Chapitre 7 : Probabilités

Probabilités
Chapitre 7 : Probabilités
I
Vocabulaire
I.A
Expérience aléatoire
Définitions :
• On appelle .................................................... une expérience dont on connait les
mais qu’on ne peut pas ................... à l’avance.
• Un des résultats possibles est appelé
, ou
............................................................
• L’ensemble de tous les événements élémentaires est appelé
...................
,
................................................
.............
de l’expérience.
de l’expérience, et est noté
.....
(on
lit «.......................»).
• Un sous-ensemble de Ω est appelé
...........................
. C’est une réunion de plusieurs
............................
.......................................
Exemples : On considère l’expérience aléatoire qui consiste à lancer un dé et à noter le résultat obtenu. On
a:
•
......................
sont des événements élémentaires.
• Ω = ......................................
• L’événement P : « Le nombre obtenu est pair » peut se définir par P = ......................
Remarques :
• Ω est aussi appelé
• ∅ est appelé
I.B
.
................................................
.
.........................................................
Union, intersection, événement contraire
Soit une expérience aléatoire d’univers Ω, et A et B deux événements de l’expérience.
Définition : L’............... (ou
) de A et B est notée
....................
correspond à l’événement : « Une issue de A
..........
.................
(qui se lit «
............................
»), et
une issue de B est réalisée ».
Exemple : Lors d’un lancer de dé, soient A l’événement « Le nombre est pair », et B l’événement « Le
nombre est plus grand ou égal à 4 ». Alors :
A = ..................... et B = ...................... De plus, A ∪ B = ............................
On prend en compte les issues qui sont soit dans A, soit dans B, soit dans les deux.
Définition : L’............................... de A et B est notée
l’événement : « Une issue de A
.........
.................
(qui se lit «
.........................
»), et correspond à
une issue de B est réalisée ».
Exemple : Dans l’exemple précédent, on a : A ∪ B =
la fois dans A et dans B.
. On prend en compte les issues qui sont à
...............
Représentation :
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Probabilités
Définition : On appelle événement contraire de A, noté A (qui se lit « A barre » ou « non A ») l’événement
constitué des issues de Ω qui ne sont pas dans A.
Exemple : Dans l’exemple précédent, A = {1; 3; 5}.
Représentation :
A
Ω
A
II
Probabilité sur un ensemble fini
II.A
Loi de probabilité
Définition : Soit une expérience aléatoire d’univers Ω = {e1 ; e2 ; . . . ; en } constitué de n issues.
Définir une loi de probabilité sur Ω, c’est associer à chaque issue ei un nombre pi ∈ [0; 1] appelé probabilité
de ei , tel que p1 + p2 + . . . + pn = 1.
On note pi = p(ei ). La loi de probabilité peut se résumer à un tableau.
Exemple : On considère l’expérience qui consiste à tirer une boule dans une urne contenant 3 boules rouges,
4 jaunes et 5 bleues. Alors l’univers Ω = {rouge ; jaune ; bleue} et la loi de probabilité de l’expérience est :
Issue
Rouge
Jaune
3
1
4
1
Probabilité
=
=
12
4 12
3
3
4
5
On vérifie que
+
+
= 1.
12 12 12
Bleue
5
12
Définition : La probabilité d’un événement A, notée P (A), est la somme des probabilités des issues qui
le composent.
Exemple : Dans l’exemple précédent, si A = {rouge ; bleue}, alors :
3
5
8
3
P (A) = P (rouge) + P (bleue) =
+
=
=
12 12
12
4
Remarque :
• P (Ω) = 1
• P (∅) = 0
II.B
Situation d’équiprobabilité
Définition : Lorsque dans une expérience aléatoire, toutes les issues ont la même probabilité de se réaliser,
on dit qu’il y a équiprobabilité.
Dans ce cas, s’il y a n issues possible, la probabilité de chacune est p =
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.
n
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Probabilités
Démonstration : Si on note Ω = {e1 ; e2 ; . . . ; en }, alors on sait que p(e1 ) + p(e2 ) + . . . + p(en ) = 1.
Comme toutes les probabilités sont égales, on peut noter p(ei ) = p (valable pour tous les i).
