Fonctions d`une variable réelle

Fonctions d'une variable réelle (M-1.1)
I. Fonctions définies par morceaux
Définition des fonctions en escalier : une fonction en escalier est une fonction constante par intervalles. Sa représentation
graphique est constituée de segments parallèles à l'axe des abscisses.
Exemples :
Soit f la fonction définie sur [ 1 ;+∞ [ par :
f ( t ) =−1 si 1⩽t<3
et f ( t ) =2 sinon
Soit E la fonction partie entière définie sur ℝ par :
pour tout n ∈ ℤ , si x ∈ [ n ; n+1 [ alors E ( x )=n
On peut retenir : « E ( x ) est le plus grand entier inférieur
ou égal à x . »
Soit g la fonction définie sur ℝ par g ( x )=( −1 ) E ( x )
Remarque : les fonctions en escalier peuvent présenter des points de discontinuité aux bords des intervalles.
Définition des fonctions affines par morceaux : une fonction affine par morceaux est affine par intervalles. Sa
représentation graphique est constituée de segments.
Exemples :
Soit f la fonction définie sur [ 1 ;6 ] par :
f ( t ) =−t+4 si 1⩽t⩽3
f ( t ) =2 t −5 si 3<t⩽4
1
f ( t ) =− t+3 si 4<t ⩽6
2
Remarque : la fonction f présente une discontinuité en
t=…
Soit g la fonction définie sur ℝ par :
g ( x )= ( −1 ) E ( x ) ( x−E ( x )−0 ,5 )
Remarque : la fonction g est continue sur ℝ
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II. Fonctions exponentielle et logarithme népérien
Fonction exponentielle
Fonction logarithme népérien
La fonction exponentielle, notée exp,
est l'unique solution de l'équation
différentielle sur ℝ avec
y' = y
condition initiale :
y ( 0 )=1
Conséquence pour tout réel x ,
exp' ( x ) =... et exp(0)=...
La fonction logarithme népérien, notée ln, est
la fonction qui à tout nombre réel strictement
positif x fait correspondre l'antécédent de x
par la fonction exp.
{
Conséquence : pour tout réel x >0 :
ln ( x )= y ⇔ x=e y
Exponentielle d'une somme : pour tous réels a et b on a :
exp(a+b)=exp(a) × exp(b)
e
On note le nombre d'Euler défini par : exp(1)= e
Ainsi pour tout entier relatif n , exp(n)= e n
En étendant cette notation : e a+b =e a ×eb
Signe d'une exponentielle : pour tout réel a , e a >0
1
n×a
a n
e− a = a
e =( e )
e
ea−b =
ea
b
e
a
2
e =√ e
a
x
x
Dérivée de exp : pour tout réel x , (e )'=e
Dérivée d'une fonction composée de exp : soit u une
fonction dérivable sur un intervalle I, alors la fonction
x→ eu ( x ) est dérivable sur l'intervalle I et pour tout réel
u (x)
u( x )
x ∈ I , ( e ) ' =u' ( x )×e
Exemples : ( e 2 x+3 ) ' =
( e x )' =
2
Pour tout réel x , ln (e x ) =x
Pour tour réel x >0 , e ln ( x )=x
En particulier, ln ( 1 )=0 et ln ( e )=1
Logarithme népérien d'un produit : pour tour réels a >0 et
b>0 , ln ( a×b )=ln ( a ) +ln ( b )
( 1a )=−ln (a )
a
ln ( )=ln ( a )−ln ( b )
b
ln (a n )=n ln ( a )
ln
ln ( √ a ) =
1
ln ( a )
2
1
x
Dérivée d'une fonction composée de ln : soit u une
fonction dérivable sur un intervalle I telle que pour tout
x ∈ I , u ( x )>0 alors la fonction x→ ln ( u ( x ) ) est
u' ( x )
dérivable sur l'intervalle I et ( ln ( u ( x ) ))' = u ( x )
Dérivée de ln : pour tout réel x >0 , ln ' ( x )=
Exemples : ln ( 2 x +3 ) est dérivable pour ...
et ( ln ( 2 x +3 ) )' =…
ln ( x 2+1 )' =
La fonction exp est strictement croissante sur ℝ donc pour La fonction ln est strictement croissante sur ℝ +* donc
pour tous réels a >0 et b>0 ,
tous réels a et b, e a =e b ⇔ a=b et e a <e b ⇔ a<b
ln ( a )=ln ( b ) ⇔ a =b et ln ( a )<ln ( b ) ⇔ a <b
x
+
x
e =0 et lim e =+∞
Limites de exp : xlim
→−∞
x →+∞
ln ( x ) =−∞ et lim ln ( x ) =+∞
Limites de ln : lim
x →+∞
x →0
+
x
–∞
exp '(x)
exp(x)
+∞
+
x
0
ln '(x)
+∞
0
ln
+∞
+
+∞
–∞
III. Fonctions puissances d'exposant réel
n
Soient a un réel strictement positif et n un entier naturel : a n=( e ln ( a ) ) =en ln ( a )
En étendant cette notation pour b un réel quelconque on a, a b =e bln (a )
Définition : soit α un nombre réel, la fonction puissance α est la fonction définie sur ℝ+ * par : x → x α
