Université Chouaib Doukkali
Ecole Nationale des Sciences Appliquées
El Jadida
Filière 2AP - S2 - Analyse 2
Responsable : M. EL Azzouzi
Année universitaire 2019-2020
Feuille de TD 4 : fonctions de plusieurs variables-( partie 2)
Exercice 1 (L’inégalité triangulaire renversée)
Soit (𝐸, ‖ · ‖) un espace vetoriel normé. Montrer que :
∀(𝑥, 𝑦) ∈ 𝐸 2 ,
|‖𝑥‖ − ‖𝑦‖| < ‖𝑥 − 𝑦‖.
Exercice 2
On note 𝒞 1 ([0; 1], R) et 𝑁1 , 𝑁2 les applications de 𝐸 dans R définies, pour toute 𝑓 ∈ 𝐸, par :
𝑁1 (𝑓 ) = |𝑓 (0)| + 2
∫︁ 1
∫︁ 1
′
|𝑓 (𝑡)| d𝑡,
𝑁2 (𝑓 ) = 2|𝑓 (0)| +
|𝑓 ′ (𝑡)| d𝑡.
0
0
Montrer que 𝑁1 et 𝑁2 sont des normes sur 𝐸 et qu’elles sont équivalents.
Exercice 3 (Dérivée directionnelle)
Trouver la dérivée directionnelle de la fonction 𝑓 : R2 → R définie par 𝑓 (𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑦 2 au point (2, 1)
le long des vecteurs suivants :
a)
⃗𝑢 = ⃗𝑖 + ⃗𝑗,
b) ⃗𝑣 = ⃗𝑖 − 2⃗𝑗,
Exercice 4
Soit 𝑓 :
R2
{︃
−→ R la fonction définie par : 𝑓 (𝑥, 𝑦) =
𝑦2
𝑥
0
𝑠𝑖 𝑥 ̸= 0
𝑠𝑖 𝑥 = 0.
1. Montrer que 𝑓 n’est pas continue en (0, 0).
2. Calculer les dérivées
𝜕𝑓
𝜕𝑥 (0, 0)
et
𝜕𝑓
𝜕𝑦 (0, 0).
3. Montrer que 𝑓 est dérivable en (0, 0) suivant tout vectuer ℎ = (𝑢, 𝑣).
4. 𝑓 est-elle différentiable en (0, 0) ?
Exercice 5
Soit 𝑓 :
R2
{︃
−→ R la fonction définie par : 𝑓 (𝑥, 𝑦) =
2
2
−𝑦
𝑥𝑦 𝑥𝑥2 +𝑦
2
0
𝑠𝑖 (𝑥, 𝑦) ̸= (0, 0)
𝑠𝑖 (𝑥, 𝑦) = (0, 0).
1. Montrer que 𝑓 est de classe 𝐶 1 .
2. Calculer
3. Montrer
2
𝜕2𝑓
𝜕2𝑓
(0, 0), 𝜕𝜕𝑦𝑓2 (0, 0), 𝜕𝑥𝜕𝑦
(0, 0)
𝜕𝑥2
que 𝑓 n’est pas de classe 𝐶 2 .
et
𝜕2𝑓
𝜕𝑦𝜕𝑥 (0, 0).
Exercice 6
Soit 𝑓 : R → R𝑛 une fonction dérivable. Quel est le lien entre la dérivée 𝑓 ′ (𝑎) de 𝑓 en 𝑎 ∈ R et sa
différentielle au même point 𝑑𝑓 (𝑎) ?
Exercice 7
Soit 𝑓 : R𝑛 → R une fonction différentiable. Quel est le lien entre la différentielle de 𝑓 en 𝑎 ∈ R𝑛 et
le gradient de 𝑓 au même point ?
Exercice 8 (Différentielle)
Pour chacune des fonctions 𝑓 : R2 → R définies pour (𝑥, 𝑦) ∈ R2 par
a)
𝑓 (𝑥, 𝑦) = 𝑥3 𝑦 + 𝑥2 𝑦 2 + 𝑥𝑦 3 ,
déterminer la différentielle en tout point (𝑥, 𝑦) ∈ R2 .
1
b)
𝑓 (𝑥, 𝑦) = 2𝑥 + 𝑦,
Exercice 9
Soit 𝑓 : R2 → R différentiable sur R2 . On considère les fonctions 𝑔 : R → R, ℎ : R2 → R et
𝑘 : R2 → R définies par 𝑔(𝑥) = 𝑓 (𝑥, −𝑥), ℎ(𝑥, 𝑦) = 𝑓 (𝑦, 𝑥) et 𝑘(𝑥, 𝑦) = 𝑓 (𝑥2 − 𝑦 2 , 2𝑥𝑦). Exprimer les
dérivées partielles de 𝑔, ℎ et 𝑘 en fonction de celles de 𝑓 .
Exercice 10
Soit 𝑓 :
R2
{︃
−→ R la fonction définie par : 𝑓 (𝑥, 𝑦) =
1. Montrer que 𝑓 est continue sur
2. Calculer
𝜕𝑓
𝜕𝑥 (0, 0)
et
𝑥3 −𝑦 3
𝑥2 +𝑦 2
0
𝑠𝑖 (𝑥, 𝑦) ̸= (0, 0)
𝑠𝑖 (𝑥, 𝑦) = (0, 0).
R2 .
𝜕𝑓
𝜕𝑦 (0, 0).
3. Montrer que 𝑓 n’est pas différentiable en (0, 0).
Exercice 11
1. Former le développement limité d’ordre 1, au point 𝐴(1, 2), de :
𝑓 : R2 −→ R,
(𝑥, 𝑦) ↦−→ 𝑥𝑦.
2. Former le développement limité d’ordre 2, au point 𝐴(1, 2), de :
𝑓 : R2 −→ R,
(𝑥, 𝑦) ↦−→ 𝑥𝑦.
Exercice 12
On considère la fonction numérique définie sur R3 par 𝑓 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑦𝑧 + 𝑧𝑥 − 𝑥𝑦.
1. Montrer que f admet un unique point critique en (0, 0, 0).
2. Donner la matrice hessienne de f en (0,0,0) et déterminer ses valeurs propres.
3. Étudier la nature du point critique.
Exercice 13
Pour chacune des fonctions 𝑓 : R2 → R suivantes, trouver et étudier les points critiques.
a)
𝑓 (𝑥, 𝑦) = 𝑥2 + 𝑥𝑦 + 𝑦 2 + 2𝑥 + 3𝑦
b)
𝑓 (𝑥, 𝑦) = 𝑥3 + 𝑦 3 + 3𝑥𝑦.
Exercice 14
Soit 𝑓 une fonction différentiable de R2 dans R. On définit 𝑔 : R*+ × R → R par :
∀(𝑟, 𝜃) ∈ R*+ × R, 𝑔(𝑟, 𝜃) = 𝑓 (𝑟 cos(𝜃), 𝑟 sin(𝜃)).
Montrer que 𝑔 est différentiable et exprimer
𝜕𝑔
𝜕𝑟
et
𝜕𝑔
𝜕𝜃
2
en fonction des dérivées partielles de 𝑓 .
