TD4-analyse2

Université Chouaib Doukkali Filière 2AP - S2 - Analyse 2
Ecole Nationale des Sciences Appliquées Responsable : M. EL Azzouzi
El Jadida Année universitaire 2019-2020
Feuille de TD 4 : fonctions de plusieurs variables-( partie 2)
Exercice 1 (L’inégalité triangulaire renversée)
Soit (𝐸, ‖·‖)un espace vetoriel normé. Montrer que :
∀(𝑥, 𝑦)∈𝐸2,|‖𝑥‖−‖𝑦‖| <‖𝑥−𝑦‖.
Exercice 2
On note 𝒞1([0; 1],R)et 𝑁1,𝑁2les applications de 𝐸dans Rdéfinies, pour toute 𝑓∈𝐸, par :
𝑁1(𝑓) = |𝑓(0)|+ 2 1
0
|𝑓′(𝑡)|d𝑡, 𝑁2(𝑓)=2|𝑓(0)|+1
0
|𝑓′(𝑡)|d𝑡.
Montrer que 𝑁1et 𝑁2sont des normes sur 𝐸et qu’elles sont équivalents.
Exercice 3 (Dérivée directionnelle)
Trouver la dérivée directionnelle de la fonction 𝑓 : R2→R définie par 𝑓 ( 𝑥, 𝑦 ) = 𝑥𝑦2 au point (2 , 1)
le long des vecteurs suivants :
a) ⃗𝑢 =⃗ 𝑖+⃗ 𝑗, b) ⃗𝑣 =⃗ 𝑖−2⃗ 𝑗,
Exercice 4
Soit 𝑓:R2−→ Rla fonction définie par : 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑦2
𝑥𝑠𝑖 𝑥 ̸= 0
0𝑠𝑖 𝑥 = 0.
1. Montrer que 𝑓n’est pas continue en (0,0).
2. Calculer les dérivées 𝜕𝑓
𝜕𝑥 (0,0) et 𝜕𝑓 𝜕𝑦 (0,0).
3. Montrer que 𝑓est dérivable en (0,0) suivant tout vectuer ℎ= (𝑢, 𝑣).
4. 𝑓est-elle différentiable en (0,0) ?
Exercice 5
Soit 𝑓:R2−→ Rla fonction définie par : 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑦 𝑥2−𝑦2
𝑥2+𝑦2𝑠𝑖 (𝑥, 𝑦)̸= (0,0)
0𝑠𝑖 (𝑥, 𝑦) = (0,0).
1. Montrer que 𝑓est de classe 𝐶1.
2. Calculer 𝜕2𝑓
𝜕𝑥2(0,0),𝜕2𝑓 𝜕𝑦2(0,0),𝜕2𝑓
𝜕𝑥𝜕𝑦 (0,0) et 𝜕2𝑓 𝜕𝑦𝜕𝑥 (0,0).
3. Montrer que 𝑓n’est pas de classe 𝐶2.
Exercice 6
Soit 𝑓 : R→R𝑛 une fonction dérivable. Quel est le lien entre la dérivée 𝑓′ ( 𝑎 )de 𝑓 en 𝑎∈R et sa
différentielle au même point 𝑑𝑓 (𝑎)?
Exercice 7
Soit 𝑓 : R𝑛→R une fonction différentiable. Quel est le lien entre la différentielle de 𝑓 en 𝑎∈R𝑛 et
le gradient de 𝑓au même point ?
Exercice 8 (Différentielle)
Pour chacune des fonctions 𝑓:R2→Rdéfinies pour (𝑥, 𝑦)∈R2par
a) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥3𝑦+𝑥2𝑦2+𝑥𝑦3,b) 𝑓(𝑥, 𝑦)=2𝑥+𝑦,
déterminer la différentielle en tout point (𝑥, 𝑦)∈R2.
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Exercice 9
Soit 𝑓 : R2→R différentiable sur R2 . On considère les fonctions 𝑔 : R→R , ℎ : R2→R et
𝑘 : R2→R définies par 𝑔 ( 𝑥 ) = 𝑓 ( 𝑥, −𝑥 ), ℎ ( 𝑥, 𝑦 ) = 𝑓 ( 𝑦, 𝑥 )et 𝑘 ( 𝑥, 𝑦 ) = 𝑓 ( 𝑥2−𝑦2, 2 𝑥𝑦 ). Exprimer les
dérivées partielles de 𝑔,ℎet 𝑘en fonction de celles de 𝑓.
Exercice 10
Soit 𝑓:R2−→ Rla fonction définie par : 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥3−𝑦3
𝑥2+𝑦2𝑠𝑖 (𝑥, 𝑦)̸= (0,0)
0𝑠𝑖 (𝑥, 𝑦) = (0,0).
1. Montrer que 𝑓est continue sur R2.
2. Calculer 𝜕𝑓
𝜕𝑥 (0,0) et 𝜕𝑓 𝜕𝑦 (0,0).
3. Montrer que 𝑓n’est pas différentiable en (0,0).
Exercice 11
1. Former le développement limité d’ordre 1, au point 𝐴(1,2), de :
𝑓:R2−→ R,(𝑥, 𝑦)↦−→ 𝑥𝑦.
2. Former le développement limité d’ordre 2, au point 𝐴(1,2), de :
𝑓:R2−→ R,(𝑥, 𝑦)↦−→ 𝑥𝑦.
Exercice 12
On considère la fonction numérique définie sur R3par 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑦𝑧 +𝑧𝑥 −𝑥𝑦.
1. Montrer que f admet un unique point critique en (0,0,0).
2. Donner la matrice hessienne de f en (0,0,0) et déterminer ses valeurs propres.
3. Étudier la nature du point critique.
Exercice 13
Pour chacune des fonctions 𝑓:R2→Rsuivantes, trouver et étudier les points critiques.
a) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥2+𝑥𝑦 +𝑦2+ 2𝑥+ 3𝑦b) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥3+𝑦3+ 3𝑥𝑦.
Exercice 14
Soit 𝑓une fonction différentiable de R2dans R. On définit 𝑔:R*
+×R→Rpar :
∀(𝑟, 𝜃)∈R*
+×R, 𝑔(𝑟, 𝜃) = 𝑓(𝑟cos(𝜃), 𝑟 sin(𝜃)).
Montrer que 𝑔est différentiable et exprimer 𝜕𝑔
𝜕𝑟 et 𝜕𝑔 𝜕𝜃 en fonction des dérivées partielles de 𝑓.
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