rectangle sin -racine

1
A
B
C
A
côté opposé à A
hypoténuse
côté adjacent à A
Chapitre 8 : Géométrie
I. Triangles rectangles
1.Le théorème de Pythagore
Le côté le plus long dans un triangle rectangle est l’hypoténuse ; c’est le côté où il n’y a pas d’angle droit.
Le théorème de Pythagore dit :
« Dans un triangle rectangle, le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés. »
Ce qui donne dans ce triangle ABC rectangle en A :
BC 2 = AB 2 + AC 2
2.Définition du sinus, cosinus et de la tangente dans un triangle rectangle :
Dans tout triangle rectangle,
le sinus d’un angle aigu est le rapport entre le côté opposé à l’angle et l’hypoténuse
le cosinus d’un angle aigu est le rapport entre le côté adjacent à l’angle et l’hypoténuse
la tangente d’un angle aigu est le rapport entre le côté opposé à l’angle et le côté adjacent à l’angle.
Ce qui donne dans ce triangle ABC rectangle en C les relations trigonométriques suivantes :
Sin ….=
Cos ….=
Tan…..=
Propriétés :
 Dans un triangle rectangle, si  est la mesure d’un angle aigu, alors :
cos 2  + sin 2  = 1
tan sin
cos
 Si  est l’autre angle aigu du triangle, alors  et  sont complémentaires leur somme vaut 90°,
et on a : cos  = sin  .
A
B
C

2
A
BC
D
E
Exercices
A) Sur la figure ci-dessous, écris trois rapports égaux à sin
Cˆ A D
:
B) Recopie et complète en utilisant la calculatrice (résultats arrondis au dixième) :
a) x = 50°, donc cos x  …
b) x = 72°, donc sin x  …
c) cos x = 0,7, donc x  …
d) tan x =
5
3
, donc x  …
e) sin x = 0,5, donc x  ...
C) ABC est un triangle rectangle en A. Calcule la longueur demandée au mm près :
a)
Aˆ B C
= 68° ; AB = 12 cm ; AC  ?
b)
Aˆ C B
= 25° ; AB = 3,5 cm ; BC  ?
c)
Aˆ C B
= 48° ; AC = 7,4 cm ; BC  ?
d)
Aˆ B C
= 62° ; BC = 7 cm ; AB  ?
D) ABC est un triangle rectangle en A. Calcule l’arrondi au dixième de l’angle demandé :
a) AC = 5 cm ; AB = 12,2 cm ;
Aˆ B C
 ?
b) BC = 8,5 cm ; AB = 4,5 cm ;
Aˆ C B
 ?
c) BC = 10,8 cm ; AC = 7,4 cm ;
Aˆ C B
 ?
Précise à
chaque fois
dans quel
triangle tu te
places !

3
E) RST est un triangle rectangle en R tel que RS = 5 cm et ST = 8 cm.
Calcule la mesure de tous ses angles au degré près.
F) x est la mesure d’un angle aigu dans un triangle rectangle.
Sans calculatrice, calcule la valeur manquante dans chaque cas :
a) sin x = 0,6 cos x = … tan x = …
b) sin x = … cos x =
3
2
tan x = …
c) sin x =
15
17
cos x =
34
tan x = …
d) sin x =
10
26
cos x = … tan x =
10
24
G) Soit x la mesure d’un angle aigu d’un triangle rectangle,
démontre en développant le carré que : (sin x + cos x) 2 = 1 + 2 sin x cos x
H) Des angles particuliers…
a) cos 45° =
2
2
, déduis-en les valeurs exactes de sin 45° et de tan 45°.
b) sin 30° =
1
2
, déduis-en les valeurs exactes de cos 30° et de tan 30°.
c) Sachant que sin 30° =
1
2
, déduis-en les valeurs exactes de cos 60°, sin 60° et de tan 60°.

4
A
BC
H
3,4 cm
7,2 cm
37°
H
B
P
20°
AC
B
5 m
55 m
I) Calcule la longueur AH au mm près, puis l’aire de ABC arrondie au cm2.
J) Pour un maximum de sécurité, une échelle doit former avec un mur un angle de 20°.
Avec une échelle de 9 m, jusqu’à quelle hauteur de mur peut-on monter (au cm près) ?
K) Le sommet de la tour de Pise s’écarte de la verticale d’environ 5 m et se trouve à environ 55 m du sol. Calcule (au
degré près) l’angle
Aˆ B C
que fait la tour avec la verticale.

5
L) Triangle de référence à connaître
Résoudre le triangle ABC rectangle en A dans chacun des cas suivants (au dixième près)
a
b
c
54
32
46
38,6°
38,2
47,5
54,3
49°18’27 ‘’
Calculs :