III. Fonctions - Emmanuel MORAND

Sup Tsi - Cours de math´ematiques
III. Fonctions
1 G´en´eralit´es sur les fonctions
D´efinition 1. Une fonction f`a valeurs r´eelles d´efinie sur un intervalle I⊂Rfait correspondre `a tout
x∈Iun unique r´eel f(x)appel´e image de xpar la fonction f.
On note F(I, R)l’ensemble des fonctions `a valeurs r´eelles d´efinies sur un intervalle I⊂R.
D´efinition 2. On appelle repr´esentation graphique d’une fonction f:R→Rl’ensemble des points du
plan de coordonn´ees (x;f(x)) pour x∈R.
Exercice 1. Repr´esenter graphiquement la fonction f:x7→ (x−3)2+ 1.
Exercice 2. Expliquer comment obtenir les repr´esentations graphiques des fonctions x7→ f(x) + a,x7→
f(x+a),x7→ af (x)et x7→ f(ax)`a partir de la repr´esentation graphique de fpour a∈R.
D´efinition 3. Une fonction f∈ F(R,R)est dite :
•paire si f(−x) = f(x)pour tout x∈R.
•impaire si f(−x) = −f(x)pour tout x∈R.
•p´eriodique si il existe T∈R∗tel que f(x+T) = f(x)pour tout x∈R.
Exercice 3. D´eterminer la parit´e des fonctions puissances x7→ xnpour n∈N.
Exercice 4. Interpr´eter g´eom´etriquement la parit´e et la p´eriodicit´e d’une fonction f.
Exercice 5. On consid`ere la fonction f:x7→ cos(3x).´ Etudier la parit´e et la p´eriodicit´e de la fonction f.
D´efinition 4. Une fonction f∈ F(I, R)est dite :
•constante sur Isi pour tous x, y ∈Ion a f(x) = f(y).
•croissante (strictement croissante) sur Isi pour tous x, y ∈Iavec x6yon a f(x)6f(y)(avec
x < y on a f(x)< f (y)).
•d´ecroissante (strictement d´ecroissante) sur Isi pour tous x, y ∈Iavec x6yon a f(x)>f(y)
(avec x < y on a f(x)> f (y)).
•monotone sur Isi elle est croissante ou d´ecroissante sur I.
Exercice 6. ´ Etudier le sens de variation de la fonction carr´e sans utiliser la d´erivation.
Exercice 7. On consid`ere x, y ∈R, montrer que x6y⇐⇒ ex6ey.
D´efinition 5. Une fonction f∈ F(I, R)est dite :
•major´ee sur Isi il existe M∈Rtel que f(x)6Mpour tout x∈I,Mest alors appel´e majorant
de la fonction fsur I.
•minor´ee sur Isi il existe m∈Rtel que f(x)>mpour tout x∈I,mest alors appel´e minorant de
la fonction fsur I.
•born´ee si elle est `a la fois major´ee et minor´ee.
Exemple 1. Les fonctions cos et sin sont born´ees sur R.
Exercice 8. Montrer que la fonction f:x7→ x2
x2+ 1 est born´ee sur R.
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D´efinition 6. Une fonction f:I→Radmet :
•un maximum sur Isi il existe a∈Itel que f(x)6f(a)pour tout x∈I,f(a)est alors appel´e
maximum de la fonction fsur I.
•un minimum sur Isi il existe a∈Itel que f(x)>f(a)pour tout x∈I,f(a)est alors appel´e
minimum de la fonction fsur I.
•un extremum sur Isi elle admet un maximum ou un minimum sur I.
Exemple 2. Les fonctions cos et sin admettent −1et 1comme minimum et maximum sur R.
Remarque 1. Une fonction admettant un maximum est major´ee et une fonction admettant un minimum
est minor´ee.
Exercice 9. La fonction f:x7→ x2
x2+ 1 admet-elle un minimum et un maximum sur R?
