Jury proposé | MM. BOTJLIGAI{D CHOQT`DT .GERMAÏN RESUME

Jury proposé |
MM. BOTJLIGAI{D
CHOQT'DT
.GERMAÏN
RESUME DE LA T}T$SE DD DOC?ORAI ES SCTENCES MA:IHDMAIIS.UES
présentée par BASTIAIII Andrée
Licenciée e s-Matlrématiques
Docteur Jème cyc1e en Mathématiques
thèse préparée à ltlnstitut H. Polnearé
solls la directlon de U. le Professeur CHOQUPT
DÏFFERENTTABILITD DAI{S LES ESPACES LOCALEMENT
CONITE]GS - .DTSTRUCTURtsS
II
La première partj.e de la thèse est consacrée à La définl--
tion et à 1t étude de La notion de d,ifférentiabtl-ité dans les
espaces LocaLement convexes.
Soient E et F deux espaces LocaLement convexes, A un
ouvert de D et f une application de A dans F. On dit que f
est tangente à O en O slr pour tout voisinage Y de O dans
F et pour tout v { E, iL existe deux voisinages de O dans E,
U (.r) et Ut (r), teLs que Les conditions r vt É v + Ut (.r)
et tvr ( U (.r) entratnent f (tvt 1 Ê w. Cette notion se
conserve par composition, J.inéarité, produit. On dit que f
est différentiable en x € A etj-I" existe une appJ.ioation
llnéaire continue Df (") telLe que ltappJ.ioation r
soit tangente à O en O,

2
Si E est de dimension finier or salt que si f admet
des dérj-vées partl-elles oontinues en tout polnt de A, aLors f
est différentiable sur A. Pour étendre ce théorème au cas
J-nfLni, on est amené à poser : f est différentlable sur A
sir pour tout v { E, lrapplicatlon ! t -.--*5f (x + tr), où
t est un scalalre, admet une dérivée D.f (*, v) en t = O et
sL J.lapplication D.f r
(*, v) ---; o.r (*, v)
est eontlnue sur Ar(E.
On a J.es théorèmes t
Si f est différentiable sur A, alors f est différentiable en
tout poi,nt de A. De plus f est rruniformément différentiablerl
sur tout compact de E. La différentiablllté se congerve par
oompositj-on. Une autre notj.on dtapplication différentiable sur
A est .introduite et les relations entre ces deux notj.ons
(q,rf coincident si E est un espace de Banach réflexif par
exemple) sont étudléee,
De même
gn un point de
enxsifest
on
A,
rf.
étudie 1a différentiablllté dtordre n de f
puLs sur A ! f est n fols dl.fférentiable
I foi.s différentiab].e en x et stll exiete
une appJ-J-cation multil-inéaire séparément contlnue Dnf (*)
d,e En dans F vérifiant La condition suivante r
Pour tout v € E et pour tout woisinage de O dans F, tl,
exlste deux voisinages U (r.) et Ur (.r) de O dans D tels guer
si yt € v + Ut (.r) et tvr € U (r), on alt t
-
$<t"1 .
o.1v);
Dnr
(*)) e t\.
On dlt que f est n fois différentiable sur A si la restrlction
de f à tout sous-espace de dlmension n est n fois dlfféren-
tl-abJ.e, de différentieLle Dnf (*) et sl lrapplication r

