Jury proposé | MM. BOTJLIGAI{D CHOQT`DT .GERMAÏN RESUME

proposé
Jury
|
MM. BOTJLIGAI{D
CHOQT'DT
.GERMAÏN
RESUME DE LA T}T$SE DD DOC?ORAI ES SCTENCES MA:IHDMAIIS.UES
présentée
par
Licenciée
e s-Matlrématiques
Docteur
solls la
Andrée
Jème cyc1e en Mathématiques
préparée
thèse
BASTIAIII
directlon
à ltlnstitut
de U. le
H. Polnearé
Professeur
CHOQUPT
DÏFFERENTTABILITD
DAI{S LES ESPACES LOCALEMENT
CONITE]GS - .DTSTRUCTURtsS II
La première
tion
partj.e
à 1t étude
et
de la
de La notion
thèse
est
consacrée
à La définl--
de d,ifférentiabtl-ité
dans les
espaces LocaLement convexes.
Soient
ouvert
est
de
D et
tangente
F et pour
et tvr
conserve
(r),
une application
à
pour
LocaLement convexes,
de A dans F.
tout
voisinage
On dit
Y
de
A
un
que
f
O dans
de O dans E,
{ E, iL existe deux voisinages
teLs que Les conditions
r vt É v + Ut (.r)
composition,
continue
tangente
deux espaces
entratnent
différentiable
llnéaire
soit
v
( U (.r)
par
f
F
à O en O slr
tout
U (.r) et Ut
est
E et
en
x
Df
(")
O en O,
(tvt 1 Ê w.
Cette notion se
produit.
J.inéarité,
On dit que f
f
€ A etj-I" existe une appJ.ioation
telLe que ltappJ.ioation
r
2
Si E est
partl-elles
des dérj-vées
est
différentiable
pour tout
sir
est
oontinues
sur A.
v
un scalalre,
sL J.lapplication
Si
eontlnue
f
est
{ E, lrapplicatlon
!
sur
tout
polnt
admet
t -.--*5f
(*,
D.f
aLors
de A,
ce théorème
au cas
sur
A
(x + tr),
en t
v)
f
où
= O
et
r
o.r (*, v)
A r ( E .O n a J . e s t h é o r è m e s
de A.
f
différentlable
admet une dérivée
différentiable
poi,nt
tout
Pour étendre
:
que si
salt
en tout
est
D.f
sur
or
f
(*, v) ---;
est
finier
amené à poser
on est
J-nfLni,
t
de dimension
sur
De plus
compact de E.
t
alors f est différentiable
en
est rruniformément différentiablerl
A,
f
La différentiablllté
par
se congerve
Une autre notj.on dtapplication
oompositj-on.
différentiable
.
i
n
t
r
o
d
u
i
t
e
A est
et les relations
entre ces deux notj.ons
(q,rf
coincident
exemple) sont
E est
si
1a différentiablllté
de A , p u L s s u r A !
e n x s i f e s t
rf.
I
Pour tout
exlste
yt
si
vérifiant
v € E
pour
et
de f
que f
à tout
est
$<t"1
n fois
sous-espace
tl-abJ.e, de différentieLle
et
contlnue
suivante
stll
exiete
(*)
Dnf
r
de O dans F,
tl,
(.r) de O dans D tels
€ U (r),
tvr
n de f
dl.fférentiable
en x
woisinage
tout
dtordre
n fols
séparément
U (r.) et Ur
(.r) et
On dlt
est
La condition
deux voisinages
€ v + Ut
f
foi.s différentiab].e
une appJ-J-cation multil-inéaire
d,e En dans F
par
étudléee,
De même o n é t u d i e
gn un point
un espace de Banach réflexif
sur
on alt
guer
t
. o . 1 v ) ;D n r ( * ) ) e t \ .
différentiable
sur A si
de dlmension
Dnf
(*)
et
n est
sl
la
n fois
restrlction
dlfféren-
lrapplication
r
3,
(*rtt!
est
n fois
sur A sont
tiables
Des topologies
n fois
fonctions
si
F est
mes locaux
l-nverses,
aéparde,
définit
si
atlas
de dimension
à groupe
structuraL
finl.e
compJ.et A
des automorphis-
des prolongements
(sauf
de ce que les
de La théorie
topologique
à groupe
gue le
dlune varlété
dans certains
n foi.s
dee iets lnfinis t étend aux E-
provlent
cJ-assigue devi.ennent i-cl des espaces flbrés
Il- en résulte
ral. appelé I'hypotopologlquerf ,
pJ-us aux E-variétés
un espace
de E-variété
comment La théorie
difficulté
de transitivité
F est
précompact.
