COUPLES DE VARIABLES ALÉATOIRES DISCRÈTES

L2 Économie
Probabilités
COUPLES DE VARIABLES
ALÉATOIRES DISCRÈTES
Exercice. On considère deux variables aléatoires discrètes X et Y dont la loi de couple est
donnée par le tableau
X\Y
−1
1
−2
29
100
13
100
33
100
2
p2
(a) Pour quelle(s) valeur(s) de p ce tableau définit bien une loi de probabilité d’un couple de
variables aléatoires ?
(b) Déterminer les lois marginales de X et Y puis calculer leurs espérances et variances.
(c) Déterminer la loi de la variable aléatoire Z = XY, son espérance et sa variance.
(d) Déterminer la covariance Cov(X, Y). Les variables X et Y sont-elles indépendantes ?
Corrigé de l’exercice.
(a) Il faut que tous les coefficients du tableau soient positifs (ce qui est le cas) et que la somme
des éléments du tableau vaille 1 ; on a
29
33
13
75
3
1
+
+
+ p2 = 1 ⇐⇒
+ p2 = 1 ⇐⇒ + p2 = 1 ⇐⇒ p2 =
100 100 100
100
4
4
1
⇐⇒ p = ± .
2
Les deux valeurs de p qui font du tableau précédent une loi de probabilité d’un couple
25
sont p = 12 et p = − 21 . Dans tous les cas, on a p2 = 14 = 100
1
(b) La loi marginale de X est donnée par
k
P(X = k)
−2
62
100
38
100
2
On a donc
X
E(X) =
xP(X = x) = (−2) ×
x∈X(Ω)
38
48
62
+ (+2) ×
=−
100
100
100
38
400
62
+ (+2)2 ×
=
=4
100
100 100
x∈X(Ω)
2
48
2304
40000 − 2304 37696
2
2
Var(X) = E(X ) − E(X) = 4 − −
=4−
=
=
100
10000
10000
10000
E(X 2 ) =
X
x2 P(X = x) = (−2)2 ×
La loi marginale de Y est donnée par
k
P(Y = k)
−1
1
42
100
58
100
On a donc
X
E(Y) =
yP(Y = y) = (−1) ×
y∈Y(Ω)
42
58
16
+ (+1) ×
=
100
100 100
42
58
100
+ (+1)2 ×
=
=1
100
100 100
y∈Y(Ω)
2
16
10000 − 256
9744
256
2
2
Var(Y) = E(Y ) − E(Y) = 1 −
=
=
=1−
100
10000
10000
10000
E(Y 2 ) =
X
y2 P(Y = y) = (−1)2 ×
(c) Les valeurs prises par Z sont −2 et 2. On a
25
54
29
+ 100
= 100
100
33
13
46
= 100
+ 100
= 100
P(Z = 2) = P(X = 2, Y = 1) + P(X = −2, Y = −1) =
P(Z = −2) = P(X = −2, Y = 1) + P(X = 2, Y = −1)
La loi de Z est donc donnée par le tableau suivant :
k
P(Z = k)
−2
2
46
100
54
100
On a donc
X
E(Z) =
z∈Z(Ω)
zP(Z = z) = (−2) ×
46
54
16
+ (+2) ×
=
100
100 100
46
54
400
+ (+2)2 ×
=
=4
100
100 100
z∈Z(Ω)
2
16
256
40000 − 256 39744
2
2
Var(Z) = E(Z ) − E(Z) = 4 −
=4−
=
=
100
10000
10000
10000
E(Z 2 ) =
X
z2 P(Z = z) = (−2)2 ×
2
(d) La covariance de X et Y est donnée par
48
16
2368
16
− −
×
=
.
Cov(X, Y) = E(XY) − E(X)E(Y) =
100
100
100 1000
Les variables X et Y ne sont pas indépendantes car elles ne sont pas décorrélées.
3