D´efinition 7. On consid`ere deux fonctions u:R→Ret v:R→Rainsi que k∈R. On d´efinit les
fonctions :
ku :x7→ ku(x)
u+v:x7→ u(x) + v(x)
uv :x7→ u(x)v(x)
v◦u:x7→ v(u(x))
Exercice 10. Exprimer `a partir des fonctions f:x7→ 1,g:x7→ x2et h:x7→ sin(x)les fonctions
x7→ 1 + x2sin(x),x7→ sin(x2+ 2) et x7→ (2 sin(x)−1)2.
D´efinition 8. Une fonction f:I→Jadmet une fonction r´eciproque g:J→Isi tout ´el´ement y∈J
admet un unique ant´ec´edent x∈Ipar la fonction fet on note alors g(y) = x.
Exercice 11. La fonction f:R→R
x7→ x2
admet-elle une fonction r´eciproque ?
Exercice 12. Montrer que la fonction f: ] − ∞; 0] →[0; +∞[
x7→ x2
admet une fonction r´eciproque et l’ex-
pliciter.
Exercice 13. On consid`ere une fonction f:R→Radmettant une fonction r´eciproque g:R→R. Quel
est le lien existant entre les repr´esentations graphiques de fet de g?
2 D´erivation d’une fonction
D´efinition 9. Une fonction fd´efinie sur un intervalle ouvert Ide Rest dite d´erivable en a∈Isi le
quotient f(x)−f(a)
x−aadmet une limite quand xtend vers a, cette limite est alors appel´ee nombre d´eriv´e
de la fonction fen aet not´ee f′(a).
xa
f(x)
f(a)
La repr´esentation graphique de la fonction fadmet alors une tangente au point de coordonn´ees (x0;f(a))
de coefficient directeur f′(a).
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Propri´et´e 1. Soit fune fonction d´efinie sur un intervalle ouvert Ide Ret d´erivable en a∈Ialors la
courbe repr´esentative de fadmet une tangente au point M0(a;f(a)) d’´equation :
y=f′(a)(x−a) + f(a)
D´emonstration. Exigible.
Exercice 14. D´eterminer le point d’intersection de la tangente `a la courbe repr´esentative de la fonction
f:x7→ xe−xau point d’abscisse 2avec l’axe des abscisses.
Propri´et´e 2. On consid`ere une fonction f:R→Radmettant une fonction r´eciproque g:R→R, si fest
d´erivable en x∈Ravec f′(x)6= 0 alors gest d´erivable en y=f(x)et g′(y) = 1
f′(x)=1 f′◦g(y).
D´emonstration. Voir au chapitre XII.
Exercice 15. Interpr´eter graphiquement la propri´et´e 2.
Propri´et´e 3. On consid`ere une fonction f`a valeurs r´eelles d´efinie et d´erivable sur un intervalle ouvert I
de R, alors :
•Si f′= 0 sur Ialors fest constante sur I.
•Si f′>0(respectivement f′>0) sur Ialors fest croissante (respectivement strictement croissante)
sur I.
•Si f′60(respectivement f′<0) sur Ialors fest d´ecroissante (respectivement strictement d´ecrois-
sante) sur I.
D´emonstration. Voir au chapitre XII.
Exercice 16. ´ Etudier les variations de la fonction f:x7→ xe−xsur R.
3 Fonctions usuelles
3.1 Fonctions valeur absolue et partie enti`ere
D´efinition 10. On appelle fonction valeur absolue la fonction R→[0; +∞[
x7→ |x|
.
Exercice 17. Tracer la repr´esentation graphique de la fonction valeur absolue.
D´efinition 11. On appelle fonction partie enti`ere la fonction R→Z
x7→ ⌊x⌋
o`u ⌊x⌋repr´esente le plus
grand entier inf´erieur ou ´egal `a x.