La donnée dtun
La prlncJ.pale
espaces fibrés
c
compl,et e t
un espaee de Montel
D. est
sur V une structure
des variétés
et
alors
et D
Oto
que
ainsi
sont n fois différentiables
sur V
tel 'que J.a topologj-e comespondante
On montre
dlfférentiabLe.
variétés.
et
et
avec l-e pseudogroupe
compatible
de E qui
alors
complet,
borné de D. est
tout
V un ensemble,
de E dans V,
tésimaux
t
un espace (Of') et
Si E est
dans Fr ainsi
différentiables
Si E est métrisable
complets.
alors
Solt
soit
exemple
un espace de Montel,
de Montel,
1 respace Dn des
consid.érées sur
métrLsabl-e et F (quasi-)
quasi-compJ.et.
leurs
par
différen-
comparées avec celle-ci.
lndéfiniment
On obtl-ent
(quasi-)
n fols
D des fonctions
sur A.
conservée par
est
sur A, à valeur
ltespace
sont
n
différentiable
que sur
Sl E est
sont
de A (formuJ-e
dtapplicatlons
et
définies
dlfférentLable
point
dlordre
notions
Dtautres
composition.
r !. r t
r)
n foig
en tout
différentlable
Lo différentiabil-ité
de Taylor).
(tt,
(*)
Dnf
Une fonctLon
sur A x En.
contlnue
sur A est
-*.-./
trr)
...,
cas''par
structuthéorème
ne ntétend
exemple sL
4,
métrlsabLe).
E est
pour
vériflé
Etant
tions
données une E-variété
n fois
de V, à valeurs
plus
(j"ts
utlles
dtordre
r,
si
et
v ou vt
cas général,
Dans le
et une F-variété
V
différentiab]-es
dans Vt
de différentielLes
convexe,
le€
proJ-ongenents tensorlels).
.les applications
variable
oû montre que ce théorèrne est
1es pnolongements
Gr - vitesses,
étudie
loutefolsr
Vt r on
ouvert A
drun
on définlt
différentes
no-
est un espace locaLement
ltespace
de ces appllcations
est
muni de topol-ogies.
Partant
de La catégorj-e
(' c o n t j - n u e s t) a t u n
sur
laqueJ-le
notion
on définit
est
un élément
(topologique)
gébrlque
(.t
à la
dtune
culier;
que la
lnductives
construetion
permettent
ind.uctlve
nant
une catégorie
dant
à certaines
employée conslste
simultanément
topologieue r puls
moyen algébrique,
topologique).
faites
aux dLstructures.
de former
complet
catégorie
vectorielle
(topologique)
les
En partJ.-
catégorJ.es
consldéré
pJ-us petlte
sur
de passage aux
et
de nouvelres
problène
est
de compJ.étlon al-
pJ.upart des opérations
dté.largissement
(topologi-
Une dlstructure
une condition
stétendent
la
de c.lasse vectoriel1e
de complétion
Le prLncipal
de la
orr introduit
vectorteLI-e
lrétude.
de plus
une condition
1es procédés
Jets locaux
dlstructures.
sant
catégorLe
aans un autre,
dtordrer
de classe
base de toute
vérifiant
On montre
catégories
une structure
inductive
J-inéaires
(topoLoglque)
espace vectoriel
de catégorie
gue) qui
des applications
est
cetui
de Ia
de distructures
aonnée et
de
conte-
répon-
condLtions
suppléraentalres ,
La néthod.e
à résoudre ce problème Ilocaler:entfr
en utL]-l-
La structure
à rrrecoLlerrt
de sorte
algébrlque
ces solutions
à obtenlr
et
la
strueture
par un
locales
une catégorle
de
5.
On donne certains
dLstructures.
trouver
aussi
les
l-ocales dtune façon
solutions
on peut
cas dans lequels
purement algé-
brrique.
Cas particuliers
notlons
au sens dtAronazajn
rentiables
("t
Etude de
; eourants
; divj-seurs.
courants) générallsant
les appllcations
diffé-
dtune E-variété
principales
propriétés
et possédant
dans une F-variété
des distributions
vectorielles
les
de
Schwartz.
permettent
Les distructures
de généraliser
résultats
certains
de retrouver
connusr par
théorème dtéchange
de la multiplicati-on
par
de Fourier
transformation
étude des parties
flnies.
vées partielles
type
simple
de problèmes
et
la
ou mixte.
Elles
résolution
problème de Burmister.
dans un article
ultérieur.
et
exemple r
et de la
convolutlon
généraux,
ont beaucoup dfapplications
des équations
de problèmes
En particulier
de mécanique
simplement
dans des cas plus
nouveJ-Les, notamment dans La théorLe
le
; différentes
de distrj-bution
distributions
L.
: Complétlon
de Cauchy de
I résol-ution
ou de physique
aux dérieffective
mattrématique
Ces appJ-ications
seront
conure
déveJ-oppées