Divisibilité - Division euclidienne

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Divisibilité - Division euclidienne
I Ensembles IN et ZZ
L'ensemble des entiers { 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; ... } est appelé ensemble des entiers naturels et noté IN.
L'ensemble des entiers { ... ; -3 ; -2 ; -1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; ... } est appelé ensemble des entiers relatifs,
il est noté ZZ .
Remarque
IN est une partie de ZZ : IN ⊂ ZZ .
Remarque
La somme et le produit de deux entiers naturels sont des entiers naturels.
La somme et le produit de deux entiers relatifs sont des entiers relatifs.
Propriété (admise)
Toute partie non vide de IN a un plus petit élément.
Exemples
Soit A = { 8 ; 12 ; 14 ; 21 } . A est une partie de IN . Le plus petit élément de A est 8.
Soit B l'ensemble des entiers naturels impairs. B est une partie de IN . Le plus petit élément de B est 1.
Remarque
Une partie non vide de ZZ n'a pas nécessairement de plus petit élément.
II Divisibilité
Définition
Soient a et b deux entiers relatifs.
S'il existe un entier relatif k tel que b = k x a ,
on dit que b est un multiple de a ou que a est un diviseur de b .
(on dit aussi que b est divisible par a, que a divise b, mais on ne dit jamais que b multiplie a)
Remarque
Pour indiquer que a divise b, on écrit parfois a | b.
Exemple
De l'égalité 54 = 6 x 9 , on peut déduire :
6 est un diviseur de 54, 9 est un diviseur de 54 (9 et 6 divisent 54),
54 est un multiple de 6, 54 est un multiple de 9.
Remarque
L'ensemble des multiples de 3 est l'ensemble des nombres de la forme 3 x k avec k ∈ ZZ .
L'ensemble des multiples de 3 est parfois noté 3ZZ .

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Exercice 01 (voir réponses et correction)
Démontrer que l'ensemble des multiples de 5 est égal à l'ensemble des multiples de -5.
Pour démontrer que deux ensembles E et F sont égaux, on peut démontrer que :
si x ∈ E alors x ∈ F , c'est-à-dire que E ⊂ F
et si x ∈ F alors x ∈ E, c'est-à-dire que F ⊂ E
Propriété (voir démonstration 01)
• Soient a et b deux entiers relatifs. Si a divise b et si b ≠ 0, alors | a | £ | b |.
• Tout entier relatif b ≠ 0 a un nombre fini de diviseurs.
Remarque
On peut traduire cette propriété en termes de multiples :
Si n est un multiple non nul de p, alors | n | ³ | p |.
Exercice 02 (voir réponses et correction)
Écrire tous les diviseurs de 36. Quel est leur nombre ?
Exercice 03 (voir réponses et correction)
Compléter : Un multiple de 0 est un entier relatif b tel que .........................
Quel est l'ensemble des multiples de 0 ?
Compléter : Un diviseur de 0 est un entier relatif b tel que .........................
Quel est l'ensemble des diviseurs de 0 ?
Quel est l'ensemble des multiples de 1 ?
Quel est l'ensemble des diviseurs de 1 ?
Propriété (voir démonstration 02)
Soient a, b et c trois entiers relatifs. Si a divise b, alors a divise bc.
Remarque
On peut traduire la propriété en termes de multiples :
Si b est un multiple de a, alors bc est un multiple de a.
Tout multiple d'un multiple de a est un multiple de a.
Propriété (voir démonstration 03)
Soient a, b et c trois entiers relatifs.
Si a divise b et si a divise c alors a divise b + c et a divise b - c.
Plus généralement si a divise b et si a divise c alors a divise tout nombre de la forme bu + cv où u et v
sont des entiers relatifs.
Remarque
On peut traduire la propriété en termes de multiples :
Si b et c sont des multiples de a, alors bu + cv est un multiple de a.
Exercice 04 (voir réponses et correction)
En décomposant 111 111 sous la forme 111 000 + 111, montrer que 111 divise 111 111
Démontrer que 111 divise 111 111 111 Démontrer que 111 divise 111 222
Exercice 05 (voir réponses et correction)
572 est un nombre de trois chiffres dont le chiffre médian 7, est la somme des chiffres extrêmes 5 et 2.
Vérifier que 572 s'écrit 550 + 22. En déduire que 572 est divisible par 11.
Donner trois autres nombres de 3 chiffres, divisibles par 11 et constitués de la même façon.