1
Exemple: la fonction puissance
est la fonction ...
2
La fonction puissance 0 est ...
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α
α−1
Théorème : soit α ∈ ℝ alors pour tout réel x >0 , on a : ( x )' =α x
Démonstration : ( x α )' =( eα ln ( x )) ' =…
Corollaire : soit α ∈ ℝ et u une fonction dérivable sur un intervalle I telle que pour tout réel x ∈ I , u ( x )>0
α
α− 1
Alors la fonction x → ( u ( x ) )α est dérivable sur l'intervalle I et pour tout x ∈ I, on a : (( u ( x ) ) )' =α u' ( x ) ( u ( x ) )
Sens de variation et limites d'une fonction puissance :
Si α<0
La fonction puissance α est strictement décroissante sur
l'intervalle ℝ+ *
α
α
+
De plus : lim x =+∞ et lim x =0
x →0 +
x → +∞
x
0
( x α )'
x
α
+∞
Si α>0
La fonction puissance α est strictement croissante sur
l'intervalle ℝ+ *
α
+
α
De plus : lim x =0 et lim x =+∞
x →0 +
x → +∞
x
0
( x α )'
–
+∞
0+
x
+∞
+
+∞
α
0+
Croissances comparées au voisinage de + ∞ :
ex
xα
lim
=+∞
lim
Soit α>0 , alors x →+∞ α
et x → +∞ ln ( x ) =+∞
x
Remarque : on retenir "en + ∞ l'exponentielle l'emporte sur les puissances" et " en + ∞ les puissances l'emportent sur le
logarithme népérien"
Exemples :
e x vs x 3
x0,5 vs ln ( x )
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IV. Fonctions circulaires
Dans un repère orthonormé direct ( O ; ⃗i ; ⃗j ) , on considère le cercle trigonométrique de centre
O et de rayon 1 noté U et le point A(1;0). À tout réel t , on fait correspondre le point M du
cercle U tel que : (⃗
OA;⃗
OM ) =t rad
Alors le point M a pour coordonnées M ( cos ( t ) ; sin ( t ) )
Exemples : cos(0)=... et sin(0)=...
π
π
cos
= ... et sin
=…
2
2
( )
( )
Valeurs remarquables des fonctions trigonométriques
Représentations graphiques des fonctions trigonométriques :
Périodicité des fonctions trigonométriques :
Les fonction sinus et cosinus sont 2 π _périodiques : pour tout réel t , cos ( t +2 π )=cos ( t ) et sin ( t +2 π )=sin ( t )
Remarque : soit φ un réel fixé, les fonctions t → cos ( t +φ ) et t → sin ( t +φ ) ont pour période ...
Les fonctions t → cos ( 2 π t+φ ) et t → sin ( 2 π t+φ ) ont pour période ...
2π
2π
t +φ et t → sin
t+φ ont pour période ...
Soit T >0 , les fonctions t → cos
T
T
2π
=ω est appelé pulsation.
Le nombre
t
Parité des fonctions trigonométriques :
La fonction cosinus est paire : pour tout réel t , cos (−t )=cos ( t )
(
)
(
)
La représentation graphique de la fonction cosinus est donc symétrique par rapport ...
La fonction sinus est impaire : pour tout réel t , sin (−t )=−sin ( t )
La représentation graphique de la fonction sinus est donc symétrique par rapport ...
Dérivées et sens de variations des fonctions trigonométriques :
Cosinus
Pour tout réel t , cos' ( t ) =−sin ( t )
Sinus
Pour tout réel t , sin ' ( t ) =cos ( t )
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( π2 )
( π2 )
Remarques : cos' ( t ) =cos t+
Remarques : sin ' ( t ) =sin t +
Exemple pour la tangente à la courbe représentative de la
fonction cosinus au point d'abscisse ...
Exemple pour la tangente à la courbe représentative de la
fonction sinus au point d'abscisse ...
Pour tout réel t , cos' ' ( t )= ( −sin ( t ) ) '=−cos ( t )
Pour tout réel t , sin ' ' ( t )=( cos ( t ) )' =−sin ( t )
t
0
cos ' ( t )=– sin ( t )
cos

t
–
sin ' ( t )=cos ( t )
1
–1
π
2
0
+
0

–
1
sin
0
Soient deux réels a et b alors pour tout réel t ,
( cos ( at+b ) )' =−a×sin ( at+b )
0
Soient deux réels a et b alors pour tout réel t ,
( sin ( at+b ) )' =a×cos ( at +b )
La fonction tangente :
sin ( t )
π
Pour tout réel t≠ +k π avec k ∈ tan(−t)=−tan(t) , tan ( t )= cos ( t )
2
La fonction tangente est π _périodique : tan ( t+π )=tan ( t )
La fonction tangente est impaire : tan (−t )=−tan ( t )
Pour tout réel t≠
1
π
=1+tan 2 ( t )
+k π avec k ∈ ℤ , tan ' ( t )=
2
cos ( t )
2
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