0
Ainsi, dans le cas discret : Var(X ) = ∑i pi xi2 − E(X )2
Intérêt
La variance permet de quantifier la dispersion des valeurs de la variable
aléatoire autour de l’espérance.
Retour sur l’exemple R,V,B
Calculer Var(X ).
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Loi de probabilité (ou distribution) d’une variable aléatoire
Variance et écart-type
Propriété de la variance
Var(X ) = 0 si et seulement si X est une v.a. constante.
Soient a, b ∈ R : Var(aX + b) = a2 Var(X ).
Définition
On appelle écart-type de la v.a. X, la racine carrée de sa variance. On le
note σ (X ).
Intérêt
Indice de dispersion possédant la même unité que les observables.
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Notion de variable aléatoire
Exemples
Définition
2
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Définition
Fonction de répartition
Espérance
Variance et écart-type
3
Variable aléatoire centrée réduite
Définition
Inégalité de Bienaymé-Tchebycheff
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Compléments
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Indépendance et somme de v.a. (indépendantes)
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Variable aléatoire centrée réduite
Définition
Définition
La v. a. centrée réduite définie à partir de la variable aléatoire X (supposée
)
non constante et admettant un écart type fini) est la variable Y = X σ−E(X
(X ) .
Propriétés de la variable centrée réduite
Montrer que E(Y ) = 0 et que Var(Y ) = σ (Y ) = 1.
Intérêt
facilite la comparaison de variables aléatoires.
La connaissance de la loi centrée réduite permet d’obtenir la loi
d’autres variables.
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Variable aléatoire centrée réduite
Inégalité de Bienaymé-Tchebycheff
Inégalité de Bienaymé-Tchebycheff
Soit X une variable aléatoire réelle. Pour tout réel ε > 0, on a :
P(
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|X − E(X )|
1
≥ ε) ≤ 2
σ (X )
ε
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Notion de variable aléatoire
Exemples
Définition
2
Loi de probabilité (ou distribution) d’une variable aléatoire
Définition
Fonction de répartition
Espérance
Variance et écart-type
3
Variable aléatoire centrée réduite
Définition
Inégalité de Bienaymé-Tchebycheff
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Fonction génératrice des moments
Indépendance et somme de v.a. (indépendantes)
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Compléments : Fonction génératrice des moments
Fonction génératrice des moments
Définition
La fonction génératrice d’une v.a. discrète X définie sur X (Ω) = {x1 , . . . , xn , . . .},
est la fonction MX définie sur R et à valeurs dans R+ par
MX (t) = E(exp(tX )) =
∑
exp(txi )P(X = xi ).
xi ∈X (Ω)
Propriété
La fonction génératrice d’une v.a. discrète X (lorsqu’elle existe) détermine tous
les moments. En effet, pour tout k ≥ 1, on a
(k)
E(X k ) = MX (t)|t=0 ,
ainsi E(X ) = MX0 (0), E(X 2 ) = MX00 (0).
Retour sur l’exemple R,V,B
Retrouver le fait que E(X ) = 0 et E(X 2 ) = 52/3 en utilisant le fait que
MX (t) = (exp(−8t) + 2 exp(−3t) + 2 exp(−t) + exp(2t) + 2 exp(4t) + exp(6t)) /9
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Compléments
Indépendance et somme de v.a. (indépendantes)
Soient X et Y deux v.a. discrètes définies sur {xi , i ∈ I } et {yj , j ∈ J } où I et
J sont deux ensembles dénombrables. On a les définitions et propriétés
suivantes :
X et Y sont dites indépendantes ssi pour tous i ∈ I et j ∈ J ,
P([X = xi ] ∩ [Y = yj ]) = P(X = xi )P(Y = yj ).
Z = X + Y est une v.a. discrète définie sur {xi + yj , i ∈ I , j ∈ J }, et on a
toujours E(Z ) = E(X ) + E(Y ).
Si en outre, X et Y sont indépendantes, Var(X + Y ) = Var(X ) + Var(Y ).
Somme de dés
Soient X1 et X2 les faces supérieures correspondantes à deux lancers
indépendants de dé et soit Z la moyenne de ces deux v.a. Calculer E(Z ) et
Var(Z ) (même question avec n dés).
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