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Propriétés
Soient a, b, c des entiers relatifs.
• 1, -1, a, -a sont des diviseurs de a.
• Si a divise b alors -a divise b , a divise -b et -a divise -b.
• Si a divise b et si b divise a, alors a = b ou a = -b. (c'est-à-dire que | a | = | b | )
• Si a divise b et si b divise c, alors a divise c.
• Si a divise b alors pour tout entier relatif c, ac divise bc.
Exercice 06 (voir réponses et correction)
Écrire ces propriétés en termes de multiples.
Exercice 07 (voir réponses et correction)
Écrire les démonstrations des propriétés précédentes.
Exercice 08 (voir réponses et correction)
Calculer 111
2
et 111 111
2
. En déduire que 12 321 divise 12 345 654 321.
Démontrer de même que 1 234 321 divise 123 456 787 654 321
Exercice 09 (voir réponses et correction)
Soit n ∈ IN. Rappeler l'expression de la somme S = 1 + 5 + 5
2
+ ⋯ + 5
n-1
En déduire que 5
n
+ 19 est divisible par 4, pour tout n ∈ IN .
Exercice 10 (voir réponses et correction)
Soit p ∈ ZZ . Démontrer que p(p
2
- 1) est un mutiple de 2
Exercice 11 (voir réponses et correction)
Soit p ∈ ZZ . Démontrer que p(p
2
- 1) est un mutiple de 3.
En déduire que p(p + 1)(2p + 1) est un multiple de 3
III Division euclidienne
Propriété d'Archimède (voir démonstration 04)
Soit b un entier naturel non nul.
Pour tout entier naturel a, il existe un entier naturel n tel que a < nb .
Remarque
Cela revient à dire que l'ensemble des multiples de b (b ≠ 0) n'est pas majoré par a, et ceci pour tout a ∈ IN .
L'ensemble des multiples de b (b ≠ 0) n'est pas majoré.
Exemple
b = 3 ; a = 52 pour n ³ 18 , on a < nb.
Rappel : Technique de la division d'entiers naturels
Poser la division de 43 par 5.
On peut écrire 43 = 8 x 5 + 3.
43 s'appelle le dividende, 5 le diviseur, 8 le quotient et 3 le reste.
On a 3 < 5, le reste doit toujours être strictement inférieur au diviseur.
43
5
3
8

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Remarque
Les multiples de 5 sont 0, 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45 et on choisit 40 = 8 x 5 car 45 > 43.
Pour chercher le quotient d'une division, on cherche en pratique les multiples du diviseur et on choisit celui
qui précède immédiatemment le multiple supérieur au dividende.
Division euclidienne dans IN (voir démonstration 05)
Soit a un entier naturel et b un entier naturel non nul.
Il existe un unique couple (q ; r) d'entiers naturels tel que : a = bq + r et r < b.
a est le dividende, b le diviseur, q le quotient et r le reste.
On dit que le couple unique (q ; r) est le résultat de la division euclidienne de a par b.
Remarque
Si r = 0, alors a est divisible par b.
Exemple
Division euclidienne de 31 par 7: 31 = 7 x 4 + 3
Remarque
Pour faire avec une calculatrice la division euclidienne de 1715 par 71
Avec une TI 89
Le quotient est obtenu par intDiv(1715,71) (en français divEnt(1715,71) )
Le reste est obtenu par remain(1715,71) (en français reste(1715,71) )
Avec une TI 82 (qui ne connaît pas la division euclidienne)
On utilisera la fonction INT (partie entière)
Le quotient est obtenu par int (1715/71)
Une fois le quotient connu, on pourra trouver le reste
en calculant 1715 - 24 x 71
Avec un tableur
Le quotient est obtenu par ENT() (partie entière)
Le reste est obtenu par MOD( ; )
Remarque
Le reste d'une division euclidienne par 2 est soit 0 soit 1.
Tout nombre pair s'écrit sous la forme 2k avec k ∈ ZZ .
Tout nombre impair s'écrit sous la forme 2k + 1 avec k ∈ ZZ .
Exercice 12 (voir réponses et correction)
Démontrer que si n est un entier naturel impair, alors n
2
- 1 est divisible par 8.

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Exercice 13 (voir réponses et correction)
Quel est le reste possible dans la division euclidienne d'un entier naturel n par 3.
En déduire que tout entier relatif peut s'écrire sous l'une des formes 3k ; 3k + 1 ; 3k + 2 avec k ∈ ZZ .
Exercice 14 (voir réponses et correction)
Le 4 septembre 2002 est un mercredi, quel jour de la semaine sera le 4 septembre 2045 ?
Exercice 15 (voir réponses et correction)
Écrire la division euclidienne de 728 par 17.
En déduire qu'il existe un couple unique (q ; r) tel que q ∈ ZZ , r ∈ IN , r < 17 et -728 = 17q + r
Division euclidienne d'un entier relatif (voir démonstration 06)
Soit a un entier relatif et b un entier naturel non nul.
Il existe un unique couple (q ; r) , q ∈ ZZ et r ∈ IN tel que : a = bq + r et r < b
a est le dividende, b le diviseur, q le quotient et r le reste.
On dit que le couple unique (q ; r) est le résultat de la division euclidienne de a par b.
Exemple
La division euclidienne de -514 par 35 s'écrit : -514 = 35 x (-15) + 11
Attention, dans le cas d'entiers négatifs, les fonctions des calculatrices ne
donnent pas toujours les résultats attendus, elles peuvent donner un reste positif.
Il faudra donc faire preuve de vigilance dans leur utilisation et savoir rétablir
le résultat correct.
Exercice 16 (voir réponses et correction)
Soit x est un entier relatif. tel que le reste de la division euclidienne de x par 7 est 2.
Quels sont les restes des divisions euclidiennes par 7 de x
2
et de x
3
?
Exercice 17 (voir réponses et correction)
Programmation d'une calculatrice, pour faire la division euclidienne d'un entier relatif.
Exercice 18 (voir réponses et correction)
Quel est le reste dans la division euclidienne par 11 de 10 ; 100 ; 1 000 ; 10 000
Quelle conjecture peut-on faire sur le reste dans la division euclidienne par 11 de 10
n
lorsque n ∈ IN