Géométrie différentielle : exercices

Géométrie différentielle : exercices
Séance 2 – 22 février 2012
Exercice 1. Montrer que le cercle S1 , muni de la topologie induite par R2 , est une
variété différentiable. Quel est le nombre minimal de cartes d’un atlas de S1 ?
Correction. Du point de vue topologique, S1 est bien séparé et à base dénombrable
car sa topologie est induite par R2 .
On peut définir un atlas à deux cartes (U, ϕ) et (V, ψ), où
U = S1 \ {(1, 0)}
et ϕ : U → ]0; 2π[ : (x, y) 7→

arccos(x)
si y ≥ 0
2π − arccos(x) si y < 0
V = S1 \ {(−1, 0)}
et ψ : V → ]−π; π[ : (x, y) 7→

arccos(x)
− arccos(x)
si y ≥ 0
si y < 0
et les applications réciproques sont données par
ϕ−1 (θ) = (cos(θ), sin(θ)) et ψ −1 (θ) = (cos(θ), sin(θ))
de sorte que
(ψ ◦ ϕ−1 )(θ) =
et (ϕ ◦ ψ −1 )(θ) =

θ
θ − 2π

θ + 2π
θ
si 0 < θ < π
si π < θ < 2π
si −π < θ < 0
si 0 < θ < π
Les cartes U et V sont bien des ouverts de S1 (pourquoi ?), les applications ϕ
et ψ sont continues (pourquoi ?), leur réciproque également (pourquoi ?) donc ce
sont des homéomorphismes (parce que !). De plus, il est clair que les applications de
changement de cartes sont C∞ (pourquoi ?).
D’un autre côté, 2 est le nombre minimal de cartes, sinon S1 serait homéomorphe
à R, ce qu’il n’est notoirement pas (pourquoi ?).
Exercice 2. Montrer que le groupe de matrices
def
t
n
SU(2) = A ∈ Gl(2, C) t.q. ĀA = Id
o
det A = 1
est une variété différentiable de dimension 3.
Aide Expliciter la définition de SU(2) et utiliser le fait que S3 est une variété différentiable.
Correction.
Une matrice A de SU(2) s’écrit
!
A=
a b
c d


āa + c̄c




b̄b + dd
¯
=1
=1
avec


āb + c̄d = 0




ad − bc = 1
et ces équations impliquent
ā = āad − ābc = (1 − c̄c)d + c̄dc = d
¯ − (1 − dd)c
¯ = −c
b̄ = b̄ad − b̄bc = −dcd
et
donc le système est équivalent à


āa + b̄b




=1
d = ā
c = −b̄
et on en déduit
(
SU(2) =
!
)
a b
∈ Gl(2, C) t.q. |a|2 + |b|2 = 1
−b̄ ā
ce qui fournit un homéomorphisme avec S3 , et donc une structure de variété sur
SU(2).
Exercice 3. On considère la sphère S3 ⊂ R4 comme les quaternions unités :
S3 = {q ∈ H t.q. q q̄ = 1} .
Soit Φ : U → R3 : x + iy + jz + kw 7→ (y, z, w) où
n
o
U = x + iy + jz + kw ∈ S3 t.q. x > 0 .
Pour chaque q ∈ S3 , on définit la carte (Uq , ψq ) par
def
n
o
ψq : Uq = p ∈ S3 t.q. q −1 p ∈ U → B(0, 1) ⊂ R3 : p 7→ Φ(q −1 p)
2
1. Vérifier que S3 est la sphère usuelle de R4 .
2. Vérifier que (Uq , ψq ) est bien une carte (pour tout q ∈ S3 ).
3. Montrer que l’ensemble de ces cartes constitue un atlas différentiable pour S3 .
Correction. La sphère est considérée avec sa topologie induite, pour laquelle
U est bien un ouvert (pourquoi ?). On en déduit que Uq est également un ouvert
(pourquoi ?). De plus, comme q ∈ Uq , la réunion des Uq recouvre bien la sphère.
L’application Φ est évidemment continue (pourquoi ?) et sa réciproque
q
Φ−1 : B(0, 1) → S3 : (y, z, w) 7→ ( 1 − (y 2 + z 2 + w2 ), y, z, w)
est également continue (pourquoi ?), donc Φ est un homéomorphisme. On en déduit
que ψq a pour réciproque
ψq−1 : B(0, 1) → Uq : (y, z, w) 7→ qφ−1 (y, z, w)
et est également un homéomorphisme car composé d’homéomorphismes.
Enfin, on a
(ψq ◦ ψr−1 )(y, z, w) = Φ(q −1 rΦ−1 (y, z, w))
qui est bien différentiable sur son domaine, pour tout q, r : pour le voir sans calculs,
remplacer Φ−1 par une application à valeur dans R4 = H, et Φ par une application
dont le domaine est R4 , et utiliser le fait que c’est maintenant une composition
d’applications différentiables.
Exercice 4. Soit (X, T ) un espace topologique. On veut définir une topologie sur
def
X̄ = X t {∞}. Notons T¯ la collection des sous-ensemble U de X̄ tels que U est
ouvert dans X (lorsque ∞ ∈
/ U ), ou X \ U est compact avec la topologie induite par
X (lorsque ∞ ∈ U ).
1. Sous quelles conditions T¯ est-il un espace topologique ?
2. Si (R̄, T¯usuelle ) est un espace topologique, est-il homéomorphe à un espace
connu ?
3