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Divisibilité et congruence
Activités 1-2-3
I.
Divisiblité dans Î
1) Définition
Définition :
On dit que l’entier relatif a divise l’entier relatif b lorsqu’il existe un entier relatif k tel que
b = ka.
On dit aussi que a est un diviseur de b ou que b est divisible par a.
b est alors un multiple de a.
Notation : si a est un diviseur de b, on note a / b.
Exemple :
210 = 3 70
Donc 70 est un diviseur de 210
210 est un multiple de 70
210 = ( 14 )  ( 15 )
Donc -14 et -15 divisent 210.
Remarque :
Tout entier relatif a admet au moins pour diviseurs : 1 ; -1 ; a et –a.
Un entier relatif non nul possède un nombre fini de diviseurs compris entre –a et a.
Tout entier relatif a est un diviseur de 0, ou 0 est un multiple de tout entier (0 = 0  a ).
1 et -1 ont pour seuls diviseurs 1 et -1.
Ex 1-2-3-4-42-43-44-45
2) Propriétés
Prop 1 : Transitivité
Soit a, b et c trois entiers relatifs.
Si a divise b et b divise c, alors a divise c.
Dem :
a divise b dont il existe un entier relatif k tel que b = ka
b divise c dont il existe un entier relatif k’ tel que c = k’b
donc c = k’b = k’ ka = (k’k) a, kk’ ☻ Î donc a divise c.
Prop 2 :Combinaison linéaire
Soit a, b et c trois entiers relatifs.
Si c divise a et b, alors c divise toute combinaison linéaire de a et b, de la forme au+bv où u
et v sont des entiers.
Dem :
c diviseur commun de a et b, il existe donc deux entier k et k’ tels que a = kc et b = k’c
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au + bv = … = (ku +k’v) c.
exemple :
comme 3 divise 3n et 21, alors 3 divise 3n-21 pour tout entier n.
Ex 5-6-7-8-9-10-11-12
Activité 4 p.9
II. Division euclidienne
1) Propriété et définition :
Soit a un entier relatif et b un entier naturel non nul.
Il existe un unique couple d’entiers (q ; r) tels que a = bq + r avec 0 ≤ r < b.
Cette écriture s’appelle la division euclidienne de a par b, a est le dividende, b le diviseur, q
le quotient et r le reste de cette division euclidienne.
Dem :
On admet l’axiome suivant :
(un axiome est une propriété que l’on ne peut pas démontrer)
Tout ensemble non vide d’entiers naturels admet un plus petit élément.
Existence :
Cas où a est positif
Soit E l’ensemble des entiers naturels m tels que mb > a.
Comme b ≥ 1,
(a + 1) b ≥ a + 1 > a d’où a + 1 appartient à E, qui est donc non vide.
D’après l’axiome du plus petit élément, il existe un entier m0, plus petit élément de E, tel que
(m0-1)b ≤ a < m0b
On pose q = m0-1 et r = a – bq
En ajoutant –bq dans les 3 membres de l’inégalité, on obtient :
qb - qb ≤ a - bq < m0b - bq
0 ≤ a- bq < m0b-b(m0-1)
0≤ a – bq < b
0≤r<b
Cas où a est négatif :
Si a < 0, alors –a > 0, d’après ce qui précède il existe un unique couple (q’, r’) tel que
-a = bq’ + r’ avec 0 ≤ r’ < b
Si r’ = 0, a = b (-q’), donc –q’ est le quotient, et le reste est nul.
S r’  0, a = b (-q’) + (-r’) or –r’ < 0 donc ne convient pas comme reste.
a = b (-q’) – b + b – r’
a = b (-q’ – 1) + (b – r’), on a bien b > b – r’ > 0
Unicité :
Supposons qu’il existe deux couples (q1, r1) et (q2, r2) vérifainat les conditions.
a = bq1 + r1 = bq2 + r2
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r2 = a – bq2
-r1 = -a + bq1
r2 – r1 = b(q1 – q2)
0 ≤ r2 <b
-b ≤ -r1 < 0
-b < r2 – r1 < b
r2 – r1 est donc un multiple de b, compris entre b et –b strictement, r2 – r1 = 0.
Donc r2 = r1.
Or b0, donc q1 = q2.
D’où l’unicité anoncée.
Exemple
Déterminer la division euclidienne de
35 par 4 ( 35 = 4  8 +3)
-35 par 4 (- 35 = 4  (-8) – 3 = 4  (-9) + 1)
Ex 13-14-15-16 … 27-46-47-48
III. Congruence
1) Définition-Propriété
Définition :
Soit n un entier naturel non nul.
Deux entiers a et b sont dits congrus modulo n lorsque a – b est divisible par n.
Propriété
Soit n un entier naturel non nul.
Deux entiers a et b sont congrus modulo n si et seulement si ils ont même reste dans la
division euclidienne par n.
On note a  b [n] et on lit : « a est congru à b modulo n »
Dem :
On note a = nq + r et b = nq’ + r’ les divisions euclidiennes de a et b par n.
 On suppose que r = r’.
a – b = nq + r – (nq’ + r) = n(q – q’) est un multiple de n. D’où a et b sont congrus modulo n.
 On suppose que a et b sont congrus modulo n
a – b = … = n (q – q’) + r – r’. On en déduit que r – r’ = a – b – n (q – q’)
Puisque a et b sont congrus modulo n, la différence a – b est divisible par n, et par suite r – r’ est
divisible par n.
Comme 0 ≤ r < n, alors –n < -r ≤ 0 et comme 0 ≤ r’ < n, on obtient par addition -n < r’ - r < n.
Or r – r’ est un multiple de n compris strictement entre n et –n, il ne peut s’agir que de 0.
D’où r – r’ = 0, c'est à dire r = r’.
Exemple
19  11 [4] car 19 – 11 = 8 est divisible par 4.
On peut vérifier que 19 et 11 ont le même reste dans la division euclidienne par 4. (3)
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2) Propriétés
Soit n un entier naturel non nul.
Si a, b, r et r’ sont des entiers relatifs tels que a  r [n] et b  r’ [n], on a les relations :




a + b  r + r’ [n]
a - b  r - r’ [n]
a  b  r  r’ [n]
ak  rk [n] quel que soit k ☻ N.
dem :
a  r [n] et b  r’ [n] équivaut à a – r et b – r’ sont deux multiples de n.
On en déduit que toute combinaison linéaire de ces eux nombres est un multiple de n.
 Par somme, a + b  r +r’ [n]
 Par différence, a - b  r - r’ [n]
 (a-r) b + (b – r’) r = … = ab – rr’ est un multiple de n, ce qui équivaut à ab  rr’ [n].
 k étant un entier naturel, on démontre le dernier résultat par récurrence.
Exemple :
59  3 [7] et 48  6 [7].
On en déduit que 59 + 48  3 + 6 [7] et par suite 59 + 48  2 [7].
De même 59  48  3  6 [7] d’où 59  48  18  4 [7]
Attention, il n’y a pas de règle sur la congruence et la division et sur la racine carrée :
44  8 [16], mais 11 n’est pas  à 2 [6].
4  16 [12] mais 2 n’est pas  à 4 [12].
On ne peut pas simplifier 2x  2y [p] par x  y [p] !
Ex 28 à 41-49-50-51-52-53
Programmation : ex 56 p. 24-25 ?
Ex 59-60-61 p.31
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