Révisions mathématiques - Poly
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I. Fonction logarithme népérien :
a) Domaine de définition :
La fonction : x ↦f
(
x
)= ln x est définie pour x > 0 ; c’est-à-dire =]0;+∞[
Par extension, les fonctions : x ↦f
(
x
)= ln u sont définies pour u(x) > 0
Exemple : la fonction x ↦()= (1−2) est définie pour 1−2>0⟺<
; c’est-à-
dire =] −∞;1/2[
b) Continuité, dérivabilité, dérivée, sens de variation :
La fonction : x ↦f
(
x
)= ln x est continue sur ]0;+∞[, et dérivable sur ]0;+∞[
La dérivée de la fonction : x ↦f
(
x
)= ln x est ()=
Or, ()=
>0 ]0;+∞[,donc la fonctionlnest sur ]0;+∞[
Par extension, la dérivée de la fonction : x ↦f
(
x
)= ln u est ()=
Exemple : la fonction x ↦()= (1−2) est dérivable sur ]−∞;1/2[, et,
pour tout ∈]−∞;1/2[,()=
=
c) Limites :
Les limites aux bornes de l’ensemble de définition de f(x)= ln x sont :
→= + ∞
→= − ∞
D’où la représentation graphique de la fonction logarithme népérien :
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Autres limites :
→ .=
→.= (∈ℕ∗)
→
=
→
= (∈ℕ∗)
→ (+)
=
d) Propriétés algébriques :
()=()+()
=()−()
= −()
()=.()∈ℤ √=
.()
==
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e) Equations / inéquations :
ØPour résoudre des équations ou des inéquations avec des ln, il faut :
·Spécifier avant tout le domaine de définition de l’équation/inéquation
·Se ramener, grâce aux propriétés algébriques, à la configuration suivante :
lnA = ln B , afin de pouvoir écrire : A = B (même chose pour < ou >)
exemple : résoudre (+4
)+(+1
)=(+ 10) (E)
l’équation est définie ssi +4>0
+1>0
+10>0
⟺>−4
>−1
>−10⟺>−1⟺=] −1;+∞[,
>−1,()⟺[(+4
)(+1
)]=(+ 10)⟺[(²+5+4
)
]=(+ 10)
>−1,()⟺²+5+4=+10⟺²+4−6=0
Δ= 36 ⟹ =−5∉ et =1∈
={
1
}
ØPour les équations du type a(lnx)+blnx+c=0, définie sur=]0;+∞[, on procède au
changement de variable suivant : =
(ne pas oublier de revenir à x quand on résolu l’équation du second degré : aX² + bX + c = 0)
Remarque : la fonction logarithme népérien de x représente l’aire sous la courbe de la fonction
inverse
ò
=xdt
t
x11
ln
0 1 x
y = 1/t
A = ln x
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II. Fonction exponentielle :
a) Domaine de définition :
La fonction : x ↦f
(
x
)=exp x= e est définie pour tout ∈ℝ
Attention : la fonction x ↦()=√ est définie pour 1−4≥0⟺≤
; c’est-à-dire
=] −∞;1/4]
b) Continuité, dérivabilité, dérivée, sens de variation :
La fonction : x ↦f
(
x
)=e
est continue sur ℝ, et dérivable sur ℝ
La dérivée de la fonction : x ↦f
(
x
)=e
est ()=e
Par extension, la dérivée de la fonction : x ↦f
(
x
)=e
est ()=u
.e
Exemple : la fonction x ↦()=est dérivable sur ℝet,
pour tout ∈ℝ,()= 3.
Comme ()=e
>0 ℝ ,la fonctioneest sur ℝ
c) Limites :
Les limites aux bornes de l’ensemble de définition de f(x)= ln x sont :
→= + ∞
→=
D’où la représentation graphique de la fonction exponentielle :
6
7
8
9
1
/
9
100%
