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Campus Universitaire Ait Melloul
Physique 2 - El Mokhtar El Ouardi - Année Universitaire 2016/2017
Année Universitaire: 2016 /2017
Filière SV
El mokhtar El Ouardi
TD de physique 2
Travaux dirigées de physique 2- Série N°2
Exercice N°1: On se propose d’étudier le mouvement d’un point matériel dans le système des
coordonnées polaires, il décrit une trajectoire suivant une loi suivante :
r=2acosθ avec θ = ωt (a et ω étant des constantes)
1- Déterminer la vitesse et l’accélération de M ainsi que leurs normes, dans le système des coordonnées
polaires.
2- Déterminer la vitesse et l’accélération de M ainsi que leur normes, dans le système des coordonnes
intrinsèques (Frenet).
3- Déterminer le rayon de courbure.
4- Déterminer la vitesse et l’accélération de M ainsi que leurs normes, dans le système des coordonnées
cartésiennes.
Exercice N°2: Dans le plan xOy, une droite Oxʹ tourne autour de Oz avec une vitesse angulaire constante
Un mobile M se déplace sur la droite Oxʹ suivant la loi : r = a sin θ avec θ=ωt et a = cte.
1. Déterminer à l’instant t en fonction de a et ω, la vitesse relative et la vitesse d’entraînement de M par
leurs projections dans le repère mobile xʹOyʹ. En déduire la vitesse absolue exprimée dans cette même
base de projection, et montrer que le module de celle-ci est constant.
2. Déterminer à l’instant t en fonction de a et ω, l’accélération relative, l’accélération d’entraînement et
l’accélération complémentaire de M par leurs projections dans le repère mobile xʹOyʹ. En déduire
l’accélération absolue exprimée dans cette même base de projection, et montrer que le module de celle-ci
est constant.
Exercice N°3 : (Mouvement curviligne) Un point M se déplace sur une spirale logarithmique
d’équations polaires paramétriques :
,
avec constant.
1) Dessiner schématiquement une spirale logarithmique. Représenter les axes des coordonnées polaires et
le repère de Frenet en un point M quelconque de cette trajectoire.
2) Calculer les composantes des vecteurs vitesse et accélération de M en coordonnées polaires. En
déduire les normes de ces vecteurs. Que vaut l’angle a que fait la vitesse avec le vecteur unitaire ⃗⃗⃗⃗ ?
3) Calculer le rayon de courbure de la trajectoire.
4) Le point M décrit la même spirale
mais cette fois-ci c’est la vitesse linéaire V qui est
constante. Comment varie alors la vitesse angulaire au cours du temps ?
Exercice N°4: Dans le plan OXY, un cercle de rayon R, de diamètre OA, tourne à la vitesse angulaire
constante ω autour du point O. On lie à son centre mobile O' deux axes
rectangulaires O'X'Y' (l’axe O'X' est dirigé suivant OA).
A l’instant t = 0, A est sur OX, OX et OX' étant colinéaires.
Un point M, initialement en A, parcourt la circonférence dans le sens
positif avec la même vitesse angulaire ω.
1/ Calculer directement les composantes des vecteurs vitesse et accélération
de M dans le repère OXY (en dérivant les composantes de ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ).
2/ Calculer les composantes de la vitesse et de l’accélération relatives de M
dans le repère O'X'Y' puis dans OXY.
3/ a/ Calculer les composantes de la vitesse d’entraînement dans le repère OXY par la loi de composition
des vitesses.
b/ Calculer de même les composantes de l’accélération d’entraînement dans le repère OXY; en déduire
l’accélération complémentaire (Coriolis).
4/ vérifier les expressions des composantes de la vitesse d’entraînement et celle de l’accélération
complémentaire en utilisant les expressions faisant intervenir le vecteur rotation ⃗⃗⃗ .
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Exercice N°5 : Chariot au repos, son toit OʹAʹ est incliné de
l’horizontale avec un angle θ. Il se déplace sur l’horizontale avec
une accélération constante γ0. On lâche sur le toit de ce chariot à
partir du point Oʹ une masse M sans vitesse initiale. On néglige
les frottements, soit le repère Rʹ du chariot.
1- trouver l’accélération de la masse M par rapport au repère Rʹ?
qu’est ce qu’elle représente ?
2- déduire la vitesse de M dans le repère Rʹ ? et la nature du
mouvement ?
3- déterminer la réaction du toit sur la masse M ?
Exercice N°6 : Une masse m glisse sans vitesse initiale
d’un point A dans un demi-cercle de rayon R (Voir
figure).
I - Si on néglige les frottements :
1- Est-ce que l’énergie totale (mécanique) de la masse se
conserve durant son mouvement?
2- déterminer sa vitesse au point B.
3- A quelle hauteur h1 la masse atteint ?