Remarque 2. ⌊x⌋est l’unique nombre entier tel que ⌊x⌋6x < ⌊x⌋+ 1.
Exercice 18. D´eterminer ⌊√2⌋et ⌊−√2⌋.
Exercice 19. Tracer la repr´esentation graphique de la fonction partie enti`ere.
Exercice 20. Exprimer ⌊−x⌋en fonction de ⌊x⌋.
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3.2 Fonctions exponentielle et logarithme
D´efinition 12. On appelle fonction exponentielle l’unique fonction d´efinie et d´erivable sur R´egale `a sa
d´eriv´ee et valant 1en 0, on la note x7→ exp(x)avec e= exp(1).
y= exp(x)
e
Remarque 3. L’existence de cette fonction est admise.
Remarque 4. La fonction exp est d´erivable et exp′= exp .
Propri´et´e 4. Si uest une fonction d´erivable, alors la fonction exp(u)est d´erivable et (exp(u))′=u′exp(u).
D´emonstration. Exigible - On utilise le th´eor`eme de d´erivation d’une fonction compos´ee.
Propri´et´e 5. La fonction exp est croisssante et strictement positive, de plus :
lim
x→−∞ exp(x) = 0 lim x→+∞exp(x) = +∞
D´emonstration. Non exigible - On utilise la fonction x7→ exp(x) exp(−x) pour montrer que la fonction
exponentielle ne s’annule pas puis un raisonnement par l’absurde pour montrer la positivit´e stricte, on
montre que exp(x)>xpour tout x∈Rpour d´eterminer les limites.
Propri´et´e 6. La fonction exponentielle v´erifie les relations suivantes pour tous nombres r´eels xet yet pour
tout entier relatif n:
1. exp(x+y) = exp(x) exp(y)
2. exp(−x) = 1
exp(x)
3. exp(x−y) = exp(x)
exp(y)
4. exp(nx) = [exp(x)]n
D´emonstration. Non exigible - On ´etudie la fonction x7→ exp(x+y)
exp(x) exp(y).
Remarque 5. Ces formules justifient la notation exp(x) = ex.
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D´efinition 13. On appelle fonction logarithme et on note ln la fonction qui `a tout ´el´ement de l’intervalle
]0; +∞[associe son unique ant´ec´edent par la fonction exponentielle dans l’intervalle ]− ∞; +∞[.
y= ln(x)
e
Remarque 6. L’existence de cette fonction sera d´emontr´ee au moyen du th´eor`eme de la bijection.
Remarque 7. On a ln(1) = 0 et ln(e) = 1 .
Remarque 8. On a Si x∈R,ln(ex) = xet Si x∈]0; +∞[, eln(x)=x.
Propri´et´e 7. La fonction ln est d´erivable sur ]0; +∞[et Si x∈]0; +∞[,ln′(x) = 1
x.
D´emonstration. Exigible - On utilise la propri´et´e de d´erivation d’une fonction r´eciproque.
Remarque 9. La fonction ln est donc la primitive sur ]0; +∞[de la fonction inverse s’annulant en 1.
Propri´et´e 8. Si uest une fonction d´erivable et strictement positive, alors la fonction ln(u)est d´erivable
et (ln u)′=u′
u.
D´emonstration. Exigible.
Propri´et´e 9. La fonction ln est croissante, n´egative sur ]0; 1] et positive sur [1; +∞[, de plus :
lim
x→0ln(x) = −∞ lim
x→+∞ln(x) = +∞
D´emonstration. Exigible.
Propri´et´e 10. La fonction ln v´erifie les relations suivantes pour tous nombres r´eels xet ystrictement
positifs et pour tout entier relatif n:
1. ln(xy) = ln(x) + ln(y)
2. ln 1
x=−ln(x)
3. ln x
y= ln(x)−ln(y)
4. ln(xn) = nln(x)
5. ln(√x) = 1
2ln(x)
D´emonstration. Exigible.
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