Brève introduction mathématique

Brève introduction mathématique
Les fonctions trigonométriques
Les fonctions trigonométriques sont les fonctions sin ,
cos
et
tan
(respectivement
sinus, cosinus et tangente). Pour nous, ces fonctions nécessitent l’emploi de la calculatrice.
est un angle qui se mesure en degrés. Nous considérons ces fonctions comme une information
fournie par la calculette, elles seront reprises et détaillées au cours de mathématique.
Pour calculer la valeur du 10sin , on tape 10 sur la calculette, puis la touche SIN
Le résultat est 0,173648
Exemple de calculs :
0sin 0.................................................. 20sin 0,3420 .............................................
35sin 0,5736....................................... 30sin 0,5 ...................................................
90sin 1................................................ 50cos 0,6428.............................................
60cos 0,5............................................ 90cos 0......................................................
0tan 0.................................................. 20tan 0,3640.............................................
45tan 1................................................ 80tan 5,672...............................................
145sin 0,5736..................................... 145cos -0,8192..........................................
30sin -0,5......................................... 30cos 0,8660 ..........................................
On peut également calculer l’angle correspondant à la valeur d’une fonction trigonométrique
connue. Sur la calculette, on tape la valeur de la fonction puis les touches INV SIN
Avec ce modèle, répondez aux questions suivantes :
2
,
0
sin
11,54°.........................
7
,
0
sin
44,43°................................
0
sin
0°...................................
5
,
1
sin
pas de solution...................
2
,
0
cos
78,46°.........................
7
,
0
cos
45,57°...............................
4
tan
75,96°............................
5
,
0
tan
26,57°................................
Remarque : vous verrez, au cours de math, qu’on trouve plusieurs solutions à ces dernières
questions.
Mesures d’angle :
d
pour un angle mesuré en degrés, r pour le même angle mesuré en radians :
 rd 
180
Pour un cercle de rayon R:
La longueur de l’arc d Rs 
360
2
ou bien r Rs 
s
R

Application au triangle rectangle
cest l’hypoténuse du triangle rectangle
aest le côté opposé à l’angle
best le côté adjacent à l’angle
Relations :
Pythagore :222 bac 
c
a
sin
c
b
cos
b
a
tan
Ces relations s’utilisent pour un angle aigu.
En utilisant ces relations, on peut compléter le tableau ci-dessous :
 a b c
23,58° 2 cm 4,583 cm 5 cm
30° 2 cm 3,464 cm 4 cm
11,31° 3 mm 15 mm 15,30 mm
5° 2 cm 22,86 cm 22,95 cm
70.53° 11,31 m 4 m 12 m
Problèmes :
1. Quand le soleil est à 20° au-dessus de l’horizon, quelle est la longueur de l’ombre
projetée par une tour d’observation de 15 m ? 41,21 m
2. Un édifice de 100 m de hauteur projette une ombre de 120 m de longueur. Trouver
l’angle d’élévation du soleil. 39.8°
3. Une échelle est appuyée sur un édifice et son pied repose à 2m de l’édifice. A quelle
distance du sol se trouve le sommet de l’échelle et quelle est sa longueur si elle fait un
angle de 70° avec le sol ?5,495 m et 5,848 m
4. Un phare mesure 40 m de hauteur. Il est aperçu depuis un navire sous un angle de 15°. A
quelle distance du phare se trouve le navire ?149,3 m
5. Un homme avance de 500 m sur une route inclinée de 20°. A quelle hauteur au dessus de
son point de départ se trouve-t-il ? 171,0 m
6. Le rayon de la Terre est 6370 km. Calculer la distance qui nous sépare de l’équateur
sachant que nous vivons à 47° Nord. 5225 km
7. Une ficelle mesure 40 cm. On aimerait que cette longueur représente exactement un quart
de cercle. Calculer le diamètre du disque correspondant. 50,92 cm
8. Une montagne domine la mer à une altitude de 2800 m. La route qui y accède à une
inclinaison de 6% (rapport entre la dénivellation et la distance horizontale). Calculer la
longueur de la route qui monte jusqu’au sommet. 46750 m
c
b
a