II- si on a la présence de frottements sur l’arc AB et la vitesse de la masse au point B vaut √ , calculer
le travail des forces de frottements. A quelle hauteur h2 la masse atteint si l’arc BC est lisse (pas de
frottements).
III- si on suppose qu’on se trouve dans le 2ème cas, et la masse m démarre avec une vitesse initiale V0. On
remarque qu’elle arrive au point C avec une vitesse nulle.
- déterminer le travail de la force de frottement. Calculer la vitesse de la masse au point B.
⃗ , un point P se déplace sur un cercle de rayon R
Exercice N°7: Dans le plan (XOY) d’un repère
et de centre I (R, 0, 0).
A l’instant t = 0 , P se trouve en A(2R, 0, 0) et possède la vitesse positive ⃗⃗⃗
.
On désigne par r et θ les coordonnées polaires de P.
1/ Former l’équation polaire du cercle, en déduire son équation cartésienne.
2/ Représenter sur la figure la base polaire ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ de P . Calculer en fonction de θ et de ses dérivées
successives par rapport au temps les composantes polaires des vecteurs vitesse ⃗ et accélération ⃗ de P
dans le repère ( ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗ ).
3/ Soit s l’abscisse curviligne de P (l’origine est en A).
• Donner l’expression de s en fonction de θ.
• Représenter sur la figure la base intrinsèque ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ de P .
• Calculer en fonction de θ et de ses dérivées successives par rapport au temps les composantes de ⃗⃗⃗ et ⃗
dans cette base.
• Calculer les composantes polaires de ⃗⃗⃗⃗ et de ⃗⃗⃗⃗⃗ . Retrouver dans ces conditions les composantes
polaires de ⃗⃗⃗ et ⃗ .
4/ On désigne par ω la vitesse angulaire de P, dont on suppose dans tout ce qui suit qu’elle est constante.
• Donner en fonction de t, les expressions de θ puis de ω.
• En déduire les expressions de ⃗ et ⃗ en fonction de t de ⃗⃗⃗ et ⃗ dans les bases polaire et de Frenet.
Exercice N°8: Un pendule est constitué d’une masse m accrochée au point M à un fil de masse
négligeable et de longueur l. Le fil est repéré par rapport à la verticale par l’angle orienté θ. Le
mouvement s’effectue sans frottement.
⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ la vitesse de M par rapport au référentiel R.
1/ Exprimer dans la base
2/ Etablir l’équation du mouvement en utilisant le théorème du moment cinétique dans chacune des deux
⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ et ( ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ). Démontrer qu’elles sont équivalentes Retrouver cette même
bases
équation en appliquant le principe fondamental de la dynamique.
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3/ En considérant des oscillations d’amplitude θ0, trouver l’expression de la tension du fil lors du passage
du pendule par sa position d’équilibre. Quelle est donc la condition sur la tension du fil pour que celui-ci
ne casse pas ?
Exercice N°9: Un point matériel M de masse m se déplace
sans frottement sur la surface intérieure d’un cône de
révolution d’axe (Oz), de sommet O et de demi angle au
sommet α.
A l’instant t, M0 a pour coordonnées cylindriques (r0, θ0, z0).
Dans la région considérée, l’accélération de pesanteur ⃗⃗ sera
⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗
considérée comme uniforme. Le référentiel
est galiléen.
1/ Montrer que la côte du point M, notée z, est donnée par :
𝑧
.
2/ Appliquer la relation fondamentale de la dynamique dans
et la projeter sur la base locale des coordonnées cylindriques ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ . Ecrire le système des trois
équations différentielles obtenues.
3/ Déduire la relation ̇
de l’expression de la composante orthoradiale de l’accélération du
point M.
4/ Mettre l’équation différentielle d’intégrale r (t ) sous la forme : ̈
5/ Pour quelle vitesse initiale
𝑧
le point M a-t-il un mouvement circulaire uniforme de rayon
r0 sur le cône, autour de l’axe (Oz)?
6/ Multiplier par 2 les deux membres de l’équation différentielle de solution r(t) et l’intégrer une fois par
rapport au temps t. Présenter l’équation différentielle obtenue sous la forme : ̇
.
Exercice N°10: Soit un référentiel de repère ( ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ). Une bille
assimilée à un point P, de masse m, est astreinte à se déplacer sans
frottements le long d’un demi-cercle de rayon a .(Figure ci-dessous).
Le point P est attaché à un fil élastique dont l’autre extrémité est fixée en
O'(OO' = a). Le fil possède une raideur k et une longueur à vide l0 . Le
point P est repéré par l’angle (Ox,OP) = θ.
1. a/ Exprimer le vecteur ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ en fonction de a, θ dans la base polaire
⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗ , En déduire l’expression du module O'P .
b/ Exprimer la tension ⃗ du fil en fonction de a, k, l0 et θ dans cette même base.