3,
(*rtt! ..., trr) -*.-.
/ Dnf (*) (tt, r
!. r t r)
est contlnue sur A x En. Une fonctLon n foig dlfférentLable
sur A est n fois différentlable en tout point de A (formuJ-e
de Taylor). Lo différentiabil-ité dlordre n est conservée par
composition. Dtautres notions dtapplicatlons n fols différen-
tiables sur A sont définies et comparées avec celle-ci.
Des topologies sont consid.érées sur 1
r
espace Dn des
fonctions n fois différentiable sur A, à valeur dans Fr ainsi
que sur ltespace D des fonctions lndéfiniment différentiables
sur A. On obtl-ent par exemple t
Sl E est métrLsabl-e et F (quasi-) complet, alors Oto et Dc
et
sont (quasi-) complets. Si E est métrisable et compl,et
si F est un espace de Montel, alors D. est un espaee de
quasi-compJ.et. Si E est un espace (Of') et si F est un
de Montel, alors tout borné de D. est précompact.
Montel
espace
Solt V un ensemble, La donnée dtun atlas compJ.et A
de E dans V, compatible avec l-e pseudogroupe des automorphis-
mes locaux de E qui sont n fois différentiables ainsi que
leurs l-nverses, et tel 'que J.a topologj-e comespondante sur V
soit aéparde, définit sur V une structure de E-variété n foi.s
dlfférentiabLe. On montre comment La théorie dee iets lnfini-
tésimaux et des variétés de dimension finl.e s t
étend aux E-
variétés. La prlncJ.pale difficulté provlent de ce que les
espaces fibrés à groupe structuraL topologique de La théorie
cJ-assigue devi.ennent i-cl des espaces flbrés à groupe structu-
ral. appelé I'hypotopologlquerf , Il- en résulte gue le théorème
de transitivité des prolongements dlune varlété ne ntétend
pJ-us aux E-variétés (sauf dans certains cas''par exemple sL

4,
E est métrlsabLe). loutefolsr oû montre que ce théorèrne est
vériflé pour 1es pnolongements le€ plus utlles (j"ts dtordre r,
Gr - vitesses, proJ-ongenents tensorlels).
Etant données une E-variété V et une F-variété Vt r on
étudie .les applications n fois différentiab]-es drun ouvert A
variable de V, à valeurs dans Vt et on définlt différentes no-
tions de différentielLes si v ou vt est un espace locaLement
convexe, Dans le cas général, ltespace de ces appllcations est
muni de topol-ogies.
Partant de La catégorj-e des applications J-inéaires
(contj-nues) atun espace vectoriel (topoLoglque) aans un autre,
't
sur laqueJ-le on définit une structure dtordrer orr introduit la
notion de catégorie inductive de classe vectorteLI-e (topologi-
gue) qui est à la base de toute lrétude. Une dlstructure est
un élément dtune catégorLe ind.uctlve de c.lasse vectoriel1e
(topologique) vérifiant de plus une condition de compJ.étlon al-
gébrlque (.t une condition de complétion topologique).
On montre que la pJ.upart des opérations faites sur les
catégories lnductives stétendent aux dLstructures. En partJ.-
culier; 1es procédés dté.largissement complet et de passage aux
Jets locaux permettent de former de nouvelres catégorJ.es de
dlstructures. Le prLncipal problène consldéré est cetui de Ia
construetion de la pJ-us petlte catégorie de distructures conte-
nant une catégorie vectorielle (topologique) aonnée et répon-
dant à certaines condLtions suppléraentalres , La néthod.e
employée conslste à résoudre ce problème Ilocaler:entfr en utL]-l-
sant simultanément La structure algébrlque et la strueture
topologieue r puls à rrrecoLlerrt ces solutions locales par un
moyen algébrique, de sorte à obtenlr une catégorle de

5.
dLstructures. On donne certains cas dans lequels on peut
aussi trouver les solutions l-ocales dtune façon purement algé-
brrique.
Cas particuliers : Complétlon au sens dtAronazajn ; différentes
notlons de distrj-bution ; eourants ; divj-seurs. Etude de
distributions ("t courants) générallsant les appllcations diffé-
rentiables dtune E-variété dans une F-variété et possédant les
principales propriétés des distributions vectorielles de
L. Schwartz.
Les distructures permettent de retrouver simplement et
de généraliser certains résultats connusr par exemple r
théorème dtéchange de la multiplicati-on et de la convolutlon
par transformation de Fourier dans des cas plus généraux,
étude des parties flnies. Elles ont beaucoup dfapplications
nouveJ-Les, notamment dans La théorLe des équations aux déri-
vées partielles et la résolution de problèmes de Cauchy de
type simple ou mixte. En particulier I résol-ution effective
de problèmes de mécanique ou de physique mattrématique conure
le problème de Burmister. Ces appJ-ications seront déveJ-oppées
dans un article ultérieur.