1
Dès lors, on a n × p = 1, soit p = .
n
Exemples :
• Un jeu de pile ou face est une situation d’équiprobabilité. Il y a 2 issues possibles (pile ou face), et chaque
1
issue a pour probabilité .
2
• Un lancer de dé équilibré à 6 faces est une situation d’équiprobabilité. Il y a 6 issues possibles, et chacune
1
a probabilité .
6
Définition : Soit E un ensemble fini. On appelle cardinal de E, et on note Card(E), le nombre d’éléments de E.
Exemple : Card({1; 2; 5; 7; 9}) = 5
Propriété : Soit A un événement dans une situation d’équiprobabilité d’univers Ω. Alors :
P (A) =
Card(A)
Nombre d’issues de A
=
Card(Ω)
Nombre d’issues de Ω
Exemple : On tire une carte au hasard dans un jeu de 52 cartes. On note A l’événement « La carte tirée est
7
Card(A)
=
.
une tête rouge, ou la dame de pique ». Alors Card(A) = 7, et P (A) =
Card(Ω)
52
III
Représentations graphiques
Dans une expérience aléatoire, si chaque issue consiste en une succession de tirages identiques, ou bien en une
sélection de différents critères, on peut représenter la situation par un arbre ou un tableau.
III.A
Tableau à double entrée
Dans un tableau à double entrée, les lignes et les colonnes représentent un critère ou une des expériences.
Âge
Exemple : Dans une classe, on relève la couleur des cheveux et l’âge des élèves :
14
15
16
Total
Couleur de cheveux
Blond Brun Total
2
1
4
8
10
5
.....
.........
.........
.........
.........
.........
On considère l’expérience qui consiste à choisir au hasard un élève de la classe. Dans ce contexte, on a les
probabilités suivantes :
Card(Blond)
16
8
• P ("L’élève est blond") =
=
=
Card(Ω)
30
15
12
2
• P ("L’élève est a 15 ans") =
=
30
5
1
5
=
• P ("L’élève est brun et a 16 ans") =
30
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Probabilités
III.B
Arbre de probabilité
Dans un arbre de probabilité, chaque niveau de branche représente un critère ou une des expériences.
Exemple : On jette 3 fois de suite une pièce équilibrée. La situation peut se résumer par :
1
2
1
2
1
2
IV.A
Pile
1/2
Face
1/2
Pile
1/2
Face
1/2
Pile
Pile
Pile
1
2
1
2
Si besoin, il faut rajouter les probabilités sur les
branches de l’arbre. En classe de seconde, les
arbres ne seront utilisés que pour des situations
d’équiprobabilité.
Face
Dans cette situation, on a :
• P ("2 piles et 1 face") =
Pile
1/2
Face
1/2
Pile
1/2
Face
• P ("3 piles") =
Face
1
2
IV
1/2
3
8
1
8
Face
Calculs de probabilités
Réunion et intersection
Théorème : Soient A et B deux événements d’une expérience aléatoire. Alors une formule relie les probabilités
de A, de B, de A ∩ B et de A ∪ B :
P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B)
Explication : Quand on compte P (A) + P (B), on compte deux fois la partie du milieu (A ∩ B). Pour trouver
P (A ∪ B), il suffit alors de la soustraire une fois.
Exemple : À une réunion d’entreprise, il y a des cadres, des agents de maîtrise, et des ouvriers, hommes
et femmes. En choisissant une personne au hasard, on sait que :
• La probabilité que la personne soit une femme est de 0, 45.
• P ("La personne est un cadre") = 0, 25
• Il y a 10% de femmes cadres.
Dans ce cas, la probabilité qu’une personne choisie au hasard soit une femme OU un cadre est de :
P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B) = 0, 45 + 0, 25 − 0, 1 = 0, 6
Conséquence : Si A et B sont incompatibles (ils ne peuvent pas se produire en même temps, c’est-à-dire
P (A ∩ B) = 0, alors P (A ∪ B) = P (A) + P (B).
IV.B
Événement contraire
Propriété : Soit A un événement, et A son événement contraire. Alors :
P (A) = 1 − P (A)
. Exemple : Dans l’exemple précédent, on a :
• P ("La personne est un homme") = 1 − 0, 45 = 0, 55
• P ("La personne n’est pas un cadre") = 1 − 0, 25 = 0, 75
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