2. a/ Déterminer l’expression du vecteur vitesse ⃗ dans la base polaire.
b/ On note ⃗ la résultante des forces exercées sur la bille P. Donner l’expression de la puissance ⃗ ⃗ en
fonction de a et θ.
(c) En déduire l’énergie potentielle Ep dont dérive la force ⃗ .
3. (a) On suppose vérifiées les relations suivantes entre les paramètres :
√
Quelles sont les positions d’équilibre θ1 et θ2 pour
(b) Étudier la stabilité des équilibres obtenus.
?
Exercice 11 : Soit ℜ( ,𝑥𝑦𝑧) un référentiel orthonormé direct
et Galiléen, muni de la base ( , , ⃗ ). Soit 𝑀 un point
matériel de masse 𝑚. Le point 𝑀 glisse sans frottement le long
de la tige (𝑇) qui tourne dans le plan horizontal (𝑥𝑜𝑦) autour
de l’axe ( 𝑧) avec une vitesse angulaire constante 𝜔 (𝜑=𝜔𝑡 et
𝜔>0). 𝑀 est soumis, en plus de son poids ⃗⃗ et de la réaction
de la tige ⃗⃗ , à une force ⃗ =𝐹 ⃗ . Dans ces conditions, le
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mouvement de 𝑀 le long de la tige suit la loi ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =
( , , ⃗ ) est la base cylindrique liée à la tige.
⃗ , (𝑡 étant le temps et 𝑎 une constante positive).
N.B : Toutes les expressions vectorielles doivent être exprimées dans la base (⃗ , ⃗ , ⃗ ).
1) Calculer la vitesse ⃗ (𝑀/ℜ) et l’accélération (𝑀/ℜ) de 𝑀 dans ℜ en fonction de 𝑎, 𝑡 et 𝜔.
2) Déterminer ⃗ (𝑀/ℜ) le moment cinétique en du point 𝑀 ainsi que sa dérivée par rapport au temps
dans ℜ.
3) Déterminer les moments de chacune des forces agissant sur le point 𝑀.
4) En appliquant le théorème du moment cinétique, trouver les expressions des composantes de ⃗⃗ .
5) Déterminer (𝑀/ℜ) l’énergie cinétique du point 𝑀 dans ℜ ainsi que sa dérivée par rapport au temps
dans ℜ.
6) Déterminer les puissances de chacune des forces agissant sur le point 𝑀.
7) En appliquant le théorème de l’énergie cinétique, trouver l’expression de ⃗ .
Exercice 12 : Étude d’un pendule simple, théorème de l’énergie cinétique
Un pendule simple est constitué par un point matériel M de masse m, attaché en un point fixe O par un fil
inextensible de masse négligeable, de longueur l. Il oscille dans un plan vertical et sa position est repérée
par l’angle (algébrique) .
1) Donner l’expression de la vitesse ⃗ et de l’accélération du point M en fonction de la longueur l, de
la vitesse angulaire ̇ et de l’accélération angulaire ̈ et des vecteurs unitaires ⃗⃗⃗ et ⃗⃗⃗⃗ (coordonnées
polaires).
2) Faire l’inventaire des forces qui s’exercent sur le point matériel M. Appliquer le principe fondamental
de la dynamique dans le référentiel d’étude supposé Galiléen (référentiel lié à la salle où se déroule
l’expérience).
3) Sur quel axe faut-il projeter l’équation vectorielle ci-dessus pour obtenir l’équation différentielle du
mouvement.
4) Pour des petits angles, on peut écrire sin( )  (en radian). En utilisant la calculatrice, comparer sin( )
et
pour   0.10 rad ,   0.20 rad et   0.25 rad . Calculer pour chaque valeur de
l’écart relatif
  sin( )
.

Jusqu’où peut on faire l’approximation sin( )  si on s’autorise un écart relatif de 1%.
5) En faisant cette approximation (pour les petits angles) réécrire l’équation différentielle du mouvement.
Déterminer la période des oscillations T.
6) On prend (par convention) l’énergie potentielle nulle au point M0 situé sur l’axe vertical descendant
(repéré par
). Donner à un instant t quelconque l’expression de :
a) l’énergie potentielle Ep(t) du point matériel M en fonction de m, g, l et .
b) l’énergie mécanique Em(t) du point matériel M en fonction de m, l et ̇ . Em(t) est-elle constante ?
7) En dérivant l’expression de l’énergie mécanique retrouver l’équation différentielle du mouvement
(pour les faibles ).
8) En appliquant le théorème de l’énergie cinétique, calculer le module V de la vitesse du point M en
fonction de g, l, et ( étant la valeur de lorsque la vitesse de M est nulle). En quel point la vitesse
du pendule est maximale ?
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